Автоматихация производства ЭВА (1075779), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

(hT_OCА₄) = 10[Вт/(см^{2 О}С)]40(^oC)0,25(см²)= 100

12. Приходим к системе уравнений:

13. Решать данную систему уравнений есть смысл только для того, чтобы проверить правильность ее получения. Действительно, поскольку она не содержит сведений о действительной нагрузке стержня, мы должны получить:

T₁= T₂ =T₃ =T₄=40^оС

По условию температура T₁= 150^оС, следовательно, первое и второе уравнение системы должны быть преобразованы. В частности, первое уравнение: (77,8150 – 42,8 T₂ = 1376) не должно зависеть от величины температуры T₂ , что возможно в единственном случае, когда: (– 42,8T₂ = 0). Эта цель достигается принудительным присвоением первому коэффициенту вектора сил системы уравнений, полученной в пункте 12, величины F₁=(77,8150 =11670). Второе уравнение также нуждается в преобразовании: после подстановки в него значения T₁=150 оно принимает вид:

(– 42,8150 + 123,2T₂– 21,6T₃ = 2323)

откуда: F₂=(2323+42,8150)=8743.

14. Приходим к окончательной системе уравнений:

1. Решением системы с точностью до десятых долей градуса является вектор:

[T] ^T = [150 80,1 52,3 43,9] (^oC)

Результаты расчета приведены на рисунке 12.3 пунктирной линией.

КОНСПЕКТ “ Автоматизация проектирования ЭВС ”. Часть 2.

13. Уравнения метода конечных элементов: Теория упругости.

13.1 Терминология и определения

Основная задача теории упругости состоит в том, чтобы по заданным действующим на твердое тело внешним силам определить:

• изменение формы, претерпеваемое телом;

• внутренние силы упругости между частями тела.

Под твердым телом будем понимать такое однородное тело, в котором свойства вещества непрерывно распределены по всей его структуре. В отсутствии нагрузки на тело его форма и объем остаются неизменными. Такое состояние тела называется естественным. Далее будем рассматривать только такие нагрузки на твердое тело, которые вызывают обратимые изменения его объема и формы, причем явление гистерезиса учитываться не будут. Сами изменения структуры тела под действие приложенных сил отнесем к малым величинам. Реально этим условиям отвечают, например, железо и сталь (не чугун).

Состояние, в котором находится тело под действием приложенных к нему сил, будем называть напряженным состоянием (по аналогии с термином установившегося теплового режима, который мы использовали при решении задач переноса тепла).

Будем различать два рода сил:

• силы, действующие по поверхности, которые возникают в результате давления на тело других тел (поверхностные силы, – например, ветер);

• силы, распределенные по объему (объемные, или массовые силы – сила тяжести и др.)

Под термином сосредоточенная сила будем понимать такую силу, которая действует на площади значительно меньшей площади самого тела.

Рассмотрим рисунок 13.1, на котором изображено тело, находящееся в напряженном состоянии под действием приложенной к нему внешней осевой нагрузки – силы Р. Мысленно разрежем тело по плоскости А -А, правая часть тела будет оставаться в равновесии. Силы, которые его удерживают в этом состоянии, будем называть внутренними силами.

Введем ряд определений.

Напряжение. Рассмотрим элементарную площадку S (мм²) в сечении А стержня на рисунке 13.1, к которой в точке k приложена внутренняя сила F (кГ). Предел отношения F/S при F 0 называется напряжением ( [кГ/мм²]) в точке k в сечении А. Учитывая, что 1 кГ/мм² = 9,81 Мпа, будем измерять его в мегапаскалях..

Перемещения. Под действием внешних сил точки тела меняют свое положение в пространстве. Вектор, имеющий начало в точке недеформированного тела, а конец – в соответствующей точке деформированного тела - называется вектором полного перемещения точки. Его проекции на оси координат носят название перемещений по осям. Далее они обозначаются u, v и w соответственно по осям x, y, и z.

Среднее удлинение. Линейная деформация. Для того, чтобы характеризовать интенсивность изменения формы и размеров тела применяется термин «деформация». Пусть отрезок L, берущий начало произвольной точке М объема стержня, в результате деформации стержня оказался равным L+L. Отношение _СР=L/L называется средним удлинением стержня на отрезке L. Предел этого отношения при L0 называется линейной деформацией _L в точке А по направлению L. Если рассматривать деформации в направлении координатных осей x, y и z, в обозначение  вводится соответствующие индексы: _X, _Y, _Z.

Угловая деформация, или угол сдвига – это предел разности углов между отрезками L₁ и L₂ в недеформированном стержне и теми же отрезками в деформированном стержне при L₁  0 и L₂  0. В координатных плоскостях углы сдвига обозначаются _YZ, _XZ, _XY.

Совокупность линейных деформаций по различным направлениям и угловых деформаций в различных плоскостях для одной точки образует деформированное состояние в этой точке.

Рисунок 13.2 показывает, что деформация и перемещение не являются одинаковыми понятиями. Участок стержня ВС получает перемещения под действием силы Р вследствие деформации участка АВ, но сам не деформируется. Деформация совпадает с относительным удлинением в однородном стержне.

Закон Гука: в пределах малых удлинений для подавляющего большинства материалов напряжение прямо пропорционально деформации:

 =   (13.1)

где Е представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости первого рода. Величина Е определяется экспериментально. В табл.13.1 приведены сведения о моделях упругости некоторых материалов.

Таблица 13.1

Все участки растянутого однородного стержня находятся в одинаковых условиях, поэтому напряженное состояние в таком стержне является однородным. Деформация стержня  остается одинаковой и равной среднему удлинению:

Кроме того, напряжение в таком стержне по определению равно:

Подставляя выражение (13.2) и (13.3) в (13.1), получим равенство:

Рассмотрим числовые примеры определения напряжений и перемещений в некоторых простейших случаях растяжения и сжатия.

Пример 13.1. Ступенчатый стальной стержень, показанный на рисунке 13.3-а, имеет длину 2L=2м и площадь поперечного сечения: в узкой части – S=2см², в широкой– 4 см². Стержень нагружен силой F=50 кН. Определить закон изменения нормальных сил, напряжений и перемещений по длине стержня, а также максимальное его удлинение под действием приложенной силы F.

Решение.

1. По табл. 13.1 определяем модуль упругости стержня: для стали Е=200 ГПа.

2. Поскольку сила F по сравнению с собственным весом стержня велика, то вес стержня можно не учитывать.

3. Из условий равновесия любой отсеченной части стержня вытекает, что нормальная сила F_N в каждом сечении стержня равна внешней силе F. Построим график изменения силы F_N вдоль оси стержня. Графики подобного рода называются эпюрами. Эпюра нормальной силы дана на рисунке (13.3-б) прямоугольником, поскольку F_N = F = const. Штриховка на эпюре проведена параллельно откладываемым на графике значениям F_N.

4. Формула (13.3) показывает, что для построения эпюры напряжений достаточно ординаты эпюры F_N изменить обратно пропорционально S. При этом большее значение  равно _MAX = F_N / S_MIN = 50 кН / см² = 250 Мпа.

5. Перемещение x–го сечения равно удлинению отрезка длиной x. Определим перемещение u(x) x-го сечения стержня по направлению силы F. Для этого запишем формулу (13.4) для участка 1 и вычислим значение u(x=L):

Из (13.5) видно, что перемещение u(х) пропорционально x, поэтому эпюра является прямой линией с коэффициентом наклона =F/ES. Запишем формулу (13.4) для участка 2 и вычислим значение u(x₁=L):

Характеристики

Список файлов книги