Автоматихация производства ЭВА (1075779), страница 12
Текст из файла (страница 12)
N1 = (1–x/L) и N2= (x/L)
Запишем выражения для матриц [N(e)] и [B(e)]:
[N(e)] = [(1–x/L) (x/L)]
[B(e)] = [ (-1/L) (1/L)]
Согласно (12.8) матрица KV(1) примет вид:
| L | -1 | L | |||||||||||||||||
| KV[1] = | | | L | [- | 1 | 1 | ] | Adx = | А | | 1 | -1 | dx | ||||||
| 1 | L | L | L2 | -1 | 1 | ||||||||||||||
| 0 | L | 0 | |||||||||||||||||
После вычисления интеграла окончательно имеем:
| KV[1] = | А | 1 | -1 | (12.16) | |
| L | -1 | 1 |
Для определения матрицы KS(1) рассмотрим все поверхности конечного элемента 1, обозначенные на рисунке 12.2 через S1, S2 и S3. Через эти поверхности конечный элемент теряет тепло за счет конвекции (h). Через поверхность S1 конвективного обмена с окружающей средой нет, так как здесь по всей поверхности поддерживается постоянная температура 150 оС. Через поверхность S3 конвективный обмен у первого элемента также отсутствует. То есть должна учитываться только поверхность S3. Диаметр стержня не изменяется по оси ОХ, поэтому дифференциал dS в (12.8) примет вид: dS = (Pdx), где Р – периметр, и:
| L | 1- | x | |||||||||||||||
| KS[1] = hP | | L | [(1- | x | ) | 1 | ] dx = | hPL | 2 | 1 | (12.17) | ||||||
| 1 | L | L | 6 | 1 | 2 | ||||||||||||
| 0 | L | ||||||||||||||||
Складывая эти матрицы согласно (12.10), получим матрицу [K(1)] теплопроводности для первого конечного элемента:
| K[1] = | А | 1 | -1 | + | hPL | 2 | 1 | (12.18) | ||
| L | -1 | 1 | 6 | 1 | 2 |
Матрица теплопроводности второго элемента идентична (12.18). Матрица [K(3)] отличается от (12.18) дополнительным членом, описывающим конвективный обмен со средой по поверхности S3. Вычислим этот дополнительный поверхностный интеграл, используя выражение (12.9):
|
| (12.19) |
При вычислении интеграла (12.19) учитывалось, что на всей поверхности S3 Ni=0, Nj=1, поскольку эта поверхность является j-м узлом в 3-ем конечном элементе.
Рассмотрим теперь интегралы вектора нагрузки. Начнем с первого конечного элемента. Составляющие вектора нагрузки описывают действие внешних тепловых источников и стоков тепловой энергии. Поскольку в нашем примере вообще нет никаких источников тепла, то составляющая q в выражении (12.10) равна нулю и составляющая вектора нагрузки первого элемента FS1 описывается только выражением (12.11) и зависит от величины поверхности S2:
| L | |||||||
| {FS2(3)} = hTOC PL | | (1-x/L) | dx = | hTOCA | 1 | (12.20) | |
| x/L | 2 | 1 | |||||
| 0 | |||||||
Вектор нагрузки для второго элемента идентичен (12.20). В векторе же нагрузки третьего конечного элемента интеграл в (12.20) должен быть вычислен по сумме поверхностей (S2+ S3), через которые происходит отвод тепла у этого элемента. Поскольку площадь S3= А, имеем:
| {FS2(3)} = | hTOC PL | 1 | + hTOCA | 0 | (12.21) | |
| 2 | 1 | 1 |
Пользуясь выражениями (12.18) и (12.19) построим глобальную матрицу теплопроводности стержня, а с помощью выражений (12.20) и (12.21) – глобальный вектор нагрузки всего стержня. Предварительно вычислим значения термов в этих выражениях: А=(см2), L=2,5(см), P=2(см):
A/L = (см2)75[Вт/(смОС)]/2,5(см) =30(Вт/ОС);
hPL/6 = 10[Вт/(см2 ОС)]2(см)2,5(см)/6 =8,3(Вт/ОС);
hA = 10[Вт/(см2 ОС)] (см2) =10(Вт/ОС);
hTocPL/6 = 10[Вт/(см2 ОС)] 40ОС2(см)2,5(см)/2=1000(Вт);
Подставляя полученные значения в (12.18 – 12.21), последовательно находим:
| [KV(1)] | = | 30 | [ | 1 | -1 | ] | = | [KV(2)] | = | [KV(3)] | (Вт/ОС) |
| -1 | 1 |
| [KS(1)] | = | 8,3 | [ | 1 | -1 | ] | = | [KS(2)] | (Вт/ОС) | ||
| -1 | 1 |
| [KS(3)] | = | 8,3 | [ | 1 | -1 | ] | + | 10 | [ | 0 | 0 | ] | (Вт/ОС) |
| -1 | 1 | 0 | 1 |
| [F(1)] | = | 1000 | [ | 1 | ] | = | [F(2)] | (Вт) | ||
| 1 |
| [F(3)] | = | 1000 | [ | 1 | ] | + | 400 | [ | 0 | ] | (Вт) |
| 1 | 1 |
Объединяя матрицы по методу прямой жесткости, составляем систему (12.13):
| 46,6 | -21,7 | 0 | 0 |
| T1 | = | 1000 | |
| -21,7 | 93,2 | -21,7 | 0 | T2 | 2000 | |||
| 0 | -21,7 | 93,2 | -21,7 | T3 | 2000 | |||
| 0 | 0 | -21,7 | 56,6 | T4 | 1400 |
Здесь проведено сокращение на множитель , так как он входит в обе части системы уравнений. Значение Т1 известно (150оС), поэтому полученная система должна быть модифицирована перед решением. Подробно эта процедура изложена в разделе 14. После модификации система примет вид:
| 46,6 | 0 | 0 | 0 |
| 150 | = | 6990 | |
| 0 | 93,2 | -21,7 | 0 | T2 | 5255 | |||
| 0 | -21,7 | 93,2 | -21,7 | T3 | 2000 | |||
| 0 | 0 | -21,7 | 56,6 | T4 | 1400 |
После решения системы имеем:
[T]T = [150 67,35 47,1 42,8]
Результаты расчетов приведены в графическом виде на рисунке 12.3. На том же рисунке цифрами в скобках отмечены теоретические значения температур, замеренные через каждые 1,5 см. Видно, что полученные в результате расчетов значения достаточно хорошо согласуются с истинными значениями на участке 2,5 см – 7,5 см, то есть ближе к правому концу стержня. Решение по методу МКЭ можно было бы улучшить, если использовать более короткие элементы вблизи левого конца стержня.
В рассмотренном примере площадь поперечного сечения стержня была постоянной. Рассмотрим элемент на рисунке 12.4. Площадь элемента А(х) и его периметр Р(х) меняются линейно по длине от Аi и Рi на левом конце до Аj и Рj – на правом конце соответственно. Рассмотрим методику вычисления температурного поля внутри этого элемента
1. Записываем выражения для площади боковой поверхности А(х) и для площади периметра Р(х) стержня как функции его длины:
|
|
|
| Рис. 12.3 | Рис. 12.4 |
A(х) = Ni Аi + Nj Аj (12.22)
Р(х) = Ni Рi + Nj Рj (12.23)
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
