Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

В этой связи представляется актуальной проблема формального получения матриц теплопроводности и нагрузки для отдельных конечных элементов на основании анализа их физических и геометрических параметров, а также вопросы формального получения на их основе и решения глобальной системы уравнений, аппроксимирующей поведение ИТО. Совершенно очевидно, что такой подход позволяет выбирать характеристики элементов, наиболее приемлемые для каждой конкретной задачи.

12. Уравнения метода конечных элементов: Задача переноса тепла.

Вернемся к анализу функционала  (11.5), моделирующего непрерывность теплового потока через стержень в установившемся тепловом режиме. Пусть стержень разбивается на Е симплекс–элементов. В пределах отдельного (e-го) элемента величины ^(е), q^(е), h^(е) считаем заданными и постоянными, а величины узловых температур Т_i^(е) и Т_j^(е) подлежат определению. Для минимизации  по аналогии с выражением (11.20) потребуем выполнения соотношения:

где ^[e] – элементарный функционал, представляющий собой сумму интегралов для произвольного конечного элемента (например, для 1-го КЭ имеем: ^[e] =^[1] и так далее). В связи с этим, учитывая полученное выше выражение (11.5), имеем:

Для вычисления частных производных элементарных функционалов ^[e] в формуле (12.1) выразим интегралы в (12.2) через узловые значения температур.

Учитывая соотношение (9.6), запишем интерполяционную формулу для произвольного симплекс – элемента в общем виде:

Вычислим далее значение частной производной Т^(е) по координате х:

Это позволяет получить выражение для функционала ^(е) в матричной форме. Согласно (12.2), (12.3) и (12.5) имеем:

Для вычисления искомых производных, в соответствии с исходной формулой (12.1), покажем предварительно, что в матричном виде:

Действительно, левая часть приведенного тождества представляет собой искомую частную производную от квадрата частной производной Т^(е) по T_i , представленную в матричной форме, которая по определению производной от сложной функции и с учетом (12.5) равна:

Откуда, переходя к матричной форме, получаем выражение (12.7).

Итак, мы подготовили все необходимое для вычисления и представления в матричной форме искомой системы уравнений (12.1). Вычисления проведем в два этапа: на первом получим матрицы для конечных элементов, а на втором – объединим их в матрицы ИТО.

Первый этап состоит в вычислении частных производных от элементарного функционала ^[e] (12.7) по всем узловым значениям температуры. Последовательно находим для конечного элемента 1.

Вектор {T} не зависит от переменных интегрирования, поэтому, объединяя первое и третье слагаемое, вынося этот вектор за скобки и вычисляя производные для остальных узловых переменных конечного элемента 1, приходим к системе:

В данной системе выделены элементы, представляющие собой транспонированные матрицы [В^(е)]^T и [N^(e)]^T. Такое выделение позволяет записать вклад отдельного конечного элемента в общую сумму (12.1) в более общем матричном виде:

Введем обозначения:

и запишем в матричной форме соотношение, представляющее вклад отдельного конечного элемента в общую сумму (12.1):

Здесь матрица теплопроводности конечного элемента[ K^(e)] и его вектор нагрузки { F^(e)} называются далее матрицами е-го конечного элемента. Приравнивая данное выражение нулю, запишем окончательную систему уравнений в краткой форме:

где:

и:

Рассмотрим методику получения матриц конечных элементов на нескольких примерах решения задачи переноса тепла в стержне.

Пример 12.1. Одномерный случай переноса тепла

Требуется вычислить температуру T_Х на правом конце стержня, если температура его левого конца поддерживается равной величине T₁=150^оС. Радиус стержня R=1(см), длина L=7,5 (см). Коэффициенты теплопроводности материала стержня и конвективного теплообмена по всей поверхности стержня соответственно равны: =75 Вт/(см  ^ОС), h = 10 Вт/(см²  ^ОС). Температура окружающей среды равна Т_ОС=40 ^ОС.

Решение.

Разобьем стержень на три одинаковых одномерных линейных элементов длиной 2.5 см., как это показано на рисунке (12.1), и запишем интерполяционный полином для первого элемента:

T = N₁T₁+N₂T₂

Совместим начало координат с 1-м узлом, тогда ФФ примут вид:

Характеристики

Список файлов книги