Автоматихация производства ЭВА (1075779), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Пример 13.2. Построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений для свободно подвешенного алюминиевого стержня длиной L=12м, показанного на рисунке (13.4) и нагруженного силами собственного веса.

Решение.

1. Расположим ось абсцисс вертикально и отметим по длине стержня отрезки х₀ и L. Выделим элементарный диск объемом (dV=Sdx) на расстоянии х от начала координат. Напряжение в этой площадке создает нижняя часть стержня, поэтому, согласно (13.3) имеем:

Здесь: g – ускорение свободного падения [9,8 м/сек²];

 – плотность алюминия (2,710³ кГ/ м³);

 – удельный вес алюминия: 2,710³ [кГ/ м³]9,8[ м/сек² ]= 26460 [н/м³]

1. Удлинение в сечении х обозначим через u(х) и, поскольку деформация равна:  = du(x)/dx , (13.6)

а напряжение по закону Гука (13.1) равно: (х)= Е, то имеем:

отсюда, удлинение выделенной элементарной части стержня равно:

в выбранном произвольном сечении к общему удлинению стержня L добавку создает именно удлинение du(x) верхней части под действием веса нижней его части длиной x. Итак, общее удлинение стержня L(x₀) на участке от х₀ до L составит:

3. Подставляя численные данные и принимая x₀=0 (для самого нижнего сечения стержня), получим значение максимального удлинения:

Потенциальная энергия деформации (). Рассмотрим вначале статический процесс нагружения стержня, при котором сила F увеличивается медленно и прямо пропорционально удлинению d(L) в соответствии с графиком на рисунке 13.5. В этом случае работа внешних сил (W) целиком преобразуется в потенциальную энергию деформации, то есть = W. Из рисунка 13.5 непосредственно следует, что:

С учетом выражения (13.4) можно записать:

Пусть теперь закон наращивания нагрузки неизвестен. Получим выражение для дифференциала (d) потенциальной энергии, то есть той ее части, которая наращивается внутри элементарного объема (dV) тела при его удлинении на величину d(L). С учетом выражения (13.4) можно записать:

Таким образом, показано, что:

13.2 Решение задач теории упругости методом конечных элементов.

Общепринятая формулировка метода конечных элементов применительно к решению задач упругости предполагает отыскание поля перемещений. При этом при отыскании узловых значений вектора перемещений стремятся обеспечить минимум потенциальной энергии системы. После определения перемещений вычисляют компоненты тензоров деформаций и напряжений.

Справедлива следующая теорема:

Из всех перемещений, удовлетворяющих кинематическим граничным условиям, стационарное (экстремальное) значение потенциальной энергии сообщают (чему?) ИТО те перемещения, которые удовлетворяют уравнениям равновесия.

Полная потенциальная энергия упругой системы (П) может быть разделена на две части, одна из которых соответствует энергии деформаций () в теле, а другая определяется потенциальной энергией (W_P) массовых сил и приложенных поверхностных сил:

П=+ W_P (13.9)

Работа внешних сил (W) противоположна по знаку их потенциальной энергии:

W= – W_P (13.10)

Следовательно: П=– W (13.11)

После разбиения области на элементы равенство (13.11) примет вид:

Одномерный случай

Применение теоремы о минимуме потенциальной энергии проиллюстрируем на примере осевого нагружения стержня из задачи 13.1.

Пример 13.1. Определить перемещение на нагруженном конце стержня из задачи 13.1 с помощью метода конечных элементов.

Решение.

Целесообразно разбить стержень на два одномерных конечных симплекс – элемента, представленных на рисунке 13.3-д. Запишем интерполяционные полиномы для обоих конечных элементов:

u ⁽¹⁾ = N₁⁽¹⁾ U₁+ N₂⁽¹⁾ U₂ = N₂⁽¹⁾ U₂

u ⁽²⁾ =N₂⁽²⁾ U₂+ N₃⁽²⁾ U₃

Первое уравнение сразу преобразовано, так как левый конец стержня жестко закреплен, поэтому U₁=0.

Вычисляя выражения для функций формы, приходим к системе:

u ⁽¹⁾ = (x/L) U₂

u ⁽²⁾ =(2 –x/L) U₂ – (x/L–1) U₃

Получим выражение для потенциальной энергии стержня, для чего воспользуемся уравнением (13.11). Поскольку распределение нагрузки внутри стержня не известно, для вычисления составляющей потенциальной энергии деформаций () воспользуемся полученным выше выражением (13.8). Интегрируя обе части по всему объему стержня, получим:

Сила P приложена к узлу U₃, поэтому ее работа равна:

W= PU₃ (13.14)

Таким образом, потенциальная энергия всего стержня составит:

Мы получили исходный функционал, минимизация которого позволит нам решить не только текущую задачу, но и задачу с любыми геометрическими и физическими характеристиками стержня.

Проведем предварительные преобразования функционала (13.15). В левом стержне: ⁽¹⁾= ₁, dV⁽¹⁾ =S₁dx, во втором: ⁽²⁾= ₂ , dV⁽²⁾ =S₂dx, поэтому можно записать выражение (13.15), предварительно разбив его на два интеграла:

Здесь дополнительно проведена замена произведения ()на эквивалентное выражение (Е²) в соответствии с законом Гука (13.1). Подставляя выражение для  по (13.6) и вычисляя производные искомых перемещений по длине конечных элементов, имеем:

Подставляя полученные выражения в (13.16), замечаем, что в заданных пределах интегрирования ни одно из подынтегральных выражений не зависит от переменной х, поэтому вычисление интегралов становится тривиальным. В результате получаем следующее выражение потенциальной энергии через узловые значения перемещений:

Вычисляем производные полученного функционала по узловым значениям:

Подставим в полученные выражения значения S₁ =S и S₂ =2S, обозначим и вычислим выражение:

Приравнивая далее правые части обоих уравнений (13.18) нулю, получим систему линейных алгебраических уравнений вида:

 U₂ + 2 (U₂ –U₃) = 0

2 (U₃ –U₂) –P = 0

Выражая из первого уравнения U₂,: 3U₂ - 2U₃ = 0, то есть U₂ = 2U₃ /3, и подставляя найденное значение во второе уравнение, получим:

U₃ = 3P/2=35010³[н]/240 [н/м] = 1,87 мм,

что совпадает с полученным выше значением.

Общий случай

Величина d в общем случае определяется выражением:

называется приращением плотности энергии деформации, относительно известной начальной деформации ИТО.

Характеристики

Список файлов книги