Автоматихация производства ЭВА (1075779), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

{Ф}^Т = {218 160 0 123,6 0 0}^Т

Представляет особый интерес поверхность , соответствующая полученному множеству узловых значений. Эта поверхность представлена на рисунке 13.10. Дело в том, что объем тела, ограниченный этой поверхностью, пропорционален не найденному пока моменту М, закручивающему стержень на один градус на длине 1 метр. Кроме того, не определены еще сдвиговые напряжения.

1. Вычисляем сдвиговые напряжения, связанные с найденной функцией напряжений формулами (13.27). Согласно выражениям (13.27) и (13.30), запишем выражение для матрицы–столбца сдвиговых напряжений первого элемента, выраженное через определенную уже матрицу градиентов (13.37):

Компоненты тензора напряжений для других элементов вычислим аналогично:

_ZY⁽²⁾ =640,0(н/см²); _ZX⁽²⁾ =0,0(н/см²);

_ZY⁽³⁾ =494,0(н/см²); _ZX⁽³⁾ = -145,4(н/см²);

_ZY⁽⁴⁾ =494,0(н/см²); _ZX⁽⁴⁾ =0,0(н/см²);

Полученные компоненты тензора напряжений схематически показаны на рисунке. 13.11. Внутри каждого конечного элемента сдвиговые напряжения постоянны, так как интерполяционные полиномы взяты линейными по Оx и Оy.

2. Вычисляем момент, который согласно определению равен:

где: S – площадь поперечного сечения стержня.

Учитывая аддитивный характер момента, можно записать выражение для части момента, действующего в пределах рассматриваемого участка стержня:

Поскольку площади всех четырех конечных элементов равны, обозначим:

А⁽¹⁾=А⁽²⁾=А⁽³⁾=А⁽⁴⁾=А

Величины ^(е) при известных функциях формы определяются по (13.29).

Для первого элемента имеем:

Откуда:

Интеграл в полученном выражении идентичен вычисленному ранее интегралу (13.39). Поэтому можно сразу записать:

Подставляя значения , найденные в узловых точках, имеем:

М ⁽¹⁾ = 0,67 А (218 + 160 +123,63) = 0,67 А (501,8)

Аналогично находим для остальных элементов:

Суммируя эти соотношения по формуле (13.40), получим:

М_О= 0,67 А (501,8 + 160 + 283,6 + 123,6) = 0,67 А (1069)

Поскольку на элементы разбивалась только 1/8 часть поперечного сечения стержня и А=1/32, полный крутящий момент M составит:

М = 8 М_О = 8 (0,67)  (1/32)  (1069) = 178,16 (нсм)

Это означает, что крутящий момент величиной 178 Хнсм) вызовет закручивание на 1^о стального стержня длиной 1 м. Теоретическое значение связи между приложенным крутящим моментом и углом закручивания квадратного стержня со стороной, равной L (м), дается формулой:

М = 0,1406GL⁴ =0,1406810⁶[н/м²]1(рад/м)1(м)=196,3(нсм)

Полученное расхождение в 9,5% объясняется выбором грубой сетки разбиения.

13.4 Метод прямой жесткости

Применение метода конечных элементов, как показано на ряде примеров, приводит к системе алгебраических уравнений. Порядок системы уравнений совпадает с числом неизвестных узловых значений и может достигать сотен тысяч. Метод построения глобальной матрицы жесткости, рассмотренный в разделе 13.3, весьма неэффективен, если в таком виде пытаться реализовать его ЭВМ. Дело в том, что матрица жесткости отдельного конечного элемента [k^(e)] (назовем ее локальной матрицей жесткости – ЛМ), имеет такое же число строк и столбцов, что и глобальная матрица жесткости (ГМ) [K], однако, большинство коэффициентов ЛМ равно нулю. Действительно, на рисунке 13.12 показана область, разбитая на 16 элементов и имеющая 15 узловых точек. Матрица жесткости для первого элемента этой области, показанная на рисунке 13.13, содержит 15 х 15 = 225 коэффициентов. Видно, что только девять из них - ненулевые, что составляет 4% от общего числа ячеек, занимаемых в ОЗУ матрицей ЛМ.

Рис.13.12	Рис.13.13

С ростом числа узлов процент нулевых элементов резко увеличивается. Например, для 75 узлов он составляет (75 х 75 –9)/(75 х 75) 100% = 99,84%. Кроме того, матрица элемента [k^(e)] должна быть вычислена отдельно от глобальной матрицы [K] и затем прибавлена к последней. Это, в свою очередь, требует запоминания в ОЗУ обеих матриц: и [k^(e)] и [k^(e)].

В эффективных программах процедура построения ГМ использует сокращенную форму локальных матриц элементов [N^(e)] при получении уравнений для элементов. Такой метод известен как метод прямой жесткости (МПЖ).

Рассмотрим процедуру кодирования ЛМ в методе МПЖ. С этой целью перепишем систему интерполяционных полиномов (13.29), исключив из неё все глобальные степени свободы , не относящиеся к конкретному элементу:

ФФ записываются здесь в соответствии с порядком следования индексов i,j и k против часовой стрелки, начиная с узла, отмеченного звездочкой на рисунке (13.7). Будем называть такой порядок установленным.

На основании системы (13.42) для каждого конечного элемента составляем локальные матрицы градиентов (13.30) (матрицы сдвиговых напряжений).

Подробно для первого конечного элемента имеем:

1) Матрица градиентов:

2) Локальная матрица жесткости для первого элемента [k⁽¹⁾] записывается с фиксацией номеров строк и столбцов в установленном порядке:

[k(1)] =		1	2	4
	1	0,5	-0,5	0
	2	-0,5	1	-0,5
	4	0	-0,5	0,5

Числа, отмечающие строки и столбцы этой матрицы представляют собой номера глобальных степеней свободы. Применив подобную процедуру к интегралу (13.39), имеем:

Таким образом, система локальных уравнений, описывающих первый конечный элемент, примет вид:

		1	2	4
	1	0,5	-0,5	0		Ф1		29	1
	2	-0,5	1	-0,5		Ф2	=	29	2
	4	0	-0,5	0,5		Ф4		29	4

Полученные локальные матрицы [K⁽¹⁾] и [f ⁽¹⁾] содержат 12 ячеек вместо 42, требуемых ранее. Ее необходимо прибавить к ГМ ( предполагается, что элементы ГМ предварительно сброшены в 0):

При сложении ЛМ с ГМ устанавливаются строгие формальные правила, продиктованные сущностью метода прямой жесткости. Изложим эти правила для элемента Н локальной матрицы жесткости, стоящего на пересечении ее i-й строки и j-го столбца, который прибавляется к ГМ:

1. Прочитать в ячейку i_G номер глобальной степени свободы, отмечающей i-ю строку ЛМ.

2. Прочитать в ячейку j_G номер глобальной степени свободы, отмечающей j-му столбцу ЛМ.

3. Прибавить к содержимому ячейки ГМ, расположенной на пересечении i_G-й строки и j_G-го столбца, элемент Н.

Сложив по этому правилу ЛМ [k⁽¹⁾] с ГМ [K], приходим к полученной ранее системе (13.39).

Вычислив аналогично ЛМ для второго конечного элемента [k⁽²⁾] и [f⁽²⁾], получим промежуточный вариант локальной системы:

		2	3	5
	2	0,5	-0,5	0		Ф2		29	2
	3	-0,5	1	-0,5		Ф3	=	29	3
	5	0	-0,5	0,5		Ф5		29	5

Сложив результат с ГМ [K], приходим к глобальной системе:

Далее проводим аналогичные действия для третьего и четвертого элементов. Последовательно получаем:

Характеристики

Список файлов книги