Автоматихация производства ЭВА (1075779), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Вектор столбец {} в выражении (13.19) представляет собой полную деформацию, которая для двумерного случая плоской деформации имеет вид:

{}^T =[_XX_YY_XY] (13.20)

где соотношения связи между деформациями и перемещениями du и dv соответственно в направлении осей OX и OY записываются как:

_XX = du/dx, _YY= dv/dy; _XY= du/dy + dv/dx (13.21)

Вектор столбец {} в выражении (13.19) представляет собой вектор напряжений, который для двумерного случая плоской деформации имеет вид:

{}^T = [ _XX  _YY _XY] (13.22)

Выражения (13.20) и (13.22) связывает закон Гука вида:

{} = [D] {} (13.23)

где матрица [D] содержит упругие константы материала.

Компоненты перемещений, как было показано ранее, можно выразить через узловые значения следующим образом:

{u} = [N] {U} (13.24)

Применяя формулы (13.21) можно выразить вектор деформации {} через узловые значения перемещения { U } и матрицу [B] производных компонентов матрицы {U} по координатам соответствующих приращений:

{} = [B] {U} (13.24)

Энергия деформации ^(е) отдельного (е-го) конечного элемента получается интегрированием выражения (13.19) по его объему:

Работа, совершаемая внешними силами, может быть разделена на три части: 1) работа (W_С), совершаемая сосредоточенными силами, 2) работа (W_S) поверхностных сил, 3) работа (W_M) массовых сил.

Работу сосредоточенных сил (вектор {P}) наиболее просто определить, если в каждой точке приложения сосредоточенной силы поместить узел. Эту работу определим, умножая величину этой силы на длину пути (вектор {U}) ее действия, то есть:

(W_С),= {U}^T{P}

Рассмотрим случай, когда W_С >> W_S+ W_M. Запишем выражение для полной потенциальной энергии:

Дифференцируя это выражение по {U} и приравнивая результат к нулю, имеем:

Рассмотрим применение полученных формул на конкретных примерах.

13.3 Кручение стержня некругового сечения.

Поле напряжений, возникающих внутри стержня некругового сечения, не удается рассчитать традиционными методами сопромата. Причина заключается в том, что для некруглого сечения упрощающая гипотеза неизменности плоских сечений, оказывается неприемлемой. Рассмотрим аспекты общей теории кручения стержня. Изложение будем сопровождать конкретным примером расчета сдвиговых напряжений (_ZX, _ZY), возникающих при кручении сплошного стержня квадратного сечения со стороной а=1 [см], показанного на рисунке 13.6-а, под действием крутящего момента М по оси OZ. Пусть приложенный момент закручивает стержень на величину =1 [градус/м]. Модуль сдвига материала стержня: G=8 МПа = 810⁶[н/м²].

Известно, что сдвиговые напряжения связаны с неизвестной пока функцией напряжений (x,y) в каждой точке стержня, соотношениями:

Рассмотрим физический смысл сдвиговых напряжений, для чего определим напряжения, возникающие в элементарных кубиках с центрами в точках А и В стержня на рисунке 13.6-а, примыкающих к поверхности боковой грани стержня. Вынесем оба элементарных кубика за пределы стержня и в увеличенном масштабе покажем возникающие на его гранях напряжения. Из рисунка видно, что в результате действия момента М в поперечных и продольных сечениях возникают касательные (сдвиговые) напряжения: _ZX =_XZ =M/(a³). На противоположных гранях возникают аналогичные компенсирующие напряжения: -_ZX =-_XZ = M/(a³). В результате действия указанных пар сдвиговых напряжений кубик начнет деформироваться: удлиняться в направлении оси z и, следовательно, сжиматься по оси OX и OY. В результате уже в соседнем (ближе к центру стержня) элементарном кубике возникнет сдвиговое напряжение: - _ZY, направленное к центру стержня. При этом чем больше становится градиент функции напряжений по оси ОХ, тем большее приращение получает сдвиговое напряжение по оси OY (выражения 13.27). Существенно отметить, что в точке В крутящий момент М вообще не создает никаких сдвиговых напряжений.

Функция напряжений (x,y) описывается дифференциальным уравнением:

Граничное условие записывается как:  = 0. Вариационная формулировка задачи о кручении стержня связана с рассмотрением функционала:

Введем матрицу-столбец сдвиговых напряжений:

и запишем функционал (13.28) в матричном виде:

Разобьем область определения этого функционала на Е конечных элементов и введем функции ^(е), определенные на отдельных элементах:

^(е) = [N^(е)] {Ф} (13.29)

Представим далее (13.28) в виде суммы интегралов по отдельным конечным элементам и, учитывая, что:

{^(е) }^T = [(N^(е)/x) (N^(е)/y)]{Ф} = [B^(е)]{Ф} (13.30)

по аналогии с выражениями (12.8-12.12) запишем систему уравнений для минимизации функционала (13.28) в виде:

где:

[K(е)] =



{В(e)}T{В(e)}dV

(13.32)

V(e)

				[F(е)] =			(2G) [N(е)]T dV			(13.33)
					V(e)

Сформируем систему (13.30) для текущего примера. Поперечное сечение стержня имеет 4 оси симметрии, поэтому целесообразно рассмотреть только 1/8 часть квадрата. Разобьем ее на 4 конечных треугольных симплекс – элемента и запишем для них интерполяционные полиномы (13.29), выразив их через глобальные узловые значения:

⁽¹⁾ = N₁⁽¹⁾ Ф₁ + N₂⁽¹⁾Ф₂ + 0Ф₃ + N₄⁽¹⁾Ф₄ + 0Ф₅ + 0Ф₆

⁽²⁾ = 0Ф₁ + N₂⁽²⁾Ф₂ + N₃⁽²⁾Ф₃ + 0Ф₄ + N₅⁽²⁾Ф₅ + 0Ф₆

⁽³⁾ = 0Ф₁ + N₂⁽³⁾Ф₂ + 0Ф₃ + N₄⁽³⁾Ф₄ + N₅⁽³⁾Ф₅ + 0Ф₆

⁽⁴⁾ = 0Ф₁ + 0Ф₂ + 0Ф₁ + N₄⁽⁴⁾Ф₄ + N₅⁽⁴⁾Ф₅ + N₆⁽⁴⁾Ф₆

Вычисляем матрицу жесткости для каждого конечного элемента, используя выражение (13.32).

Для первого элемента матрица градиентов примет вид:

Для треугольного симплекс - элемента, имеющего упорядоченную нумерацию узлов (i, j, k), ранее получено выражение (9.11) для коэффициента формы. В частности для точки k имеем:

N_k = 0,5 А ^–1 [a_k + b_k x + c_k y], (13.35)

где коэффициенты a_k , b_k и c_k рассчитываются с учетом обхода узлов внутри симплекс – элемента строго против часов, начиная с точки k по формулам:

a_k = Xi Yj – Xj Yi; b_k = Yi – Yj; c_k = (Xj – Xi)

Учитывая, что площадь любого конечного элемента равна:

А = (¼ ) ( ¼ ) ( ½) = 32 ^–1 (13.36)

и при дифференцировании по х выражения (13.35) в результате останется лишь коэффициент b_k, получим верхнюю строку матрицы градиентов (13.34) в виде:

Значения для коэффициентов b получим по формулам:

b₁ = Y₂ – Y₄ = - ¼; b₂ = Y₄ – Y₁= + ¼ и b₄ = Y₁ – Y₂= 0.

Нумерация индексов здесь принята в строгом соответствии с порядком обхода узлов, показанная на рисунке 13.8. Например, при вычислении коэффициента b₂ в качестве k – го узла в формуле b_k = Yi – Yj; принят узел 2, за которым на рисунке 13.8-в следует узел i=4 и j=1.

Характеристики

Список файлов книги