Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Рд = P{ – t_д < t < t_д } = Р{^X–^_^X tд < X_ИСТ <^X+^_^X tд }

Таким образом, зная из опыта N и определив по формуле Бесселя (1.10) – ^_^X, можно, задавшись доверительным интервалом Xд, вычислить коэффициент Стьюдента – tд. Далее, по таблице распределения Стьюдента можно определить Рд для любого N>1. Например, при tд=1 и N=2 по таблице 2 находим: Рд=0.5. В то же время формула 1.9 для нормального распределения дает:

Рд = 2Ф(1)–1 = 20,8413–1 = 0,6826 > 0,5.

Вернемся к методу Монте-Карло.

Рассмотрим вначале первую из них - M(Y), которую обозначим через X. Введем определение: однократное вычисление случайной величины x по массиву (1.10) будем называть наблюдением случайной величины и обозначать Xi. Только обработав результаты всех N наблюдений, мы получим окончательный результат, который назовем оценкой истинного значения величины Х, которую обозначим Х^.

Теоретическое значение суммарного сопротивления из пяти последовательно соединенных резисторов со средним номиналом 5,5 кОм равно 27,5 кОм. Примем разброс сопротивлений в цепочке равным 0,5 кОм и вычислим среднее значение – M(R_) – и дисперсию D(R_) суммарного значения сопротивления методом Монте Карло (папы Карло). Программа расчета M(R_) приведена ниже:

USES Crt;

Const N=15; {Число интервалов} NN=1000; {Выборка}

Rin:Real=5.0; Rax:Real=6.0;

var Min,Max,a,s:LongInt; m,zMin,zMax:array[1..n]of LongInt;

dispOC,xOC,Derta,Mir,Mar,sum,r1,r2,r3,r4,r5:Real;

MMO,OutPar:array[1..NN] of real; Key,i,j,k,Y:LongInt; Sym:char;

BEGIN RANDOMIZE; {1. Запуск генератра СЧ}

For k:=1 To NN Do {2.Формируем массив наблюдений за Мат.ожиданием MMO}

Begin

For i:=1 to NN Do {Цикл вычисления NN значений OutPar - суммарного сопротивления}

begin r1:=Rin+((Rax-Rin)*Random(65535)/65535); {0..65535 - интервал рэндомизации}

r2:=Rin+((Rax-Rin)*Random(65535)/65535);r3:=Rin+((Rax-Rin)*Random(65535)/65535);

r4:=Rin+((Rax-Rin)*Random(65535)/65535);r5:=Rin+((Rax-Rin)*Random(65535)/65535);

OutPar[i]:=r1+r2+r3+r4+r5 end;

{Строим массив m - частоты попадания значений OutPar в i-й интервал}

Mir:=OutPar[1]; For i:=1 To NN Do If OutPar[i]<Mir Then Mir:=OutPar[i];

Mar:=OutPar[1]; For i:=1 To NN Do If OutPar[i]>Mar Then Mar:=OutPar[i];

Derta:=(Mar-Mir)/n; For i:=1 To n do m[i]:=0; {reset of the m}

sum:=Mir;

For i:=0 To n-1 Do begin Mir:= sum+i*Derta;Mar:= Mir+Derta;

For j:=1 To NN do

if (OutPar[j]>=Mir) and (OutPar[j]<Mar) Then

Inc(m[i+1])

end;

{Получаем и записываем в ММО очередное (k-e) наблюдение мат.ожидания}

sum:=0; For i:=1 To NN do sum:=sum+OutPar[i]; sum:=sum/NN;

MMO[k]:=sum;

End;

{Вычисляем оценку истинного значения мат.ожиданием X^}

xOC:=0; For i:=1 To NN do xOC:=xOC+MMO[i]; xOC:=xOC/NN;

{Вычисляем оценку CKO оценки истинного значения мат.ожиданием X^}

sum:=0; For i:=1 To NN Do sum:=sum+sqr(MMO[i]-xOC);

dispOC:=sqrt(sum/(N*(NN-1)));

END.

В результате расчета имеем оценку: M(R_) = 27, 50032 кОм; данное математическое ожидание имеет следующий разброс: ^(^M(R_))=0,00528, представляющий собой оценку СКО оценки истинного значения математического ожидания M(R_) суммарного сопротивления данной цепочки резисторов.

M = 27.4947...27.5053

D = 0.4111...0.4199

2. Основы теории принятия решений

Принять правильное решение — значит выбрать такую альтернативу из числа возможных, в которой, с учетом различных влияющих факторов, будет оптимизирована некоторая ценность. Если оптимальное решение найдено в заданное время и при заданных затратах, то такое решение называют инженерным.

В общем случае задача принятия решения (ЗПР) возникает в том и только в том случае, если существуют:

1. цель, которую нужно достичь, учитывая влияющие факторы

2. различные способы достижения цели.

Все влияющие факторы могут влиять на целевую функцию в различных направлениях.

Пример:

Повысить надежность системы можно за счет увеличения числа резервных блоков, но при этом растет общий вес, поэтому принимаемое решение обычно является компромиссным.

До тех пор, пока стоимость компромисса меньше либо равна количеству имеющихся средств, с ним соглашаются. В противном случае на смену качественному приходит количественный анализ с применением научных методов теории оптимизации.

Постановка задачи оптимизации при решении ЗПР.

Необходимо определить значения параметров (x₁, x₂, …, x_n) целевой функции V(x) = V(x₁, x₂, …, x_n), при которых V(x) достигает экстремального значения и одновременно удовлетворяет следующему ряду ограничений:

1. f₁(x₁, x₂, …, x_n) = 0, f₁ < ₁

2. f₂(x₁, x₂, …, x_n) = 0, f₂ > ₂

m) f_m(x₁, x₂, …, x_n) = 0, f_m < _m

И т.д.

Среди методов решения задач оптимизации рассмотрим следующие методы:

1. метод прямого дифференцирования

2. метод множителей Лагранжа

3. метод симплекс-элементов

4. метод градиента

Метод прямого дифференцирования.

Применим в тех случаях, когда отсутствуют функциональные ограничения и целевая функция дифференцируется.

Пример:

Известно, что стоимость изделия в эксплуатации обратно пропорциональна его надежности, т.е. .

Чем выше вероятность безотказной работы, тем выше стоимость изделия в производстве, .

Суммарная стоимость зависит от P: .

.

Метод Лагранжа.

Метод применим, если на целевую функцию наложены ограничения в виде равенств.

Метод Лагранжа:

1. Составляется функция Лагранжа: , где _j — неопределенные множители Лагранжа.

2. Составляется система (n+m) уравнений вида:

Пример:

Определить минимальные веса резерва при заданном уровне надежности.

Пусть ЭВМ состоит из двух блоков. Если отказ одного из блоков ведет к отказу всей ЭВМ, то вероятность безотказной работы ЭВМ будет равна P=P₁P₂, где P₁, P₂ — вероятности безотказной работы первого и второго блоков соответственно. Если q1, q2 — вероятности отказа первого или второго блока соответственно, то вероятность безотказной работы всей ЭВМ: P=(1-q₁)(1-q₂)=1-(q₁+q₂)+q₁q₂=1-(q₁+q₂).

Пусть рассматриваемая ЭВМ будет высоконадежной, то есть P_i>0,9.

Если ЭВМ состоит из n блоков, то при высоком уровне надежности можно принять P_=1-q_i.

Пусть r_i — кратность резервирования i-го блока, т.е. количество дополнительных блоков, включенных параллельно c i-м.

Тогда вероятность отказа всего резервированного блока равна: . Таким образом, .

Вес резерва , где G_i — вес нерезервированного блока.

Так как по условию задачи задан уровень надежности, то Q_ является ограничением, а G_p — целевой функцией.

Составим функцию Лагранжа: .

Составляем систему из n уравнений, дифференцируя функцию Лагранжа по каждой неизвестной r_i: , откуда , где .

Неопределенный множитель Лагранжа вычислим, подставляя в функциональное ограничение: . Пусть .

Определим теперь коэффициент r_i: . Полученные значения r_i могут оказаться дробными.

Рассмотрим числовой пример.

Система состоит из 3-х блоков, P  0,9.

При каких r_i будет обеспечен заданный уровень надежности и минимальный вес?

Решение.

1. Вычисляем _i: .

2. Определяем :

4. Составляем таблицу для перебора оставшихся вариантов и выбора оптимального:

Варианты 1,2,3,4,5 не удовлетворяют требованиям надежности. ИЗ оставшихся выбираем вариант с наименьшим весом.

Метод оптимизации симплекс-методом.

Симплекс-метод позволяет решать задачи линейного программирования формально. Сущность метода рассмотрим на примере покрытия некоторой логической схемы элементами с заданным базисом. Пусть задана некоторая логическая схема (см. рисунок).

Характеристики

Список файлов книги