Артоболевский И.И. - Теория механизмов и машин (1073999), страница 89
Текст из файла (страница 89)
22.51 соответственно будут равны >1» >1> — 2а> = тг> — 2,5т = т (г> — 2,5)', >(>, = >1> — 25! = п>гг — 2,5т = т (г, — 2,5). Кроме колес с указанной выше высотой зуба, применяются колеса с укороченными зубьями. Для колес с укороченной высотой зубьев зги диаметры принимаются равными д„= т (г, + 1,6), >(„= т (г, + 1,6)> >(» — — т (г, — 2,2), >(и = т (г, — 2,2)', (22.14) Расстояние а между центрами О> и О, кцлес (рис.
22.5) может также быть выражено через число зубьев и модуль зацепления; аэ 2 + 2 2 + 2 2 (г>+ гз). (22.!5) В расчетах, связанных с проектированием зубчатых колес, часто пользуются относительными величинами. В частности, высота й; головки зуба часто выражается через модуль т, помноженный иа некоторый коэффипиент у'> Ь, = х'т.
(22.16) Точно так же высота Ь> ножки зуба может быть представлена формулой й> = у"т, (22.17) Величина у' обычно принимается равной 1>' = 1 для колес е неукороченной высотой зубьев и Х' 0,8 для колес с укороченной высотой зубьев. Соответственно у-" принимается равной> 43З Гл. З2. СИНТЕЗ ПЛОСКИХ ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ у" = 1,25 и у." = 1,11 "поэтому в общем виде формулы (22.12)— (22.14) имеют такой вид~ с(а, = т (г, + 2)(')г 6ла т (га + 2)(')г (22. 18) с!и — — т (г, — 2)(л), дув т (г, — 21(в). 5 98. Геометрия эвольвентных профилей 1'. Остановимся на вопросе о том, что представляет собой эвольвента круга и какими важными для теории зацепления свойствами она обладает.
Пусть задана окружность с центром Рагс. вв.у. Эввлввангы слуга в точке О (рис. 22.7). Проведем прямую АВ, касательную к этой окружности, и будем катить эту прямую без скольжения по окружности. Для построения эвольвенты круга делим окружность на равные дуги. А — 1', -' 1' — 2', '> 2' — 3', 3' — 4', ... На прямой откладываем от точки А участки, равные длинам этих дуг так, чтобы выполнялись следующие очевидные условия: А — 1'=А — 1, л!' — 2'=1 — 2, 2' — 3'= =- 2 — 3, ..., ~ !5' — 16' = 15 — 16. Тогда при качении прямой АВ без скольжения по окружности точки 1, 2, 3, „ 16 прямой АВ будут последовательно совпадать с точками 1', 2', 3', ..., 16' окружности.
При этом все точки прямой будут описывать кривые, которые носят название ззольаент круга. На рис. 22.7 показаны эвольвенты, описанные точками В и С. Из чертежа непосредственно следует, что все точки эвольвенты, описанной точкой В, отстоят на одинаковом расстоянии ВС от точек эвольвенты, описанной точкой С. Точки А, 1', 2', 3', ... ..., 16' при качении прямой по окружности будут мгновенными пентрами вращения прямой АВ, сама же прямая будет в каждом своем положении нормальна к Образуемой ею эвольвенте в соот- $88.
ГЕОМЕТРИЯ ЭВОЛЬВЕНТНЫХ ПРОФИЛЕП 433 ветствуюгцей точке. Окружность. по которой катится прягеая АВ, является эволютод — геометрическим местом центров кривизны эвольвент, описываемых точками прямой АВ. Таким образом, центрами кривизны эвольвенты являются точки А, 1", 2', 8',... ..., 1б'. 2'. Зависимости отдельных параметров эвольвенты круга между собой особенно ясны, если мы рассмотрим уравнение эвольвенты, Пусть задана окружность радиуса Гь и прямая 1 — 1, касательная к окружности в точке М„ (рис. 22.8).
При качении прямой 1 — 1 по окружности точка прямой М, описывает эвольвенту МоЭ. Для точки М эвольвенты имеем ОМ = ОА +.йМ. ,ч Модуль вектора ОМ равен ) ОМ ) .=- т' Г" + Не = 1. (22.19) Модуль вектора АЛ1 представляет собой радиус кривизны ( о ) эвольееиты в точке М. г. 8 Из уравнения (22.!9) получаем величину р=л! (22.20) Из рис. 22.8 следует, что М вЂ” с' 'ь (па = — и а = агс1д 'ь 'ь Рнс. 22,8. К внволу уРввненнв евольвенсн (22.211 Из свойств эвольвенты следует, что отрезок АМ равняется дугеМ,А, т. е.р = АМ„, В своюочередь дуга - АМ,(рис.
22.8) равна '-~ АМ, = Гь (О + а), откуда р = Гь (О + а). Подставляя только что полученное нами выражение для р в равенство (22.21), получаем О+а= (яа (22.22) или, принимая во внимание формулы (22.21), имеем т/г' Высота у эвольвенты над окружностью, измеренная на продолжении радиуса окружности, определяется из равенства (У+ ГЬ) СОЗ а = ГЬв откуда 'ь у = — (1 — сое а). сов а 432 Гл. 22, СИНТЕЗ ПЛОСКИХ ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ Наконец, принимая во внимание равенство (22.22), найдем угол О, определяющий направление радиуса-вектора ОМ любой точки М эвольвентьп 0 = (да — а. (22,23) Полученная функция угла а называется ввольвентной функцией и обозначается сокращенно >пч (инвомота). Имеем яе й = (пч а. (22.24) Полученной функцией пользуютсядля аналитического определения направления радиуса-вектора 0)в(.
Для удобства вычис. лений составляются таблицы >пч а для различных значений угла а. Модуль векторов ОМ равен 12 2 1 *= —. ссйа ' 3'. Профили зубьев круглых колес, построенРие. 22.2. Схеме вевеплевия двух вволввевеяых НЫЕ ПО ЭВОЛЬВЕНтам~ вСЕГДа проФилей обеспечивают передачу движения с постоянным передаточным отношением. Для доказательства покажем, что нормаль к сопряженным профилям, построенным по эвольвентам, всегда проходит через мгновенный пентр вращения Р в относительном движении, занимающий постоянное положение на прямой 0,0, (рис 22.9). Пусть заданы центроиды Ц, и Ц, (рис.
22.9). Через мгновенный центр вращения Р проводим прямую и — и под произвольно выбранным углом а, к касательной г — г. Далее, из точек О, и О, опускаем на прямую п — и перпендикуляры О,А н О,В и проводим радиусами О,А = гы и О,В= гй, окружностя. Этп окружности примем за зволюты — геометрические места центров кривизны эвольвент. Указанные окружности носят название основных окружностей. Прямая и — п, являющаяся по построению общей касательной к этим окружностям, называется абразуюи(ей прямой.
Мгновенный центр Р является пол>осам зац>пленил, а угол а — углом зацепления. Эвольвенты могут быть получены качением образующей прямой п — и по основным окружностям. Для этого, как было показано на рис. 22.7, делим образующую прямую А В на равные отрезки и откладываем на основных окружностях дуги, равные этим отрезкам. Тогда точка образующей в ав геометрия эвольввнтиых проеилеи 435 прямой, совпадающая с центром Р, описывает при качении по основной окружности колеса 1 эвольвенту РЭ,. При качении той же прямой по основной окружности колеса 2 та же точка опишет эвольвенту РЭ,. Эвольвенты РЭ, и РЭ, имеют крайние точки 1' и 1", лежащие на основных окружностях.
В противоположном направлении эвольвенты могут быть продолжены безгранично. Если продолжать катить образующие прямые за точки 1' и 1'-, то мы получим симметрично расположенные ветви эвольвент. 4'. Можно доказать, жа что если указанным способом построены эвольвен- хе ты, то общая нормаль в в любой точке соприкасания профилей всегда будет проходить через полюс зацепления Р. Ф Пусть заданы центрои- я ды Ц, и Ц, (рис. 22.10) и .$х ва угол а„наклона образую. щей прямой и — и к ха- н сательной ! — й Строим основные окружности Ба и «ах Бв и эвольвенты Э, и Э,. В показанном на вх рие. 22.!О походном поло ри . увпо.
зацепление ваольвент в двух ноно. женин двух эвольвент Эг женина наоаннн и Э, их общая нормаль и — и проходит через полюс зацепления Р и одновременно касается основных окружностей Я, и За Представим себе, что колеса повернулись и эвольвенты заняли новое положение. Нормаль к эвольвенте Э, в этом положении должна быть касательной к основной окружности ЭО нормаль к эвольвентеЭ,должна касаться основной окружности Зв Так как в точке касания эвольвент нормаль должна быть общая, то она должна одновременно касаться и той и другой основной окружности, и, таким образом, при вращении колес их общая нормаль не меняет своего положения и все время проходит через полюс зацепления Р.
Следовательно, передаточная функция им от колеса 1 к колесу 2, равная ео, (Оар) и охв (О,Р) ° прн вращении колес остается постоянной. Таким образом, увояовентное зацепление обеспечивает постоянство передаточной функции (передаточного отношения). 43а Гл, 22. СИИТВЗ ПЛОСКИХ ЗУВЧАТЫХ МВХАНИЗМОВ 5'. Между радиусами гы, г, и гб„г, основных и начальных окружностей (рис. 22.10) существует простая зависимость: гб, — — г,сова, гб, = г„,сова„, (22.25) откуда в случае внешнего зацепления имеем Рз ' где р, и р, — радиусы кривизны сопряженных эвольвент Э, и 3,. Таким образом, передаточное отношение и„не зависит от угла зацепления а, а только от радиусов основных окружностей.
Из условия (22.26) следует, что при изменении расстояния 0,0, аа ' '.. .' „ (рИС. 22.11) МЕжду ОСЯМИ КОЛЕС С эвольвентным профилем зубьев пс«е' ,г редаточное отношение и„не изменяется, если при этом сохранены радиусы основных окружностей. Отступление от расчетного расстояния — 0,0, может иметь место при монтаже г' и сборке механизма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
