Ландсберг Г.С. - Оптика (1070727), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Если начало координат поместить на поверхности голограммы, то в ее плоскости поле опорной волны принимает вид Ео(р) = Ао ехр (Жор). (60.3) Итак, суммарное поле на поверхности голограммы записывается следующим образом: Е (р) + Е(р) = А р(1~с р) + А(р) р [~р(р)]. (60.4) Согласно правилам пользования комплексной записью колебаний распределение освещенности 1(р) в интерференционной картине пропорционально квадрату модуля выражения (60.4), т.е.
1(р) = /Ео(р)/~ + !Е(р)/~ + Е„*(р)Е(р) + Ео(р)Е(р), (60.5) причем мы опустили несущественный в данном расчете коэффициент пропорциональности. Допустим, что мы изготовили позитивную фотографию интерференционной картины, а фотоматериал и режим проявления выбрали таким образом, что коэффициент пропускания голограммы Т(р) пропорционален освещенности 1(р), т.е. Т(р) = То1(р). В этих условиях описание второго этапа голографирования сводится к следующему.
Просвечиваюп1ая волна, идентичная опорной, проходит голограмму и оказывается промодулированной в соответствии с распределением освещенности в интерференционной картине, Обозначая через 1!'(р) освещающее поле на выходе из голограммы, т.е. на ее «выходной» поверхности, находим ~(а) = Т(р)Е,(р) = То1(р)Ео(р).
(60.6) 11 ) Поскольку условие постоянства фазы ~«ег = сопя1 определяет плоскость, перпендикулярную к 1«е, выражение (60.2) действительно соответствует плоской волне, распространяющейся вдоль 1о. 8 Г.С. Ландсберг дифРАкция сВБТА С помощью соотношений (60.5), (60А) и (60.3) выраженик1 для Ф'(Р) можно придать следующую форму: ~Г(Р) ~1(Р) + ~2(Р) + с~З(Р)~ 61 (Р) = ТОПАО!'+!А(Р)!'3ЕО(Р), с2(Р) = ТО/АО/ Е(Р)> ~33(р) = ТоАОЕ*(Р) ехр (2г1сор) (60.7) ) В рамках представлений, основанных на разложении поля Е(р) на элементарные волны, член ~А(р)~ описывает, очевидно, дополнительную 2 структуру голограммы, обусловленную интерференцией между этими элементарными волнами. Как было выяснено выше, указанная структура приводит к некоторому рассеянию просвечивающей волны, но вредное влияние такого рассеяния можно устранить рациональным выбором углов падения опорной и просвечивающей волн, Уравнения (60.6) и (60.7) были впервые получены Д.
Габором (1948) и носят название уравнений Габора. Таким образом, поле гг(р) оказывается возможным представить в виде суммы трех членов. В силу принципа суперпозиции мы можем по отдельности рассматривать дифрагировавшие волны, обусловленные каждым из этих членов. Согласно принципу Гюйгенса — Френеля, дифрагировавшее поле за голограммой однозначно определяется фазами и амплитудами фиктивных источников на некоторой произвольной поверхности. Такой поверхностью может служить выходная плоскость голограммы, для которой мы вычислили поле (с(р)) и, таким образом, узнали характеристики фиктивных источников Гюйгенса — Френеля.
Напомним, что существенное значение в любой дифракционной задаче имеет только закон распределения фаз и амплитуд фиктивных источников. Уменьшение или увеличение амплитуд, одинаковое для всех фиктивных источников, обусловит лишь пропорциональное изменение амплитуд дифрагировавших волн, но не повлияет на их характерные особенности. Последнее обстоятельство позволяет не проводить решения дифракционной задачи в полном объеме и, тем не менее, выяснить структуру восстановленной волны.
Часть поля на границе голограммы, описываемая членом с'1(р), с точностью до множителя То()АО~" + ~А(Р) ~~1 совпадает с тем, которое создала бы опорная волна в отсутствие голограммы, т.е. при свободном распространении. Опорная волна обычно значительно более интенсивна, чем предметная, так что членом ~А(р) ~2 можно пренебречь и коэффициент пропорциональности между г.",1(Р) и Ео(Р) оказывается постоянным. В этом случае, следовательно, член с'1(р) отражает тот факт, что за голограммой будет распространяться плоская волна, совпадающая по направлению с опорной ).
Член г~2(р) в (60.7) пропорционален полю Е(Р), созданному в плоскости голограммы волнами от исследуемого объекта. Ясно по- 227 ГЛ. Х1. ГОЛО1 1'АФИЯ этому, что поле, формируемое соответствук1щими вторичными источниками Гюйгенса Френеля, идентично тому полю, которое создается самим объектом в отсутствие голограммы. Таким образом, эта часть поля отвечает мнимому изображению объекта. Можно сказать поэтому, что наблюдение мнимого изображения эквивалентно рассматрива.- нию самого предмета через отверстие, совпадающее с рабочей частью голограммы. В свете сказанного способность голограммы восстанавливать изображение с помощью небольшой части своей поверхности получает почти тривиальное объяснение: указанная способность эквивалентна тому, что при непосредственном рассматривании какой-либо точки предмета используется только та часть ее излучения, которая ограничена действующим конусом лучей, попадающих в глаз.
Нетрудно показать, что член 1',з(р) описывает образование действительного изображения объекта. В этом мы убедились на примере точечного источника света (см. ~ 59). Последовательно помешая экран в разные сечения области локализации действительного изображения, можно получать четкие изображения трехмерного объекта и его деталей, не применяя никаких дополнительных оптических систем. При таких наблюдениях легко обнаружить, что подобие между объектом и действительным изображением имеет место только при условии, что опорный и просвечивающий пучок падают на голограмму перпендикулярно к ее поверхности. В противном случае действительное изображение оказывается искаженным и при некоторых условиях может даже исчезнуть (см. упражнение 263). До сих пор мы считали опорную волну плоской.
Из элементарной теории, изложенной выше, нетрудно усмотреть, что в качестве опорной может служить и сферическая волна. В самом деле, заменим выражение (60.3) на Ео(Р) = -4о ехр [гйо!го — Р!], где гц — радиус-вектор центра сферической волны. Поскольку и в данном случае ~Ев(р)~ = ~.4в~~, по-прежнему получим 1'.2(р) ж.Е(р), и, следовательно, мнимое изображение остается таким же, как и при плоской опорной волне.
й 61. Голограмма как элемент идеальной оптической системы. Получение увеличенных изображений В предыдущих параграфах мы предполагали, что опорная и просвечивающая волны идентичны. В этом случае мнимое изображение полностью копирует сам объект. Однако выполнение указанного условия отнюдь не обязательно, и голографирование успешно осуществляется и в том случае, когда на первом и втором этапах применяется излучение с разными длинами волн и разными кривизнами волновых фронтов. Такие изменения условий опыта позволяют получать увеличенные изображ~пения голографируемых предметов.
Рассмотрим голограмму сферической волны, получаемую с применением также сферических волн в качестве опорной и просвечивающей. Световые колебания, ссютветствующие этим трем волнам, в 228 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА точке с радиусом-вектором р голограммы можно записать в виде Е(р) = Аехр ~гй(г, + р, — р(1, Ео (Р) = -4о ехр Р! го + Ро — РЦ. (61 1) Ео(Р) = Ао ехр И'!го+ Ро — Р!1 Векторы р„ро, р' задают положение оснований перпендику.ляров г„ го, го, направленных из плоскости голограммы в центры предметной, опорной и просвечивающей волн соответственно (рис. 11.9). Волновые числа й = 2л/Л и й' = 2тг/Л', вообще говоря, не равны друг другу.
Будем интересоваться сначала мнимым изображением предмета. Повторяя рассуждения, проведенные при обосновании соотношения (60.6), нетрудно убедиться, что интересующая нас часть поля Ж2(р) на «вьтходнойт» границе голограммы после ее просвечивания выражается соотношением ~х(Р) = ТоЕо(Р)Ео(Р)Е(Р) = 2о-4о.4о-4ехр тт~Ч(Р)] (61.2) где т~!(Р) — фаза колебания в точке с радиусом-вектором р, ц~(р) = ~!г»+ р. — р! — Цго+ ро — р~+ ~'~го+ р', — р~.
(61.3) Предположим, что длины перпендикуляров значительно превышают разности ~р, — р~ и т.д., т.е. углы падения лучей на. голограмму малы для всех ее точек и для всех трех волн. В этом случае простые, но громоздкие преобразования, которые полезно проделать читателю в качестве упражнения, позволяют представить л(р) следующим образом: й' ~, (р) = —,, (р — р )'+ /о, (614) сс где ф~о не зависит от р, а г'„р', определякттся соотношениями — = — + —, — —, (61.5) 1й ~с й ~с T» т» тд го О О 1 т Р 8 1 р» + а т Р о Ж р о ( 6 1 6 ) Tа ХЯ го го Рис 11 о т; теории го тографи- РаспреДеление фаз, отттлсьтваемое формулой (61.4), могла бы создать сферическая волна с длинотт Л' = 2тг/Й', причем центр ее дОлжен находиться на перпендикуляре длиной г'„восстановленном из точки р',. В таком случае построение Френеля, обсужденное в 8 33 и относящееся к свободному распространению сферической волны, позволяет заключить, что за голограммой будет распространяться сферическая волна с указанным положением ее центра.
Другими словами, формулы (61 6) и (61.6) для г,', р', определяют положение изображения точечного объекта, находившегося при экспонировании голограммы в точке, задаваемой величинами т«, р«. ГЛ. Х1. ГОЛОГ1'АФИЯ Таким же путем можно вывести аналогичные соотношения, описывающие положение (г,", р",) второго изображения точечного источника., которое формируется при просвечивании голограммы: 1~Г го в й' 1о с + го го / + ~~ Ро + ~ Ро го го (61,8) Подчеркнем, что величины г'„г," могут быть как положительными, так и отрицательными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
