Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Однако в обычных условиях интерес представляет только от. носительное распределение интенсивности, а не ее атк:олюгная велнчына. В этом случае интеасивность измеряется просто вели шной , 'У„, (А Таким образом, комплексная скалярная функция (12) позволяет вычислять распределение интенсивнтюти в изображении, полученном с источником естественного света с помощью оптической системы прн умеренной числовой апертуре. ие зависящий от Х, )т и 7, также не должен зависеаь от Т (неявно содержа- щегося в !' и д на основании Д7)), сели набл одастся стационарное явление. Поэтому величина (22) постоянна (допустим равна С), и оиончательно можно написать выражение длн интенсивности в виде !гл.
В элементы !загни диогхкцин 5 8.5. Дифраицня Фраунгофера на отверстиях разной формы Исследуем теперь картину дифракции Фраунгофера от отверстий разной формы. 8.5.1. Прямоугольное отверстие и щель. Рассмотрим сначала прямоугольное отверстие со сторонами 2а и 2(>. Если на гало коордннзт 0 находится в центре прямоугольника, а осн 02 и Он параллсльны его сторонам (рпс. 8 8), то дпфракпнонный интеграл Фраунгсфера (8.3,36) принимает вид а Ь 0(Р)=С ~ ~ схр[ — й(р~+>)»1ЦЩ>(ц=- -а -ь о ь гл = С ~ зхр ( — !лрс) >(с ) ехр ( — й>уц) с(ть Рнс.
8.8. Прямоугольное о»сер. стас. Тогда 1 сн>вра . ехр ( — 18рй) й» =- — — [ ехр ( — йра) — ехр (!йра)) = 2 йр ар -о Такой же вид имеет и вторбй интеграл. Следовательно, интенсивность записывается в виде )(Р) =-)0(РП =(",",' )'("~~')'У' (1) где, согласно (8.3.44), 1,.: С>0':= ЕПрь> — интенсивность в центре картинкп хф — полная энергия, издающая на отверстие, а )) р 4ай — площадь прямоугольника.
р Тсалн иа 8.! у,у Петь нервах мвасннуноо зун»снн дд ! с1н х)" х Ог у(7 йг г)( График функции р= (*1пх>х)' приведен карис. ВЗ. Она имеет главнын максимум у = !при х — О и минимумы, разные нулю, при х —: ьи, ~2и, гв л б»3и,, ели мнннмрмы Равд>лнют втоРичныс Рсс 8 о Дн>Ряс»сна ч>РаУн- макснмумы, полоукевпе которых определяется кор- софсрс нс оряноусольаомот- нямп уравнения !2х — х= О (см. табл. 8.1). Зна- с»устин. сенин корней аснмптотически приближаются квели- го>асс еуососс у=[ — """)>. чина»>х=(2т ->.
!)и 2, где щ — нечетное пслое чнсло. Очевидно, что интенсивность !(Р) равна нучк! вдоль двух рядов линий, параллельных сторонам прямоугольника, Полом!ение этих линий определя- ется из соотношений йра= -~ ия, лрб= д. ю! (и, о= — 1> 2, 3, ...), (2) 858 й 8.5! диаехкшся егххигоегеа на отверстиях разной еогиы или, так как р =( — („с(= — гп — глз, А = 2х(х, и( ох — — — гл — т =~ —. а 2а 2Ь ' Внутри кахсдого прямоугольника, образованного последовательными парами темных полос, интенсивности аост((сыог максимумов, которые, однако, сос((свлякт лишь ма(сукс снись ннсекснгсноств центрального максимума и быстро уххпыпыотся по мере удаления от центра (рис.
8.10). Сле(сует отметигь, что больше ау размеру отверстия соответствуют меньшие эффективные размеры днфракционной картины. Переход от злсмснтарпсй дифракшсонной кар(ины, обрезана.свой когерентлсым светом точе(ыого источнвка, к дифракциоп(юй картвне, обусловленной свстолс протяженного источника, хюжпо осугцествить путем интегрирования, В случае когерентного исто шцка интегрируются комплексные амплитуды, в случае же некогерентного источника интегрируются интенсивности.Дифракционную картину, 1, Рас.
8.Ю. картннз лафракнна Фраунгофара аа полученную с (асти (но нигерии' арззсоугьчьноч ста;рс~аа акт,аа (ао люкону. ным источником, можно найти та- т о:ору к Томпсону) кнм зКе ПутеМ, если прн нптЕгрнре- ха °, . зох,.— аз заа г-гтт Х вЂ”. з зо з. ванин учес(ь корреляцию, сущест- "' а"",'р,„ы,„„„,",,'„"„",'р",'.,',"„',",„"„„'р'„",„',,"„"„т"" """ ву(ощую между излучением от разли сных точек источи(сна(слс гл. 10). Особенно важен случай кнфрзкции некогерептного света от линейного источника (например, светящейся проволоки) иа щели, параллельной источнику.
Для простоты предположим, чш как светящаяся проволока, так и щель бесконечно длинны, и лопустнм, что ось р параллельна источнику. Так как с( =.= т-- — (пж глс ш, определяет положение точе шс1го источника, то интенсивность 7', обусловлеьная .чинейным источником, получается интегрированием (1) по т. е.
У == ~ 7(Р) бр=„— '(",",'"",'*У, ~ ,'— '",")'б(. Кзк' известно (см., например, (23!), '! ( — ) ас((.— н, и, следовательно, (зснара1з„ ера где Х 2ан сз = з (5) ;.(((франце(пиная картина снова описывзется функцией (зш х,'х)а и состо(т из сюследовшельностп светлых и те псых почос, парзлчельпых линейному источнику и щели.
с'; — постоянная интенсивносгь в центре (7 =0. 384 (гл. 8 ВЛЕЫЕНТЫ ТЕОРИИ ДИЕРЬКЦИИ 8.8.2. Круглое отверстие. Аналогичным образом можно исследовать дифракци)о Фраунгофера на круглом отверстии. Для этого целесообразно использовать полярные коордвнаты вместо прямоугольных. Пусть (р, О)— полярные координаты пронзвочьнай тачки отверстая, т. е.
рсоз0=$, рз!ПО=Т), (б) н пусть (в, ф) — коорд~гггаты точки Р в днфракцнонной картине, относящейся к геометрическому изображеншо источника, т. е. всозф=р, вз1пф=ф (7) Из определения р и г) следует, что в=)г ре+г)е равно синусу угла между направлецнем (р, о) н центральным направлением р =-д=-О. В такам случае, если а — радиус круглого отверстая, то днфракцнонный интеграл (8.,!.Вб! принимает вид (1(Р) = С ] ) ехр [ — !йрвсаз(Π— ф)] рг(рЮ.
[8) о о Воспользуемся тепсрь хорошо известным интегральным представлением бесселевых функций ') 1„(г) гн — '] ехр [гх соз о] ехр ((по) ТЬ = е'„(х). (О) о Тогда уравнение (8) сведется к У(Р)=2гтС],/,(йов) рс(р. е Существуег также хорошо известное рекуррентное соотношение (см., мер, !241 или [261) л [х""'увы(х)) = в"т1„(х), напри- ") ьм., например, 124] или 1251, ' ) Поня олвоеременно с Эйгри, И)веря ввав приближенное решение, еамение кружок преенсьньм ыногоугольннхом со )ВО сторовеми. Векторное рессмотрение лнфрякнни стелящейся сферической волны не круглом отверстии с учетом нолярвеенионных особенностей поля было опубликовано в 12В1. дающее после интегрирования для в=О ) х'ге (х') г(х' = хо'г (т).
(12) о Ив (10) н (12) следует, что !1(Р) = С[) ~ааь """'1 . (13) где !и =иле. Следовательно, интенсивность определяетсн выражением (14) где в соответствии с (8.3.ф!) 1е = С'0г = ЕР1).ь. Эта широко известная формула в несколько ином виде впервые была получена Зйрн 1271" е). Распределение интенсивности в окрестности геометрического нзображепвя описывается функцией р=(2/ь(х)ух)', график которой приведен на рис. 8.1!. Она имеет главный максимуы д=! при х=О н с увеличением х осцнллируег с постепенным уменьшением амплитуды подобно функции (з!п х)х)', ф 8.51 диФРАкпия ФРАуигоФЯРА ИА отВЯРсгияа РАзной Формы 7В! Тнблг пл 82 Несколько пернмх максимумон и минимумов функнни йВ В,7 ВВ 2В й.! 02 1 О 0,0! 0 0,00 0,00 О 1, 220л — 3, 832 1, 635т —. 5, 186 2, 233л = 7(0! б 2, 8 79л = В, 417 3 238л - 1О, 174 3, 699л =- 1 1, 620 В1ВВВВВУВпл Положения вторичных максимумов определяются значениями л, удовлстворгооаими Рис.
8.11. Лифрнкнин фрлунгю фере кн круглом юеерстни. ГР Ф Фтк уравнению -„"- ~" (л)1 =О, (лд ! (тт или, польауясь формулой ') (аналогичной (!1)) „— [л"1„(л)) = —, х-"1„„, (л), (16) — корпяыи )равнения 1т(л) —. О. Прп увеличении л расстояния между последовательнымн ьпгпиыумаын или послгдовательнымн максиыуыаыи прпблюкаются к л, как и в прегцлдущеьг случае. 11айденные результаты показывают, что наблюдаеыая картина имеет внд светл!но диска с центром в геометрическом изображении нсточника р — д — О, окруженного светлыыи и темными кольцами (рпс.
8.1! н 8.12), Интенсивность светлых колец быстро утн ныл!антея с увеличением радиуса и обьтпо тол~ко одно или диа первых колы!а достаточно ярки, чтобы их можно было наблюдать нспооружсниым глазом. Из табл. 8.2 следует, что, поскольку л=-2лаплгл, радиусы темных полос равны 1, Х А Ю=)г Р'+92=-0 610 л, 1,1!Ол, 1,619 о, ... (16) Рнс 8 12. Кнртине лифрекннн Фритнго(срн ~тл к(гт~лагг ыпсрсгнн (кнртиин Эйрн) лиаистром 6 лгн (по Липсонут Т илору и Тоипгону). Р т их ие с итн исн Р ьнеп Расстояние между двумя соседннми кольцами асиыптотпчески приближается к величине )12а. Здесь мы снова видим, что эффектквиые размеры дпфракцианной картины обратно пропорциональны линейным размерам отверстия, ') См., ннпример, 1241 и 1261.
рассмотренной в п. 8.5.1. Интенсивность равна нулю (минимум) при значе- ниях л, определяемых 1,(л) = О. Минимумы уже ие строго эквидистантны (см. табл. 8.2). алвмвнты тногнн дноолкцнв (гд 8 (21) Представляет также интерес определить, какая часть полной падающей энергии првходптся на центральное пятно дифракцнанной картины Обозначая ~ерсз 1,(ш.) ту часть ~ одной энергиц, которая приходится на кружок радиуса ш, в плоскости изображения с центром в геометрическом изображении, получим .зн зн з, о 7-(шо) = 8 ~ ~ у(ш)шбшбф=- )з ~ ) ~ 'д„, ~ ичйвг(ф= 2 ~ — ')ц)х.
(17) о о Учитывая уравнение (15) для н=-0 и умножая на зл(х), получим — ) =,), (х) ул (х) — — '" Хл (х) = — — — (з,о (х) + з',з (х)) . Поскольку Уо(0) =1, зл(0) =О, выражение (17) сводвтся к 1. (шо) = 1 "го (йешо) гл (йцшо). (18) Эта формула была получена Рзлссм 129, 80] График функции 8(ыо) показан на рнс. 8 18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
