Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Тогда, согласно (Б), интеграл по поверхности равен нулю. Существует другая дополнительная форма теоремы!'елъигольпа — Кирхгофа длн случая, когда функция О непрерывна и дифферснпирусма до второго порядка виг и на самой замкнутой поверхности 5 (источники внутри). Однако в таком случае, как и в задачах, сиязанвых с распространением света в бесконечной среде, однях граничных значений иа 5 уже недостаточно для получения однозначного решения. Здесь требуются еше дополнительные предположения относительно решсния зз) нрп 5 оо. До снх пор рассматривались только строго монохроматнческие волны. Теперь выведем теорему Кирхгофа в общем виде, пригодном и в случае немоиохроматическнх волн.
Пусть )г(х, р, г, У) — решение волнового уравнения 1 ону (9) ) Зте теореме вырзжзег О (Р) через О н дО)дн нз 5. Том ис менее ножно апкззать нз осповзпнн тсорнв фупкннн Грипз. что лля опрглсленип О в каждой точке Р внутри Л ластата пю анной лакой-нибудь величины, г. с. нлн О, илн д)рдл (см., взпрнмер, 171). Оливка тол~ко в прессе)г~пнч слтчзят, нзпрнмер кагля 3 — плоскость, можно нзйти гостветстнующую функцию Грниз 1см. !8)). *") Жслюомис более подробна познакомиться с зтим забросом могут воспользавзться, икпрвмер, (б).
где с(Г)- — элемент телесного угла. Так как интеграл по 5 не зависит от в, можно заменить интеграл в правой части 18) его предельным значсиием прн в О. Первый и третий члены в нем не дают вклада и этот предел, а полный вклад второго члена равен йлО(Р). Следовательно, (гл. 3 Влемгнты тэаган дноглкцнв н его можно представить в виде интеграла Фурье К(х, у, г, ()== ) (/„(х, у, г)ехр( — (ы/)4(м. ! )/Б Тогда по формуле обратного фурье-преобразования (/„(х, у, г) — ) У(х, у, г, /)ехр(/ы()е(К 1 у'гл (1О) Так как предполагается, что 1»(х, у, г, б удовлетворяет волновому уравнению (9), то (/ (х, у, г) удаве!створне! не зависящем! ат времени волновал«у уравиени»о (2). Если, храме того, (г подчиняется соответствующим условиям регулярности внутри замкнутой поверхности 5 н на ней, то мы вправе применить формулу Кирхгафа отдельно к каждан фурье-компонепте (/„(х, у, г) = =-(/ (Р), т.
е. написать (/ (Р) ! Д ~(/ д ~е»ы») его» ди (12) Изменяя порялок интегрирования и полагая й= ы/с, приведем (10) к виду ехр 1 — оо (( — е/е)1 '1 ехр ( — ке (( — е/е)1 д(/ ( * 5 дл ( ) [) )д /!т лед»1 (/ . — (х — ) + — — [ схр ( — йо (à — з/с))— )д ~о ) ее дл1 ехр 1 — оо (! — е/е)1 оп 1 — ! йо » дл ) нли, используя (!О) Р(Р. ()=-4'.~~~(~«й®-.2 [о,-'1 —,' [й~[- (13) В квадратных скобках заключены <запаздывающие величины», т. е.
значения ф)нкцвй, взятых в мао:епт времени 1 — г/с. Формула (13) представляет собой глеорежу Кирхгофи в об!цем виде. Па аналогии с предыдущим случаем отметим, что если Р находится вне 3, то вели шна интеграла в (13] равна нулю. Последний член в (131 представляет собой вклад в решение, обусловлен- 1 дк - ный распределением всточников с «силой» вЂ” — —. на единицу площааи, а 4л дл первые лвз ч.!еиа — - иьлал ат дппалей <силой» (г/чп на единицу площади, направленных нормально к поверхности. Естественно, что зги источники и диполи фикгявные в, следовательно, в такой интерпретации пст глуаакаго физического смысла. 8.3.2.
Теория хнфракции Кирхгофа. Интегральная теорема Кирхгофа базируется на асвовной идсс принципа Гю!)геисз — Френеля. Однако законы, уиравляющие вкладами ог ра личных элементов поверхности, значительно сложнее, чем предполагал Френель. Тем не монсе Кирхгсф показал, что во многих случаях эту теорему мажпо свести к приближенной, но более простои форме, зквнвален!най формулировке Френеля, и, кроме того, определить точный внд коэффициента накопив, который в теории Френеля остается неопределенным. 349 $ 8.31 укоряя пнФРлкпии ккрхгофл рассмотрим монохроматическую волну, идущую ет точечного источника Р„ сквозь отверстие в плоском непрозрачном экране. Пусть, как и раньше, Р— точка, в которой определяется снеговое возмущение. Допустим, что линейные размеры отверстия велинн по сравнению с длиной волны света, но малы по сравнению с расстояниями от Р„и Р до экрана.
Для того чгобы найти возму~ггеные в точке Р, рассмотрим интеграл Кнрхгофа по поверхности 3, образованной (рис. 8.3, а): 1) отверстием г/, 2) участком Ж неосвсщеаной стороны экрана и 3) частью и ог1льшой сферы с центром /и,гу и Рц л) ф Рнс. 8.5. К выпаду днфраканоннаа формулы Френеля — Кнркга4а. д Р и ради>соы /г, которая вместе с 4 и и) образует замкнутую поверхность. Из теоремы Кнрхгофн в форме (7) имеем У(Р) =4 Я+Я+ ф(У „( (, ~/ ~ ( )) 3,;)ыо ( 4) 14,~ и.) где, как н ракьшгь г — расстояние между элементом г(3 и Р, а д/да — обозначает днф)сренпированис вдо.щ внутренней нормали к поверхности интегрирования. Здесь дело осложняется'теч, что значения (/ и дУ/дл на 4, Я и и", которые необходимо подставить в (14), никогда точно неизвестны.
Однако разумно счнтатчч что повсюду на,./, кроме мест, находящихся и непосредственной близости к краю отверстия, У и д(/!дп мало оглн|аюзгн от тех значений, которые они имели бы в отсутсз вне экрана, и что на Ю эти величины близки к нулю. Тогда, согласно Кирхгофу, имеем д// дщя .4:У-Ую, — = —, дл дп г/г/ (18) на В: У.—: О, — =-О, ди где Ио = —, †.= — [Й вЂ” ~ соз(п, и) АРГЛ' дмы Лг'Я' Г 1 З (16) ил г — величины, относящиеся к падающему полю (рнс.
8.3, б), а А — постоянная Приближения (13), называемые гролиигыли услогияии Кирино(да, лежат в основе теории дигфуакцин Кирхгорто Остается еше учесть роль ~астп сферической поверхности 14, Теперь очснндно, что, беря радиус Р достаточно большим, кожно получить значения (/ и дИда на в( сколь угодно малыми и, следовательно, можно пренебречь вкладом ог и. Однако прн неограниченном увеличении Р площадь и также неограниченно увеличивается н условие У-~.О и дУ/де-РО при /г-ьео недостаточно для того, чтобы наш интеграл стремился к нулю.
Таким образом, необходимы (гл. 8 збо злкчкиты тсогни дн«гхкцнн (18) Лли цен гралыюй зоны у.= 0 и (20) лает К, =- К(0) =- — (гуь что согласуется с (8.2.14). Видно, однако, что Френель неправильно предполагал, будто К (и!2) — О. Возвращаясь снова к дифракциоиной формуле Френеля — Кирхгофа (! 7), отметим, что она симметрична относительно истопника (ьточки наблюдения. Это ") Это преднодоькенне несущественна, но сокрвпиег обсуждение. Ьопее йориальнущ вргуиевтвпщо гн.
е 191. ") Выреженне (20) длн конййипневта неклонв впервые получено стоксои 1101, более точные допущения относительно поведения волновой функции нз большом расстоянии от экрана. Этот вопрос уже обсуждался на стр. 347 в связи с вопросом об однозначности решений задач, рассматривающих бескоиечнью среду. Для нашей жс задачи достаточно сделать физически очевидное допущение, что радиационное ноле не су!Кегииозало всегда, а начала созднватьги истгтчннком в некоторый опрелеленный момент времени ') ( — й. (Это, конечно, означает отступление от строгой монохроматичности, так кзк идеально моно.
хроматическое поле существует неограниченное время.) Тогда в любой момент времени () („ поле заполняет некоторую часть пространства, внешняя граница которой находится от Р, на расстоянии, не превышающем с((- — (,), где с — скорость снега. Оледовагсльна, соли ралнус )7 выбирается столь большим. что в момент наблюдения в Р вклад в возмущение от У( отсутствьет (так как в этот люмент поле еще не достигло столь удаленных областей), то интеграл по Е равен нулю.
Учитывая это и пренебрегая и производных по нормали чле. нами 1!г и 1(з, малыми па сравнению с Л, окончательно получим вместо (14) (7(Р) — — иг) ) [соз(л, г) — соз(л, з)]сЮ. (17) «( Это выражение называется дифрал((ионной формулой Френеля — Кирхзофо. Очевидно, что вместо 4 мы вправс выбрать любую другую незамкнутую поверхность, границы которой совпадают с краем отверстия. В частности, выесто «4 можно взять часть ЧУ падающего волнового франта, которая прн- Р (т близнтельна запалнвет отверстие, н часть И' 'й' конуса с пер!пинай в Р, и с образующими, проходящими через края атверстия (рис. 8.41.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
