Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 94
Текст из файла (страница 94)
При достаточно большом з( радиусе кривизны волкового фронта РВС. 8.4. К ВЫВОДУ ДНГРР«КПНОННОЗ фОР- ВКЛаДОМ Ст (ю ОЧЕВИДНа, Мажиа ПРЕ. иуды ((8). небречь. Кроме того, на Рх имеем соз (л, г,) = 1. Если еще положить к = и — (г«, з), та вместо (17) получим А ехр(йг,) ('[ ехр (Из) (1+ где г, — ради!с волнового фронта йг. Этот результат находится в согласии с 4!ормулировкой принципа Гюйгенса Френелем, если вкладап от элемента И()г волнового фронта считать (1 + соз д)пЖ А ехр (гьг„! ехр (Ые), (19) Сравнивая (18) с (8.2.
1), найдем для коэффициента наклона, фигурирующего в теории Френеля, выражение *«) К (у) = — — (1 -~- соз 7). (20) 351 ф 331 тяпгнн дноелкцин киухгаел означает, что >почечный исгпочнпк, натодюци>уся в Ры производи>п в Р такое же дг»)пгпние, иаков пропал>>дпл би >почгчныи из>ночник Рплнпй инги>нсипносп>и, помшцсннпй в Р. Этот вывод иногда называют глеоремои нтпимятю>пи (или тлорелюй обдиглимпсти) Гельмзольцп, До сих пор чы предполагали, что свет на пути от источника до точки Р не встречает других ~>онерхносттй, кроме дпфраипнаиного экряна: в таков> слччае падающие волны сферические.
Легко распространить этот анализ и нн более сложные случаи, когда форма волны нс столь проста. И тогда мы опять по.>учим, по выводь: теории Кирхгофя пп существу эквивалентны предсказавиям, сделанным на основе принципа Гюйгепса — ч>ре>геля, прн условии, что в каждой точке волнового фронта радиусы его кривизны велики по сравнению с длиной волны света, а углы достаточно малы. Из про,>ждущих рассуждений можно гриву же вывести заключение о распределении света, дийрагнровавшего на дополнительных друг другу экранах, т. е.
на экранах, у которых отверстия одного > очно сонпздлют с непрозра >ными частяии друго>о н наабарсп. Пусть У, (Р) и [>е (Р) — комплсксныс возмущения, когда только один из экранов помещен на пути ме>)>ду пота пенкам и тв>чкой наблюдения Р. Тогда, поскольку (7> и (7> можно представить в виде интегралов по отверстиям, а отверстия в дополнительных экранах располагаются так, что полкостью еоткрь>ваю>з весь волновой фронт, ти (7> [ [уз=(/.
(21) Это так называемый принцип Бабине *) [111, Из принпипа Бабпне можно вывести дпа заключения. Гели (l, = О, то (уз = (7, т. е. в точках, где интенсивность при наличии одного экрана равна нулю, в присутствии лишь другого экрана она будет такой же, как н в отсутствие экранов. Далее, если (7 =- О, та (l, = — — (у„т.
е. в тачках, где (7 равно пулю, фазы О, и О, различаются па >т, а интенсивности 7,= [У>[з н 7, —. [(7 К одинаковы. Так, например, если точечный нсгачннк илабра>кается хорошо коррегированным обьективом, распределение света (/ в плоскости пзабрнжений повсюду равно нулю, за исключением мест, находящихся в непосредственной близости от изображения О источника. Если дополнительныс экраны поместить на пути между источников> и изобрнженпем, то 7,— [е вен>ду, за исключением мест близ О. Выводы иэ основного приближения (15) теории Кирхгафа подвергалнгь многим критическим замечаниям, нз которых следует, например, что решение Кирхгофа ие дает ис ходных значений интенсивности в плоскости отверстия [12[ (сч. также [31 стр.
71, 72 и 1131). Однако сравнительно недавно, Вольф и Марнана [141 показали, что творя>а Кирхгофя ыожио изложи>ь полностью мате»атически "). В тиком виде теория дает точное решение некоторых иных краевых задач, чем (15) и (16), и полностью применима к основным проблемам ннстрьмснтальпай оптики. ацто объясниегсн главиь>м образом тем, что длины волн оптического диапазона малы па сравнению с рззмерамп препятствий, на которых происходит дифракппя [171 В других задачах, относящихся, например, к поведению поля в непосредс> венной близости к экранам и другим препятствияь>, нужно применять более ") В 4 !!.З приеоднтсн зззлогичная теорема, которую можно считать строгой фориулирозкой прнчпипе Бзбиие.
В этой теореме рзссиатриззетсн не только скзлнрнзя функпия >>, но и зект>рисе эчектроизгнитчое поле. "*) Коттлер (>4к) тзкже н>шел, >то теория Кнркгсфз дает стршо> ршп нне определг>шоч задачи, сегззнкои с разрывом непрерыености (зздзчн с зздзниыми релрь зкии, з пе с з,ызиеьжя грзпн шыик знзчскияни). Тзкзя ннтерпретзпия предгтззляет большом интерес з сзяэн с зздз. чей днфрзкпин пз черное (пшностыо поглошзюшеч) экрзне (сч.
тзчже (б), стр. 98 и [>бй. П гтзты [[б) г дерк зтгя иногочисленныс ссылки нз рзботы, кзсзюшиеся рззличнык нндоизиененнй теории Киркгофз. элвневти твогйк квееекцяй [гл 8 (Г [Р) яв — — ' —,, Д ехр [гй (г+ з)) Ю (23) е[ Вгжьмем за начало декартовой системы координат точку О отверстия, а оси Ох н Оу выберем в плоскости отверстия, Будо»«считать, что ось г направлена в сторону пол)пространства, в ктором находится точка нэблюденкя Р (рнс, 8.5).
Пусть (х„у„ге) и (х, у, г) — коорлннапе точек Р, и Р соответственно, а (3, Ч) — координаты точки 9 отверстия; тогда "= (х,— 3)«+(уе — ч)в+г[, з'= [х — 3)' 1 [у — )'-'г», е Хе+у« ! ге 3"=х»+уе+г». [ (25) Следовательно, г' = г" — 2 (хе 3+ уе ч) + 3» .! «1', Ф = з" — 2 (х$+ у«!) + 3» +. «!'. й!ы предположнлп, что линейные размеры экрана малы по сравнению с г' к зь И поэтому можем разложить и и з в степенные ряды по З«г', «!«и', й!з' н «!/з', тогда получим и»1+и ч „Р-1- «[х»!+вшу и' Хг' эг'» "еч-вч+Р+ч' (х1+вч)е в ж Зз* Подстановка (27) в (23) дает ([(Р)»еава Аеир[«ь[г' 'гз))Д ехр [«й)(3, )) Щ [Ч, 28) А (28) (27) тонкие методы.
Такие задачи необходимо рассматривать как задачи электромагн«ггной теории с граничными условиямн и считать источники особыми точками волновых функций. Решения подобных задач найдены только для очень небольшого числа случаев; некоторые пз ннх будут рассмотрены в гл !!. 8.3.3.
Дифракция Фраунгофера и Френеля. Исследуем теперь подробно дифракцио«шый интеграл Френеля — Кнрхгофа (17) У(Р) =.— — х ) ) ", '[соз(л, и) — соз(л, з)1«[5. (22) 'А Когда элемент «В пробегаег область интегрирования, г+з в общем случае будет изменяться на очень много длин волн! и «ю«ло««у множитель в ехр[гй (и+в)1 будет быстро осциллировать.
Кроме того, если расстояния от фь ' "'.".2 точек Р, и Р до экрана велики по сравненяю с линейными размерами «п веро«ня, то множитель!соз (л, и)— г';:, =-л ~ ° — соз [л, з)1 кзл«еняется по отверстию незначительно. Далее, предполагая, что О это лк»бвя точка отверстия и углы, образованные линиями Р,О и Рие. З 5. Л««Ч«ревнив ив отверстии в плоском ОР с Р»Р, не слишком велики, мол«но икр»ее заменить этот множи«ель пв 2соиб, где б — угол между линией ЄРи нормалью к экрану И наконец, множитель 1[ж можно заменить па 1,«г'и', где г' и з' — расстояния ог точек Р, и Р до начала координат; тогдз (22) сведется к 383 4 8.31 таогяа днееакцви кнгхгоеь где )(3 ) х 4+к Ч ай+ау з з 1 Ч й +Ч (х й+г Ч) (х ич) (23) Если мы обозначим первые два направляющих косинуса через (1м то) и (1, гп), т.
е. 1> 1 гяг (30) то (29) можно переписать в виде 16, Ч)=(~а — ~)$+(Я(е — т)Ч+ з~(г +,—.( (Р+Ч)— ((<:3 ' ) 81 Ч( ) ' (31) г' б Мы свели задачу определении светового возмущения в Р к вычислению интеграла (28). Конечно, опо упростнтся, если в (' пренебречь квалратичпыми членами и членачи более высоких порядков (пнасптельно Б и Ч. В этом (щучае л(ы имеем дело с дифрши(иел Фриунгифере; если же квалрати*>ныхш члгнамн пренебречь нельзя,— то с дифрикциев Френеля. К с~астью, более простой случай дифракции Фраунгофера представляется в оптике значительно более важным. Строго говоря, члены второго и более высоких порядков исчезают только н предельном случае г'>.гк> и з' — >-аг, т.
е. когда н источник, и точна набтодения находятся в бесконечности (тогда надо допустить, что и множитель А перед интегралам стремится к бесконечности так же, как г'з'. Однако очевидно, что вклад членов второго порядка в интеграл невелик, если Можно сразу же указать опрслслсвныс условия, прп которых (32) ущ влстваряется. Для этого воспользуемся неранено(вам янг(а (1„3+т,>1)з... ==',1'„+ (п)) (еье+ Ч ') и, вспоь(нив, чта 1*„т,", Е и т' не превышают единицы, получим, что (32) удовлетворяется, если ) ° ~))()мРЧ')к.
с „~ ° ~:. (Р+Ч'1; г (33) х х или если —,+ —,=0 и Р, т', )е, т'с~ 1 1 е ., 1г11. У 9 9» ' (ЛР ЬЧ» (34) Условия (33) позволяют опенить расстояния У и з', прн которых применпмо г:рпблнжснвс Фраунгофера. Условия (14) означают, что дпфракцяя Фраунго. (рера имеет место и тогда, когда точка наблюдения находится в плоскости, параллельной плоское>и отверстия при услонии, что точка набщоления и псточняк света дастато >но блвзкн к осв г. Злесь следует различать лва сл> чая. Если г' отрицательно, то пала:ощпе па отверстие полнопые фронты имею> гагнутасть в направления распространения и точка Р, является центром схождения, а не расхож,(ения падающей волны.
Этот случай очень кажен для практики, так как осуществляется в пространстве изображений лоро(по коррегираванной цептрпрованной системы, изображающей точечный источник, распалажеяный недалеко от оси. Дифракцвоппая картина Фраунгофсра образуется в параксиальной >тоскасти изображении и может рассматрпкюься как результат дифракции, дающей изображения волны ня выходном зрачке. Еслц г' положительна, то залповые фрояты имеют выпуклости в направлении распространения; ляфракщюнные картины окала>ва(атея мнимыми и кажутся образованными на экране, проходящем через источник Р,. Зтот случай имеет место. например, тогда, когда отверстие в экране находится непосредственно (гв 8 354 элхяенты ткогин лнег*кции перед глазом или когда установка объектива зрительной трубы соответствует рассматриванию удаленного источника снега.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
