Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Чтобы составить ясное физическое представчение о том, почему дифракционная картина Фраунгофера наблюдается в факельной плоскости хорошо коррсгированного объектива, сравним сначала двс ситуации, показанные на рнс. 8.6. На рис. 8.6, и пучок лучей ог бесконечно удаленной точки падает на отверстие в направлении, определяемом направляющими коспнусалш ),„ т„ ле. )с!анена считать, что дифракцня, наблюдаемая в направлении ), т, л в очень удаленной точке Р, возникла в результате суперпозиция плоских волн, исходящих из каждой точки отверстия в этом направлении.
Такие волны (не а) г) Рве. З.З. Срввненне двух еду ~вев дзфрвхвяв Фреуссго(ерв. существующие в рамках геометрической оптики) можно назвать дифригирсыазисини галлами, а саотвегствующие волновые норлсали — дис)урагсхрогигшими лучами. Если тсперь полсестнть хорошо коррегированный объектив пазадв экрана (см. рнс.
8.6, б), то весь свет, днфрагнровзвший а направлении (), т, л), соберется в фокусе Р' в факальиой плоскости объектива. Так как длины оптических путей всех лучей, приходящих в Р' ог нолцагого фронта дифрагировавшего пучка, равны, то по существу ннтерференционные эффекты остасотся такими же, как и в первом случае, конечна, при условии, что объектнв так веляк, чга не вносит дополнительное) дифракцнн. Более обсцее ограничение, состоящее в том, что на отверстие должна падэгь плоская волна, также можно снять, если длины ~ ~утей от источника до Р' примерно одянаковы для всех лучей. В случае дифрзкцнн Фраунгофера четыре величины )., глы ), т входят в (31) талька в комбинации р ( (ю су т т,.
(35) Следовательно, в тай области, где справедливо упомянутое выше приближение, картина не изменится, если отверстие сместятсн в своей собственной плоскости. Запишем интеграл, описывающий дифракцию Фраунгофера, в виде ()(Р)=С~) ехр [ — Рй(рй-(-с)й)[секс(е); (36) А здесь С вЂ” величина, сгоящая перед интегралом (28). С определяется через величины, связанные с положениями источника и точки наблюдения; однако па практике часто удобнее выражать ее через другие вели сины. Пусть Е— полная энергия, падающая на отверстие.
По закону сохранения энергии вся внергия, достнгающан плоскости наблюдения, должна равняться Е; поэтому ф 3.3! тнорин диврлкцни кнрхгавл должно выполняться иормирующее условие ((>(и (р, ц)1'йрйч=е; (зу) здесь интегрирование производится по всем возможным анаяепням величин р и ф Уравнение (38) можно записать теперь в виде интеграла Фурье ()(р, ц) =Ц6($, я!)ехр [ — — "' (рв.+цц)~ ййй>1, где 6 — функц>ле зрачка "), определяемая как 6 (с, ч) = сопз((6) в точйах отверстия, 6(ч, ч)-=0 в точках вне отверстия,) а интеграл берется по всей (с, ч)-плоскости. !)о теореме Парсеваля для фурье-преобразования П8) имеем Д 1 6 6, Ч) Р сб йЧ = Я Ц ( (l (р, д) Р Ир сй), или, используя (37) и (39) и обозначая площадь отверстия через !>, у Е .=- ! С Р 1), (11) (39) (40) откуда **) (42) ") Полее общие функннн врн >кв ряссщпрннвются в 4 З.б н зл.
"") Постоянннн 4>лвавьа нноллс>елв олусквется, твя явк он не вносит вклада в ннтенснвнск>в 1=(С>)я. Тогда, основной интеграл, описывающий дифракцию Фраунгофера, принимает вид ()(р. Ч)=-~ ")>> п~[>ехр( — !)е(оа+4Ч)! йсйЧ. (43) Следует обратить внимание, что интенсивность (е = )с>'.(О, 0)р в центре картины, где р = д —. О, равнр .-1,=Я и Яйяйц>'=~~'=С и. (44) При выводе (43) мы пренебрсгли тем, что формула (Зб) была получена для ограниченной области величин р и ц. Однако ошибка, вносимая при распространении интегрирования в (401 нз все знн >енин р и д, ничтожна, так как величина (>'(р, ц) очень мала всюду, за исключением области, находящейся в непосредственной близости от точки р = >) = О.
Однако вернемсн к основному интегралу (28) тсории дифракпии. Когда точка [а, !) пробегает область интегрирования, функции )(ей, Ч) изменяется нэ очень много длин волн; поэтому вещественная и мнимая части подынтегрального выражения многократно изменяют знак. В общем случае вклады от рлвлнчных элементов фактически ункч>о кают друг друга (деструктивная интерференция). По для элементарного участка, окружянхцего точку (яазанем ее кряпиесской яю осой нлп полюсом), где »(с, я1) постоянин, положение др>тое.
Здесь подыитсгральиос выражение изменяется значительна медленнее, и можно ожидать, по его вклад станет заметным. Поэтому, если длина волны достагочно мала, величина интеграла, по существу, определяется поведением ) вблизи точек, где ) постоянно. Это является основой .метода стационарной 4изм, познолнюг>сего опрсделить асимптотическое поведение пигегрэлон определенного класса (более подробно он разбирается в приложении 3).
Ниже мы [гл. 8 элеивнты теории ливввкшш используем предыдущие результаты для классификации дифракционных явлений. Сравнивая (22) и (28), мы виднм, что г+з=г'+з'+у, и поэтому (сч, ис. 8.5) Р ~ =- РЯ -1- () Р -)- с опз1. (45) Очевидно„1, рассматриваемая как функция Я, постоянна, когда О коллипеарно с Р, и Р. Следовательно, аснонной вклад в возмущение в точке Р поступает от тайен, находящичся в непосредственной близости к точке 4), в которой линия. соединяющая нсточннк с точкой наблюдения, пересекает плоскость гпверстия. В частном случае дифракпии Фраунгофера, Р, и Р находятся в бесконечности и гкобои точки ф не существ)ну.
Следоватсльно, в данном случае поведение дифранционного шпсграла должно быль необычным. В й 8.8 -8.8 мы рассмотрич наиболее важные счучан двфракцип Фрзунгофера и Френеля. По сначала следует убедиться, что при вычислении интенсивности света мы вправе пользоваться скадяриой волновой функцией У. 8 8.4. Переход к скалярной теории*) При выводе интегральной теоремы Киркгофа мы воспользовались только одним свойством функции У, а змеино тем, что она удовлетворяет однородному скалярному волновому уравнснию. Слеловательно, эта теорема и заключении предыдущей главы применимы к кахсдойт декартовой кочшонснтс вскторов пгын, векторного потенциала, векторов Герца и г.
д. в областях, где не существуег ни токов, ни зарядов. Для того чтобы подностью описать поле, теоревту Кирхгофа следует применять отдельно к каждой декартовой компопснтс. Однако в силу удачного стечения обстоятельств в большинстве оптических задач вполне достаточно приближенного описания поля одной комплеисной скалярной волновой фуцкпией.
Для полного описания электромагнитного поля необходимо звать величины векторов поля, а также их направления (поляризацию) как функции положения и времени. Но в шпнческом поле вследствие его очень высокой ~астоты (порядка 1Оы сек ') пэмеряк|тся не мгновенные значения этих величин, а лишь значения, усредненные по времени в интервале, большом по сравнению с периодом свегоных колебаний. Более того, обычно имеют дело с естественным светочи где в наблюдаемом (мэкроскоппчсском) поле нет прснмуществснных направлений поляризации. В этак случае пгрносченгнное значение имеет инглеигинносни й уже определенная в п.
1,1.4 как средняя по времени энергия, протекающая в единицу времени через единицу площади, содержащую электрический и магнитный векторы, т. е. г' = — „' ) < Е Х Н> (. Мгн покажем, что интенсивность электромагнитного поля, связанного с прпхажденнсм естественного света через правильно рассчитанные оптические приборы с отверстием средней величины, можно приближенно выразить через одну комплексную скалнрную волновую функцию с помощью формулы **) т'.=-) (т')э и что функцию () можно вычислить, зная эйконал системы. 8.4.1. Поле изображения, создаваемое монохроматическим осциллятором. Рассмотрим симметричную оптическую систему, освещенную точечным источ") Здесь иы в основоон ноньэусвсн нсснсдоввввсы 1191 "'1 Ватиф 1201 нонвэол, чш и более общен гнучос угргднснныс но врвчснн ннотност, внсргвв н омон энергии н поле нснаннрнэовввваго нввтньюнонронвтнчсского нэту ~снов вссгдн можно оонучнть вэ одной коивлсксной гармонической во времеви скалярной вонновой функции.
' в 8.4) 857 ПЕРЕХОД К СКЛЛЯРНОЙ ТЕОРИИ ником света, находящимся в Р. (рис. 8.7) и испускающим естественный квазимонохроматнческнй снег с частотой ю,.Предположом, что угол наклона лучей, прошедших сквозь систему, к осн невелик, скажем, нс больше 1Оа или 15". Г!оместим начало декартовой системы коордннзт (х„х„х,) в точку Р, и будем считать, что ось х„напраклена вдоль глазного луча. Можно рассматривать источник кнк диполь с моментом (1(!), у которого со временен 7 изменяется н 1 Лглрнагу 27аггаанагу а!мгах зал маг рис 8.7.
Расзрос!Рааеине алектромагнитной волны через оотическую счстему. нслячппа и ориентация. Запишем компоненты с)(1) по трем направлениям в виде интегралов Фурье, т. е. !сг(2) = —,— ) 9,(ю) ехР( — го!2)г(ю (1 =1, 2, 3), 1 (П 1'2н Тзк как !72(2) действительно, комплексные величины !7! (м) удовлетворюот соотношениям 71(-о!) =Ц'!(ю), (2) где звездочка означает комплексное сопряжение. Следовательно, (1) можно записать в виде е,!!!-а (р е(г,!.! *г! — ь~!а.~ а=!.г,гг о Каждая компонента Фурье в (3) представляет собой монохроматический осцнллятор Герца с осью вдоль направления хл Пусть 1!)!(о!) ~ в 61(ю) — амплитуда и фаза цт(ю), т. е.
!71(ю) 1!72(ы))ехр(гб,(ю)). (4) Так как предполагается, что наш источник излучает квазимопохроматический свет, модуль !!)2(ю) ~ для каждого )заметно отличается от нуля только в узком 1 1 интервале (ю,— -Лгг, ю,+ —,Ло!). Предположение о том, что источник нсоу- 2 ' ' ' 2 скает естественный свет, означает, что функции бт(ю) быстро и беспорядочно изменяю!та по частотному диапазону *). Так как исследуемое попс можно рассматривать как суперпозицию строго монохроматичсскнх полей, ю удобнее сначала исследовать вклад, вносимый в пнчен! ннность каждым монохрома гнческнм осциллятором Герца, находящимся в Рм Поле такого осциллнтора слабо вблизи его гки, н можно принять, что углы, под которыми из Р„видны диамстры входного зрачка, ма.аы; оозтому существенный вклад в поле вносят только компоненты ()(!), а именно !Ег(7) н гуг(7). Возьмем в качестве произвольного осциллятора такой, ось которого лежит в плоскости х,х,.
') Более оолрооное исслглоааннс етого вопроса можно найти у 11ланка )2!1, [гл. 8 358 влгмкктм тгогии днот*кцтан Пусть Йе [д(ш) р, (м)ехр( — ио()) (5) — момент такого произвольного дкполя, а р,(ш) — единичный вектор в нзпрнвлсияи оси диполч, 11оле этого диполя в точке Т в вакууме иа расстоянии от точки Р., большом по сравнению с длиной волны й = (2псlш), определяется (см. (2,2.64)) выражениями Е. = ке ( аг) у(ш))ге эс(ра [ш) хга) ехр [а [Ь(ш) — ш(! — грс))) ), 1 „ъ (6) Н„=(ке( — а, ! д(ш)[гъ хра(ш) ехр [т [6(ш) — ш(à — ггс))) л, где г„обозначает сдкиичиый радиальный вектор. Пусть 1Гл — произвольный геометрический волновой франт в пространстве предметов па расстоянии ат Р„, большом по сравнению с длиной валим. Тяк как мы предположили, чта углы, которые луча саставлшот с осью системы, малы, то из (6) иепскредаявеииа следует, что в любой данный момент векторы Е,„и Н„незначительно изменяются по величине и по иаправлеиию цо всему франту йра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
