Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Первая поверхность а) а, оказывает па падающее поле двойное действие. Во-первых„ амплитуды векторов поля уменьшаются вследствие потерь цри отражении и, во-втарых, изменяются направления колебаний. Формулы Фрсвеля показывают, чта аба эффекта зависят главным образам ат вели швы угла падения. Если угол мал !окала 10'), потери па отражепие также малы (около 5Н), а попарит плоскостеи калебаивй ие превышает нескольких градусов (см.
6 1.5). Кроме того, эти эффекты грактвчески одинаковы по всей поверхности а,. Так как иеэависимые от времени части Еъ, и Н,„иезиачительво изменяются по волновому фронту Иг„оии столь жс мало изменяются и по преломлеииому волковому фронту Йтх', распространяющемуся после а, (см. рис.
8.7). Те же рассуждения првмеиимы к обоим полям и ка любом другом волновом фронте, движущемся в прострапстве между а, и второй поверхностью аа. В салаам деле, в п. 3.1.3 было показано, что в однородной среде направление колебании вдоль каждого луча остается постоянным и, так как волновые франты близки к сферическим (с центром в параксиальиам изображении тачки Р, псряай паверхиостью), то амплитуды умепьшаются почти в отношении параксиальиых радиусов кривизны залповых франтов. 11овторяя те же рассуждения, мы в конце концов перейдем к волновому фраиту 1)т, прохадялцему через центр С выходного зрачка, и снова отметим, чта независимые от времеви части Ем и Нъ, ие изменяются заметным абргшам по этому волновому фронту.
Такой результат позволяет сразу написать приближенное математическое выражение для векторов поля в области изображения. Пусть начало прямоугольной системы декартовых координат (х, у, г) находится в параксиальпом изображении Р, точки Р„ а ось г направлена вдаль СР,. 1!оде ва всех точках отверстия, за исключением точек, находящихся в иепосрсдсгкениой близости от его края, лтожио приближенно представить в виде выражений (см. гл. 3) Е„(х, у, г, 1) = — Ее(~ е (х у, г)ехр [а (6(ш) — ш '[1 — — 5' (х, у, г)) ) ), Н„,Гх, у, г, Г)= (7) =ке ( а й (х, у, г)ехр $а (6(ш) — ота[à — У (х У г)~ )~ ° г! "] Здесь лредяолетаетея, ъто о, — ореломляшшея яомрх шсть. геля о, — яеркяло, то необходнмо ~олька небольшое намегшояс нашел рессул денно, ато следует ке рассмотренна фор.
мул Френелн. 339 пеРеход к скяляР!юй теории $ 8.41 (10) которые мы вправе рассматривать как обобщение (6). Здесь,Ув (х, у, г)— длина оптического пути ог точки предмета до точки (х, у, г), а е„(х, у, г) и Ьь (х, у„г) --. взаимно ортогональные вси!Рстненные нектары *). В однородной немагнитной среде с показателем преломленвя и эти векторы удовлетворяют соотношонию (см. уравнения (3,!.19) и (3.1.20)) [й„[ = л [ е„[. (8) Рассмотрим опорную сферу 5 с центром в Ры проходящую через центр С выходного зрачка, и обозначим ее радиус СР, через )7.
Практически расстоа- ние между 5 и )Р нигде не превышает нескольких десятков длин волн. Следо- вательно, па 5, так же как и на )Р, векторпыг эьгплитуды е„и Ьи практически постоянны по величине п по напраэлени>о. Пусть Р(Х, У, 3) — точка в области пзобра>келий, где определяется ин- тенсивность. Если углы, под которыми пз Р видны диаметры выходного зрач- ка, малы, то, используя формулу Кирхгтх[щ с тсмн же допущениями, как н в предыдущем параграфе, и интегрируя выражение (7) по части 5' понсрхностн 5, приблизнтслыю покрывающее выходной зрачок, найдем, пренебрегая из- менением коэффициента наклона па 5', Е (Х, 1', Я, 1) =Рея»ут ехр(1 [6(в) — в11) Д вЂ”,е„(х',у',г)' Х х ехр ~1 —" [;т" (к', у', г')-~-з[] г(5.
(9) Н„(Х, [г, Я, 1) = ~с '--,.ч ехр (1 [Ь (в) — в1[) Д -)гы (х', у', г') Х Х ех р [1 —, [,т (х', у', г') + з) ] с(5. Здесь з — расстояние от произвольной. точки (х', у', г') на опорной сфере до точки Р. Так как векторы е„(х', у', г') и )т (х', у', г') не мснякпся заметно по по- верхности интегрирования, можно заменить их значениями еи (О, О, — )с) и Ь (О, О, — Д), которые они принимают в центре С' выходного зра >ка.
Тогда, поскольку эти векторы взаимно ортогональны и удовлетворяют (В), лтожпо Прииятьо ЕСЛИ ВдОбаВОК СЧнтатЬ П 1, Что е (О, О, — )с) =-а(в) се(в), Ьы(О, О, — Р) =а(в) [) (в), ) Ые едЦиичиые Цекторы, Лсжащие В пдосКОсти перпендикулярной к направлению г. Соотношение (9) принимает вид Е (Х,у,3,1) =Ее ~ — т(/„(Х, )г,я)а(в)а(в) ехр [! [6(го) — в)ц~, ) (11) Н„(Х, 1", Я, 1) = ме [ — „У„(Х, !', Я) а (!») р (в) ехр, [1 [Ь (в) — в)Ц ~, где ()„ — скалярная волновая функция вида ()и(Х,)г,2) = —,Д вЂ”, ехр [1 — [У (к',у', г')+з]] с(5. (!2) Вычисляя вектор Пойнтинга В„=с[В„Х Н 114П и усредияя по вре- мени, получим непосредствешю из (11), что иптепсинпость в точке Р(Х, )', 3), обусловленная одиночным днполсм (опредсляемым формулой (Б)), помец!енным *) Исщсствсиныа характер е и Ь следует ю того обстаятепьствв, чта в (б) соответствую- щие оекторы вещественны (яииергйая поляризация) и что пачяриввция остается лииеяноа при каждом отражении.
Кроме того, между любмми двуия посяедовятсльныии поверлисстями со- стояние псляривации постаяима вдаль каждого луча, как вто показано в и. З.!.З. [гл. 0 360 алкмкнты ткогии диегвкцин в Р., пропорциональна квадрату модули скалярной волновой функции <<,,,(Х,1', Я). Однако, чтобы испопьзонаннеоднай скалярной волновой функции для расчета интенсивности было оправдано, усредкение по времени следует выполнять не для одной монохроматическай компоненты, а для всего поля. 0.4.2. Полное паче изображения. гйы видслп, что вклад каждой частотной компоненты в полное поле можно рассмааривать как результат действия дву:с з(ипалей, помещенных а Р„, с осями, напранлгннымн вдгзль х, и хз.
Таким абра. зон, нз (1) и (11) следует, что еслн мы с помощью соотношений типа (2) опреде- лим также вклад ат отрицательных частот, то полное пале в области изобра- жения приближенно можно представить в виде Е(Х,У,г, !)= ' ] ~ (<„(Х, У,Л) [а,(е)е,(е),ехр [г6,(е)]+ (!зу +аз(в)а,(е)ехр [<6,(е)]] ехр( — ио<)г(е, Н(Х, У Я, () =-= ~ е, (У (Х, У, 2) [а, (е) йз(е) ехР [46,(е)]+ +аз(е)[Зз(е) ехр [гб,(е)]] ехр( — <вз<) де. Здесь индексы 1 и 2 относятся к вкладам осцилляторов, оси которых направ- лены вдаль х, и х,. Для того чтобы опаеделить интенсивность в области изображений, напи- шем отдельно выражения дчя каждой декартовой компоненты векторов Е и Н.
Пусть О, (со) и О, (е) — углы, которые единичные векторы е, (е) и и, (в) с!юга а. ляюг с осью х в нрастраистнг изображений. Так как и,(е), [1,(оу) н и,(в), (1,(е) — вещественные взаимно ортагоналы!ые векторы, лежащие в плоско- сти, перпендикулярной к осн г, то з соответствии с (13) получим, чта компо- ненты векторов Е и Н приблигкенно раюгы з) Е„( Х, У, Л, () = )тг (Х, У, Л, !) = ! — (<м (Х, У, 2) < (е) ех р ( — <е() йо, У 2л Е, (Х, У, 2, () = — Н„(Х, 1', г, <) =- <142 — — ] (т',„(Х, У, 2) й (е) ехр ( — ио<) !<го, У ай Е,(Х,(У,У,() =Н,(Х,У,г,!)=0, где ((е) = —, [а,(го) сов 0,(в) ехр [(6,(е)]+а,(со) сок 0,(е) ехр [46,(е)Ц, 1 ыз '1 (16> а(е)=е, [а, (в) з1п0,(го) ехр [46, (е)]+а,(е) гйп0,(е) ехр [<6,(е)]]. ! Из <14) следует, что величину вектора Пойнтинга 8 = с[Е ус Н)<4л приближенно ь",азино предгглвгць и виде 4п [~ +~к] кл [О +гон]' (16) Теперь нужно определить среднее по времени этой величины **).
*! Было бы неправильно лелвть нз ((4) вывод, что в области изобрзження неполвленне пстоьз знергвп обнззтельпо псрзллельпо г. Отн<ингезгьиые ошибке в ((4) могут сужестненн пс влезть нн определение нзпрзвленнв в осьчзстгзз, где ннтсвсивнэлп мвзс, например в облл. стех вблизи темпиь когв! в кзртньо марв, " Использоз нвь.н здв метод нсчислеинв среднего предложен Барном н Йорданом (22!. 361 пкгкход к скалятнов ткогнн $ 8.4) атчнтывая требование гходимосги, мы вредполагаем, что поле излучения существует только в промежутке времени между Г == — Т н 1= 7", где Т' > 2~трааа. Теперь нетрудно переити к пределу Т- а, В силу обратной теоремй Фурье получим нз (14) т У (Х,)т,Л))(ы)= — ~ Е„(Х,)т,Я,Г)ехр(йа()а(1, (17) !' 2я Аналогичные выражения можно написать и для Е„, Н, в На. Тогда в соответствии с (14) имеем т т <Еру==у) ') Е„'аН=2-- ) Е„М вЂ” ( У 1(са)ехр( — (аа()а(еь (13) -т иля, меняя порядок интегрирования и учитывая (17), 4Е„> = 27 ~ У,„~(м)ли= ) Е„ехр( (ы!)а(1=.~ ) У,„1 У 1 4»= Г зя " -т ~)У )а))(ы)(аа(ы (!9) а так как У „.— — - Уач т'( — ы) =.! (аа).
Аналогично т б ( У ( ( и (и) ) а(кь Г а (20) Слгдовзтсльно, питснсивиогть !(х, у, а), определенная как средняя по вре- мени величина вектора Пойнтннга, равна, согласно (!6), (19) и (20), 7(х У, г) = 4 т ) ! У (Х, т,2) р ()т (ы))~+(к(ат)(") а(ы. (21) а Если величина !Лат! достаточно мала, то (У„, ! практически ие зависит от оэ в диапазоне аффективных частот, а (У 1 можно заменить на 1(/, ! и вынести за знак интеграла. Оставшийсн член (22) (23) Постояннан С сложныч образом зависит от характеристик источника и оптического прибора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
