Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Построим вокруг точки Р сферы с радиусами Ь, Ь+ —, Ь+ —,', Ь+ —, ...„Ь+гй-,..., в 8.21 агияцяп Гюйгзнсх — Фгеняли где Ь = СР, а С вЂ” точка пересечения ЄРс волновым фронтом Я (см. рис. 8.1). Сферы делят Я на целый ряд зон 2ь 7... 7„..., Ян... Пусть г„и Ь велики по сравнению с длиной воняй; тогда можно предположять, что в любой зоне величина К постояши и в зоне / равна К,.
Из рисунка видно, что зз=г) +(го-гб)г — 2/ч(ге+1/) созО. Следовательно, (2) зпа =- /„(г„+Ь) зш О/(О и, значит г(5 =- г "з1п О/(Они -= —" з/(з/)/р, О гч.( * где ф — азимут. Следовательно, вклад зоны 1 в (/(Р) равен а+ ж/г /),(Р)'=2п ' '"Р '„'" К/ ') ехр((йз) й =- ьео — о Мь Так как ЛЛ=-2п, последние два множителя сводятся к ехР ( —, ) (1 — ехР~ —,~) =ехР(гв() ()тсехР ( — (п)) =( — 1)/ 2 щь(л) / / щл т и, следовательно, (/ (р) 2(л( 1)/эь К А ехр ~й ~г,+ю) (8) ~о+э Заметим, что вклщш следующих друг аа другом зон имеют разные звяки. Результирующий эфрекз в зочке Р получается сумьрнроааннем вкладов от всех зон, т. е.
Ряд Х = д; ( 1)»" К/== К вЂ” К + К,— ., +( — П"" К (5) 3 можно приближенно вычислить па методу Шустера 121, Перепишем вначале (5) в виде ~=ф+(ф — К.+ф)+( — ",,'-К.+ф)+... (5) Последний член равен '~, К„или '/, К„,— К„а зависимости от того, не- четно и или четно. Допустнл1 теперь, что закон, онрсдгщяющни изменение К с направлением таков, ч~ о величина К, больше среднего арпфмегэчгского со- седних значений К,, и К е,. Тогда каждый член в (Б), заключенный в скобки, отрицателен и, значит, и Д, К„ если и нечетно, д., д„, (Т) ~2 < 2'+ — "1 — К„, если л четно, Теперь перепишем (5) в виде ~-К вЂ” — — ( — К + — ) — ~- — К + — ) —... (8) 1 ! Последний член этою ряда равен — — К,,+К„, если а нечетко, и — К„, 344 (гл.
8 элементы теории дквеькцяя если оно чегнб. Следовательно, и '»; ° К, К„ >К,— — — — ", если н нечетно, если и четно. (9) Ведичина каждого К лишь немного отличается от величин соседних К, » н Км „и поэтому правые части соотношений (У) и (9) практически равны н приближенно можно считать, что 2 2 и К» К 2 2 если п нечетно, если л четно. (1О) Легко проверить, что соотношения (10) остаются справедливыми, если каждое К, мвньи»в среднего арифметического соседних члснов, и тогда члены я (б) н (8), эаключеипыс в скобках, отрицательны. Более того, можно ожидать, что (10) останстся спрзяедлявыя лаже ~огда, когда только часть членов в гкооках отрицательна, з другая часть положительна.
В этом случае ряд»»аж»»о разделить на две части в зависимости от знаков членов в скобках, и к каждой такой части прпмепить предыдупп»с расс>ждення. Итак, мы приходим к заключению, по сул»мз ряда определяется выражениями (10), если члены в скобках в соогвои»ениях (6) и (б) не меняют знак так часто, что неточности, складываясь, достигают значительной величины. Есл»» исключить последний случай, то из (4) и (10) находим К ) Аьхр 1»Ь(гв+Ьй (11) го+э здесь верхний знак берется при нечетном л, а нижний — при четном.
Воспользовавшись (3), уравнение (11) можно переписать в виде Ц (Р) = — (Ц, (Р) + Ц„(РЯ. (!2) ц (Р) .) К А ехр 1»Ь (г„+Ь)1 (13) , (Ь показываюшему, что полное возмущение в Р ривнявл»ся половине возмущения, обусловленного дейв»ивисы первой з»»ны. Соотаошеиие (13) находится в согласии с выражением, опнсываюшим дей- ствие сферической волны, есди ЙК» =1, т. е.
если е»р ( — Ы12) (14) М»»аж»»тель ехр( — »л»2) можно обьяснить, если предположить, что втори»ные волны отстают по фазе на четверть периода от первичной волны. Присутствие др»гого множителя становится понятным, сслн доп>стн»ь, чта амплитуды вторичных и первичных волн относятся, как 1: ).. Тзк»»»» образом, мы приходим к заклк»ченнн», чта прн этих допушеннях относителыю амплитуды и фазы вторичных волн принцип йойгснса — Френеля правильно описывает распространение сферических волн в свободн»»м пространстве.
Однако приведенные выше дополнительные предположения нужна рассматривать проста как удобный способ интерпретации математических выражений; иными словами, они Для последней зоны 2„, видимой иэ Р, »вР становится касательной к волновому фронту, т. е. >(= п»2, и, как говорилось выше, для такого т вели шна К, по предположению, равна нулю. Следовательно, К„= О, и (!1) сводится к выражению тяогия дичзякции кизхгояз не имеют какого-либо физического смысла.
Истолкование множителя (14) станет очевидньш позднее (см. 8 8.3). Следуя и дальше Френслю, закроем несколько зон плоским экраном, перпенднкулярнылг к Р„Р, с круглым отверстием, центр которого находится на этой линии, и рассмотрим действие оставшихся зон в точке Р. Теперь следует считать, что суммарное возмущение в Р обусловлено только вшгнньггч от незакрытых зон.
Если экран оставляет открытой только половину первой зоны, то из (3), полагая 1= 1 н умножая на 1(2, получим Аехр(гй(гс+ЬН Аекр(м(гс+Ь)) (15) г,+й ге+ З Следовательно, возмущение в Р оказывается таким же, как и в отсутствие экрана.
Если закрыты нсе зоны, кроче первой, то нз (2) находим (г (р) 2 ) з '1 екр !гй (ге+ай о А екр (гз (гв+ь)1 п интенсивность! (Р) = )(Г (РЦ" в четыре раза болыпе, чем в отсутствие экрана. П!гп дальнейшем увеличении отверстия интенсивности умсныпится, так как первые два глена в (4) имеют разные знаки. Больше того, К, и Кг почти оди- пановы, и, следовательно, если отнерстие приблвзнтельпо равно двум первым ' зонам, то в точке Р будет гючтн полная темнога.
Поэтому пря изменении размерон отверстии наблнщастся периодическое изменение интенсввности в Р. Такой же результат получается и тогда, когда размеры отверстия н исто шика остаются постояннымн, а точка наблюдения Р перемещается вдоль оси. В этом случае прн постг.пенном приближении точили Р к экрану увеличивается число открывающихся зон, Все гюлученные вьппе результаты находятся в хорошем согласии с экспе- риментом.
Одно нз предсказаний теории Френеля произвело сильное впечат- .ление на его современников и фактически положило конец долгому спору меж- ду сторонниками корпускулярной и волновои теорий света. Этот спор бьш решен в пользу волновой теории. Речь идет о янлеции, наблюдаемом при за- крытии первой зоны маленьким круглым диском, помещенным под прямым углом к прямой Р„Р. Согласно (5) комплексная амплитуда в Р равнястся ()(Р)=21).— 'Р ' — '"-+ — ( — К,-(-К,— Кз+...). (17) Так же, как и раныпе, получиьг, что сумма ряда в скобках равна — Кзг2. Выше мы предположили, что К, тол~ко немного отличается пт К, =- !((1( и, следо- вательно, в геометрнческон тени диска интенсивность света будет такой же, как и в отсутствие диска *).
8 8.8. Теории дифрвкции Кирхгофа 8.3.1. Интегральная теорема Кнрхгофа. Оспоопая ндся теория Гюйгепса— Френеля заключастся в том, что световое возмущение в точке Р возникает вследсгнне гуперпознпнп вторичных волн, нгпускаемых поверхностью, находящейся между этой точкой и источником света, Кирхгоф (8) придал этой *) В 1818 г. Пуассон, будучн членом комитета французской вквдемнн, рвссмятрнвзвшегв прсдспювмшый ов греякю мсмувр Френеля, покюнз нв сспонвннн тсорнн Фрексяя, что в гюнтрс тсвн мезенского диска должно нвкаднться свстясе пятно Вгот рсзузьтзт Пувссы.
счсз нротнворечвгцнм опыту н тем самы» отвсргвошкм теорию Фревезя Одггвко Дрога, другой член того же яомнтетв, выполнил зкспернмепт, поквзсвюкн, что зто уднвнтезьное превг«сзвнне прввняьно. Таксе же наблюдение, сделанное Мврвльдн стоветнем рзньще, было забыло.
246 „'гл. 8 элементы тсоснн диерлкпчя ядее строгий математический вид *) и показал, что принцип Гюйгенса — Френеля можно считать прнближсн1юй формой определенной интегральной тсоремы з*). В агой те!зрел!с решение однородного иолнокаго тразнсни» в произвольной точке поля выра!!саегся через значения исколюй величины и ее первой производной во всех точках произвольной замкнутой поверхности, окружаюптей точку Р. Рассмотрим сначала строго монохроматическую скалярную волну !'(х, у, г, !) .-0(х, р, г)ехр( — тш!).
(!) В вакууме ее часть, зависящая ат координат, удовлетворяет волновому урав- нению, не зависящему от времени, (2 л й)и=О, где й = ш)с. Уравнение (2) называется также уравнением Гельмгольца. Пусть с — объем, ограниченный произвольной замкнутой поверхностью 5, а Р— какая. нибудь тачка внутри него; предположим, мо (У имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков внутри этого обьема н на поверхности 5.
Если (Р— любая другая функция, удовлстворяюща» такил! же требованиям непрерывности, как и К та по тезрсме Грина получим (В) где д1дп означает дифференцирование вдоль внутренней ззз) нормали к поверхности 5. В частности, если (Р удовлетворяет также волновому уравнению, не зависящему от времени, т. е, се чн (ут+й) и'=-О, (4) то из (2) и (4) сразу же следует, что подынтегральное выражение в левой части (3) обращается в нуль в каждой точке объема а и, следовательно, Ц (с/з~~ (/ Я И5 0 3 (с) 5' ") Теория Кярхгафа дряменвма к дифракдик скалярзых волн.
В 4 8.4 будет показано, сто скзззризя теория обычно зоасне орксодкз сри рзссмотрензз проблем ностружстзльзой оптики. Вектогзос обобо!скис орнкдзоз !'ойссксз †- Фрсзслс орсдззсзтось ызосктш ззторс»з !1срззз тдозлетзорктезытзс рзботз, досззшозкзя етому вопросу, оркнздлемнт Коттдеру (4! (см. (8), стр. !44). 'з) Дзс»окохромзтк вских зодн зтз теореме была зызедсяз рзкьше з акустике Гель»- талы!ем )6) ""') Теореме Гризз обмчно бврмулируется для внешней нормали, ко з дзкзом случке более удобка з»утреиияз нормаль.
Расссютрнм функппю (Р(х, Гп г) =с'с'йс, где з — расстояние от Р до точки (х, у, г). Зта функция амеет особенность при з = О, и так как предполагается, что ()' непрерывна и диффереппнруема, то, следовательно, точку Р нужно исюночять из области интегрирования. Поэтому окружим се небольшой сферой радиуса з н произведем инты рированне по объему, заключенному между 5 и поверхностью этой сферы 5' (рис. Гъ2). Тогда вместо (б) получим 337 $ 8.3) тзагая Линглкцнн кнгхгонв откуда 5 ы Рис 8тл К выводу негею рзльпой теоремы Гельмгальпз — Кнртгофз; облнсть пнгггроронзинз. Это одна из форм имтггрильмой теорвжы Гвльжаальг(и и Кирхгафи "). Заметим, что когда А-м О, то ие зависящее от времени ьолновое уравнение (3) сводится к уравнению ЛаПЛаеа ГтУ =- О, И (7) ПЕрСХОднт татда В Хараща ИЗВЕСтНуЮ фарМуЛу теа рии потенциала О(Р) = —,'„Д~(7,— '( — ') — -'',~~35. (а) 5 Если Р лежит вне поверхности 5, но У вЂ” по-прежнему непрерывная н диффереицируемая до второго порядка функция внутри 5 и если, как и раньше, ПрИНятЬ Го = Елр (ьйз)15, та уранцЕПИЕ (3) ОСтаЕтея СнразЕЛЛИКЫМ ПО НСЕЛту объему внутри 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
