Теория тепломассобмена (Леонтьев) (1062552), страница 50
Текст из файла (страница 50)
30 Нх б ' Представим зависимость гсг и б от продольной координаты в виде степенных функций ю1 = Се,х~ и б = Сях". + "С С ю+в-1 2а 30 ~ С Так как эти уравнения должны быть справедливы при любых х, показатели степеней в каждом члене должны быть одинаковы, т.е. 2гв+ в — 1 = в = гв — в; гв + в — 1 = -в. Тогда из соотношений (ЧП.19) и (ЧП.20) получаем '"'+" С' С *' +"-' = / (Т - Т ) Ь ха - С- 105 бх -У 3 -С "' б (ЧП,17) (ЧП.18) Отсюда т = 1/2 н в = 1/4. С учетом этих значений определяем параметры См и Сз. См = 5,17и(0,952+ Рг) ' [йй(Тст — Тм)/и ) ' ~ Ся = 3,93(0,952+ Рг) ' (9/у(Тст — Тм)/и ] ' Рг Максимаяьную скорость и толщину пограничного слоя вычисляем по формулам и,®„— — — м1 = 0,766 (О 952+ Рг)ез6г 27 ' х б/х = 3,93Рг ~'з (0,952+ Рг)е'зз Сг~ ' Из выражения (ЧП.18) следует, что о = 2А/б н Хвз = 2х/б.
Следовательно, Хпх = 0,508 ~ (Сг„Рг) (Рг + 0,952~ (ЧП.21) Эта зависимость при 10 з < Рг ( 10 с ошибкой, не превышаюз щей 10%, согласуется с точным решением. Зв,дача о естественной конвекпнн на вертикальной пластине может быть решена и в том случае, когда на поверхности пластины задан постоянкый тепловой поток = -А(дТ/ду) = сонями, а температура поверхности неизвестна (граничные условия П рода). При этих условиях система дифференпиальных уравнений в частных производных (ЧП.З) — (ЧП.5) может быть сведена к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям с помощью следующей замены переменных: с,= У~~; ', с,= В новых переменных с учетом соотпошепий (ЧП.6) п (И1.22) составляющие вектора скорости примут вид Ниже ириведепы значения фупкпии 9(0), зависящие от критерия Рг: Рг ........
0,1 1 10 100 В(0)....., -2,7607 -1, 2674 -0,7В74В -0,46666 вз = С1С2 х 13/~(п); юз ж — (зу/'Я вЂ” 4/(о)], 5х14 /'и-3(/')2+4|/Я-9 = О; 9" + Рг [49'У вЂ” 9/'~ = О, (И1.23) (ЧП.24) которые могут быть решены численно с помощью ЭВМ, В новых переменных грапичиые условия к системе уравнений (ЧП.23), (И1.24) запишутся следующим образом: /=0, /'=О, 9'ж1 при =О, 9=0 при О=оо. и=О; Результаты решения системы уравнений (И1.23), (ЧП.24) удобно обобщить в виде следующих формул: 5 13 о х9(0) Л (Сг') 1д Нп = — ~Сг;) ~, 5149(О) (И1.25) где Сг = У13д~х /Аи — модифицированное локальное число » 4 2 Грасгофа; Хи з = ах х/А; Тсг(х) — температура поверхности пластины. Подставляя полученные выражении в систему уравнений (ЧП,З) — (ЧП.6), получим два обыкновенных дифференциальных уравнеипгс З,О7 2,07 0,642 О,ВЗВ 1,И 1,1О 0,224 0,210 4»» = соам...
7»» ж СОВВ»... Эта задача, как и предыдущая, может быть решеиа приближенным методом интегральных соотпошепий. Полученное П.М, Брдликом приближенное решение 1ь » =0»1»~ ~ (Сс») удобно сравиквать с формулой (ЧП.21) для гроличпых условий 1 рода. Положив в формуле (ЧП.25) х = 1/2 и имея в виду, что при зтом Осг — а (Т вЂ” Тж)1/2, получаем (ЧП.26) 5 й'9(0) Здесь о — коэффициент теплоотдачи, основанный па разности температур (Тст — Тж) цз, (Тсг — Тж)1/2 — разность температур в сечении х = 1/2;! — длина участка вертикальной пластины с ламипарпым режимом течения в пограничном слое; Яи = И/Л, Сг1 = 611!з (Т - Т„)1/2/1'2. Значение Юи/(С71) /4, найденное из формулы (ЧП.26) при решении задачи с грапичпымп условиями П рода (ест = сопо1), 1ь пелесообразпо сравнить со значением Хп/(Сг1) 14, полученным при точном решении задачи о естественной копвекцпи иа вертикальной пластине пРк гРаппчпых Условилх 1 Рода (Тсг = сопзз): Рг.................
0,1 1 10 10О 1д яа/Ог,» яря Из приведенных данных следует, что безразмерный ком1> плекс г> и /(6г~) /4, определенный по разности температур (Т~ — Тм)>/з при ест = сопзз, близок к значению Хи/(Ог~) /4, вычисленному для условий Тст = сопз$. Полученные решения строго справедливы лишь для малых разностей температур (Тст — Тж), поскольку при расчетах пред- полагалось, что физические свойства газа или жидкости явля- ются постоянными. В действительности они переменны н зе висят, в частности, от температуры.
При решении уравнений (ЧП.З) -(ЧП.5) учитывали лишь зависимость р(Т) в члене, выра- жающем подъемную силу. Изменение параметров д, Л, сю р и,д с температурой при больших разностях температур пластины и среды приводит к существенному изменению профилей температуры и скорости в пограничном слое, При переменных физических свойствах тепловые потоки для случая нагревания и охлаждения пластины при прочих равных условиях не одинаковы. Уравнении пограничного слоя при переменных свойствах жндхости или газа принимают следующий внд: дю де>, д / де>е1 г">е + р я В(р р)+ д ду ду1, ду)' д д (1но*) + ~ (Ре>я) = 0~ рсг е>е + я>я ~ Л Эти уравнения, так же как и в случае постоянных физических свойств, могут быть преобразованы к системе двух обыкновен- ных дифференциальных уравнений, решение которых является гораздо более простой задачей по сравнению с решением систе- мы уравнений в частных производных.
Граничные условия для зтой системы не отличаются от условий для рассмотренного выше случая постоянных физиче- ских свойств. Если принять, что гез обладает свойствами, ко- торые удовлетворяют соотношениям др = соивз, рЛ = сопеФ, с~ -- сопз$, р = р(КТ), (И1.27) то система обыкновенных дифференциальных уравнений для среды с переменными свойствами совпадает с полученной ранее системой (ЧП.8)> (ЧП.9) для среды с постоянными свойствами.
Таким образом, все решения, полученные для системы (И1.8), (УП.9), становятся приемлемымн для газа, обладающего свойствами (ЧП.27). Анализ влияния на теплообмен изменения физических свойств газа с температурой, основанный на решениях с упроше ющими предположениями (УП.27), а также на непосредственном численном интегрировании соответствующей скстемы обыкновенных дифференциальных уравнений с сохранением всех членов, был выполнен Спзрроу и Грегом.
В общем случае предполагалось, что зависимости Л(Т) и ~и(Т) соответствуют закону Сатерленда, т.е, /Т~ ~ 1+Сг Ле ~тд (Т/Те)+С ' / T >1 ~ 1+ Сз ~Те/ (Т/Те)+ С,' (И1.28) а изменение теплоемкости с температурой линейно. В формулах (И1.28) Лен пе — теплопроводность и динамическая вязкость цри 0»С; Сг и Сз — некоторые постоянные, зависящие от рода газа. Пля воздуха, например, С> = 0,786; Сз = 0,447; Ле = 2,44 10 з Вт/(м К); ~ие = 17, 2 10 е Па с. Путем сопоставления результатов большого количества решений, полученных для сред с постоянными и переменными свойствами, было показано, что влияние зависимости физических свойств от температуры для газов может быть довольно точно учтено путем искусственного введения некоторой определяющей температуры Т, =Т вЂ” 0,38(Т -Т ), ири которой параметры >в, Л, с~ и Рг следует подставлять в формулы (И1.13) и (УП.14), полученные для случая постоянных свойств.
Прн етом считают, что коэффициент объемного расширения ~У = 1/Тж, а число Прандтля изменяется от 0,7 до 1. Т,=Т, — 0,3(҄— Т,), зз ~з Хи = 0,0674 ~Сг1 Рг~'зз~ Ми = 0,48[(1+соз<р)/2)Сгг', (ЧП.29) Хи = 0,54Ка~4, (ЧП.ЗО) Аналогично было показано, что для ртути в качестве определяющей температуры следует принимать величипу при которой нужно определять все физические параметры, включая коэффициент ~У и число Рг.
Полученные результаты были подтверждепы эксперимептальпо и справедливы в практически используемом диапазоне температур. йля расчета теплоотдачи от шкрокой наклонной пластины к воздуху (Ргж0,73) существует следующая формула: в которой у — угол между нижней теплоотдающей поверхностью пластины и вертикалью; Сг1 = 91з(Тст — Тм)(иЗТм", 1 — длина пластипы. Формула (ЧП.29) справедлива при 10з < Сг~ < 10з и 0 < 1э < 90е. При <р = 0 пластина вертикальна, прк ~р = 90е— горизоптвльва (теплоотдающая поверхность обращена вниз). В том случае, когда нагретая (теплоотдающял) поверхность обращена вверх, применяется формула справедливая для квадратных пластин при 10з < Ка < 2" 107.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
