Теория тепломассобмена (Леонтьев) (1062552), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Пля таких случаев из уравнения теплового баланса следует, что 2яст я Гюв =10+: рсгюге или в безразмерной форме гею — го 4 х 9— (Ч1.330) йстд/Л Ре И' где Ре = ео/а; $е — постоянная температура жидкости на входе в трубу. При заданной тепловой нагрузке искомыми являются температура стенки н козффипиент тедлоотдачи. Запишем для рассматриваемых условий уравнение энергии и граничные условия: г В9. .~ (1 Вг) дВз В дВ дХ' (Ч1,331) (Ч1.332) 9 ж АХ+/(В), (Ч1.333) где А — постоянная, а ДВ) — неизвестная функция. Чтобы подтвердить это предположение, определим А н вид функпни /(В), Подставив (Ч1.333) в уравнение (Ч1.331), получим — ~ — ) = А(1 — В )В. а~ ИВ)— Интегрируя это уравнение в пределах от 0 до В н учитывал, что при В = 0 ф/~И = О, имеем су/г1В = А (В/2 — гз/4). 9=0 прн Х=О, 0<В<1; д9/дВ= О прн Х > О В= О д9/дВ= 1/2 при Х > О, В=1, $ — го., 2я гдв 9 = —; В = г/ге, Х = — —.
дстИ/Л' ' Ре И Рассмотрим решение этой задачи для области, удаленной от входа в трубу, где установился автомодельный профиль температуры с постоянным по длине коэффнпиентом теплоотдачи. В этом случае можно предположить> что температура 9 (так жв как и 9)при любом значении В изменяется линейно по длине трубы, тогда вее /(В) = В~/2 — В»/4+ С. (Ч1.338) 9, =9-9., Следовательно, 9 = 2Х+ В~/2 — ВВ/8+ С.
(Ч1.334) 5= 4 9(1 — Вз)В(И. о 4х 11 9 =98 1= — -+ —. Ре А 48 (Ч1.336) Из третьего граничного условия (Ч1.332) находим А = 2. Вто- ричное интегрирование дает Постоянную интегрирования С вычислим из уравнения (Ч1.330), предварительно определив средпемассовую температуру по формуле 1 После интегрирования и подстановки 9 в уравнение (Ч1.332) паходим С = -7/48.
Окончательное выражение для профиля температуры имеет вид 4 х 1 з 1 4 7 9= — -+ —  — - —— Ре А 2 8 48 и, как частный случай, температура стенки Число Нуссельта для рассматриваемых условий: Ноя = ~ = (9сг — 9) 1 = — й 4,36. (Ч1.337) (Ф вЂ” 1) ~( 11 Таким образом, в области, удаленной от входа в трубу, при постоянной удельной тепловой нагрузке температура стенки изменяется по длине по липейиому закону, а число Нуссельта сохраняет постоянное значение. Из сопоставления формул (Ч1.337) и (Ч1.323) следует, что при постоянной тепловой иагрузке в обле сти стабилизированного течения число Нуссельта на 19 % больше своего значения при постояниоя температуре стенки.
Рассмотрим задачу о теплообмепе в начальном термическом участке при ест = сопв1 по длине. Введем новую переменную где 9» — частное решение для области стабилизироваиного теплообмена, определяемое по уравнению (Ч1.335). Задача сводится к интегрированию уравнения — + — — =(1 — В )— дз91 1 д91 , д91 дВз В дВ дХ (Ч1.339) при граничных условиях 91 = -(В~/2- В~/8 — 7/48) при Х = О, 0 < В < 1; д91/дВ=О при Х>0, В=О, В=1. Решение можно получить тем же методом, который использо- вался при граничном условии гсг - -совв$. Следовательно, общее решение для 91 имеет вид 91 = ~~1 Ая ля(В) ехр(-с~~Х), (Ч1.341) гдв А„- постоянные козффипиеиты; ч1я(В) — собственные функпии; ея = 1, 2, 3... — собственные значения. Окончательное выражение для распределения температуры будет таким( 4 х 1 з 1 4 7 9=9 +91= — -+-В -- — — + Ре А 2 8 48 »1 А» (Л)тр(-2а„— р).
(Ч3.342) я=1 Пля температуры стенки получаем 9»т = — -+ — + ~~1 Ая»/(я(1) ехр~-2ся — -~. (Ч1.343) 4 х 11» з 1 х1 (У1.346) 6.( Яп = ж(9ст-5) (и.т/г1= 0,07Ре. (Ч1.345) 364 Значения сто, Чго(1) и А„приведены в табл. Ч1.10, У1.11. На рис. Ч1.42 показано распределение температуры жидкости по радиусу и длине трубы. г М яг г лг л л ягг лга ям цы гм ям а Рве. Ч1.4я. Распргягелевве температуры во радиусу (а) в длине трупы (я) врв о„= соыг Локальные значения числа Нуссельта определим по формуле С учетом уравнения (У1.343) имеем Хп = 1/г ~ — + ~~г Ао 14о(1) ехр ~-2со — -~.
(Ч1.344) о=1 При достаточно больших значениях отношения х/г( сумма членов ряда стремится к нулю и уравнение (У?.344) переходит в выражение (У1.337), полученное ранее для области стабилизированного теплосбмена. Определив длину начального теплового участка из условия Хи га = 1,01Мп~, получаем Таким образом, длина участка тепловой стабилизации для условия ест = сопвФ на 27% больше аналогичной длины для случая гст = сопят. 1 т Пля приведенной плины — — < О, 04 с погрешностью х4% Ре г( число Нуссельта можно определить по интерполядионному урав- нению 1/з Хп = 1,31 — — 1+ 2— Если обогрев трубы начинается со входа жидкости в трубу, где распределение скоростей равномерное, то теплоотдачу можно рассчитать по формуле 1й — = 0,35 — — 1+ 2,65 — —, (Ч1,347) где Хи огг — местное число Нуссельта, определяемое по формуле (Ч1.344).
Уравнение (Ч1,347) справедливо при изменении параметров в пределах 10 4 — — « 0,064 и Рг < 10 . При — — ) 0,064 1 и 1 я профиль скоростей стайовится параболическим н г(гнг= Хп Часто встречаются случаи, когда плотность теплового потока по окружности трубы неодинакова, что приводит к перегреву отдельных участков поверхности. Исходным уравнением для этого случал при постоянной плотности теплового потока на стенке по длине трубы является следуюшее: 1 д / дг, 1 дз( ,„ дс — — г — + — — = — — = —— (Ч1,348) гдг~ дг,~ гзЬрз адт а гй Решить его можно методом теплового источника или методом суперпозипии. При косинусоидальном изменении теплового потока (многие неоднородные распределения плотности теплового потока могут Заданную зависимость ест = у(х) можно аппроксимировать ломаной линией, причем на каждом участке 4$сг 11 ~ тепловой поток принимается постоянным (рис.
Ч1.43). От каждой ступеньки тепло- 1 ваго потока развивается температурное поле, описываемое уравнением (Ч1.342). Так как уравнение энергии (Ч1.331) линейно относительно температуры, то температурное поле в потоке со ступенчатым распределением теплового потока на стенке можно. представить как сумму температурных полей от отдельных ступенек: Уст( Рис. Ъ'1.43, К задаче о тамдоовмеие при произвольном измеиеммв Фст з/аЕ б= — '"'"6+(В,х)+ ,Ч- ~"'~6+(В,х ~1), 1=1 где 6+ — Решение задачи о теплообмене пРи йст = сопвс.
быть аппроксимированы разложением по косинусам) д = «в (1+ +Ь сов ~р) н местное число Нуссельта Хи(р) = (1+сову)( ~ — + — сову . (Ч1.349) У/11 Ь ( '1,48 2 Если Ь = О, Хп = 4, 364. В зависимости от значения Ь число Нуссельта может принимать любые значения вплоть до Хп = со. Бесконечный коэффициент теплоотдачи означает, что температура стенки равна среднемассовой температуре жидкости.
Большой практический интерес представляет теплообмен в круглой трубе при переменной по длине плотности теплового потока на стенке. Так как уравнение энергии (Ч1.331) линейно, то его Решение длЯ слУчав уст = сопев можно РаспРостРанить на произвольный закон изменения ест по длине, используя метод су нерп озипии. Заменяя конечные приращения Ласт, на овст и переходя от суммы к интегралу, получим д= — 6+(В, )+-/ — 6+(В,*-ДИ~~. ц о11 + ИГЙЫ Ы) Л ' Л / И~с Разделим зто уравнение на среднюю по алине плотность теплового потока: 6 = 7 о 6+(В, х)+ ~ — 6+(В, * — с) <К, (Ч1.350) Гав И) + о 1 — ВО .
%то, 2 где 6 = —; 4, о — — —, ест = 1 уст(х)~Ь; 5 = — —. ~4Л' Ре 4 При В = 1 уравнение для температуры стенки имеет внд 6ст = Фсто 6+(х) + — 6ст(х — ~) <У~. (Ч1.351) о Запишем выражение для среднемассовой температуры жидко- сти: 6 = — = 2 уст(4) <К. (Ч1.352) Устой / о Локальное значение числа Нуссельта определим по формуле Мп = ад/Л = 3 /(6 т — 6). (Ч1.353) Расчеты показывают, что локальные значения числа Нуссельта существенно зависят от закона изменения ест по длине трубы. В случае увеличения уст число Нп больше, а в случае уменьшепяя— меньше, чем прп ест = сопв1. В работе В.Д. Виленского показано, что поведение числа Яи прн х -+ оо определяется параметром зев звт Если К имеет конечное значение, отличное от нуля, то число Нуссельта стремится к некоторому значению, отличному от 5?пес при ост = сопв$. Если же К = хоо (т.е.
предела не сушествует), то число 5?п неограниченно увеличивается или уменьшается по длине трубы. Большое техническое значение имеет расчет теплообмена в кольпевом канале. Пифферендиаяьное уравнение энергии для кольпевого канала такое же, как и для круглой трубы (для случая уст = сопв$): (Ч?.354) Путем интегрирования уравнения движения ламинарном течении между параллельными пластинами. В этом случае Хп = 5, 385 (Ч1.357) 1 — О, 346 (йг/дг ) При обогреве только одной стенки дг т О и 5?п=5,385, При равных плотностях теплового потока на обеих пластинах йг/д1 = 1 и Ми~ =Миг =8 23, Решение уравнения энергии для труб прямоугольного и треугольного сечений получают теми же методами, что и для круглых труб. Исходное дифференпиальное уравнение является частным случаем уравнения дгг дгг ~угв + дхг дгг а дх' определим профиль скорости в кольцевом канале г 1 — = — ~1 — ~ — ) +В1п — ~, (Ч?.355) ю-М ~ ~г?) г? где М = 1+ (г')г — В; В =,; г' = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
