Теория тепломассобмена (Леонтьев) (1062552), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В большинстве случаев касательное напряжение юменяется по периметру трубы. Однако если определкть среднее по периметру касательное напряжение и использовать его для расчета падения давления, то козффипнент трения можно вычислить с помошью уравнения те и Су р13З/2. Зля труб с сечением в виде равностороннего треугольника справедлива зависимость СуНе = 13,33. зае Число Не определяется по гидравлическому радиусу трубы ге.
При движении жидкости в изогнутых трубах обычно возникает вторичное течение, значительно усложняющее продесс переноса импульса. Для стабилизированного ламинарного течения в круглой трубе, ось которой представляет собой дугу окружности радиусом Л, предлагается следующее уравнение для козффипнента трепки: — 1 — 1 — ', (Ч1.293) справедливое при 11,6 < Не /го/Л, < 2000, где С/ — коэффициент трения в изогнутой трубе; С/ — козффициент трения в прямой трубе.
Теплообмен е цилиндрической взрубс при гидраелвчески стабилизированном гасчекии. Рассмотрим ламинарное стабилизированное течение жидкости в круглой трубе при постоянной температуре стенки по длине трубы. Заданными являются расход жидкости, температура стенки и температура на входе в трубу. В такой постановке задача была решена Нуссельтом. Задачу будем решать при следующих условиях: 1) пропесс теплообмена принимаем стадионарным (дФ/дт = = 0); 2) жидкость считаем несжимаемой и ее физические свойства принимаем постоянными, т.е. не зависящими от температуры; 3) считаем, что в потоке отсутствуют внутренние источники теплоты, а теплота трения пренебрежимо мала; 4) пренебрегаем тепловым потоком вдоль трубы вследствие теплопроводности жидкости по сравнению с конвективным тепловым потоком.
Уравнение знергии для несжимаемой жидкости с постоянными физическими свойствами прн отсутствии в потоке источников теплоты и диссипации знергин в цилиндрических координатах имеет вид 84 юх — + юг — + — ~ — = дх дг г ду /д'1 1 д1 д'$ 1 д'1~ =о~ — +- — + — 4.— — ~. (Ч1.294) ~,дя2 г дт дтз гз д1зз!' Вследствие осевой симметркн (д$/доз = дзФ/добря = 0) и условия д~1/дуР к. 01/Ог при Ре > 10, вводя новую переменную д = = $ — $ст, запишем уравнение знергин в виде или в безразмерном виде а~в 1 аЕ ОЕ дЯ~ + Л д — (1 — В ) —, (Ч1.295) д $ — зст т а я 2 я где 9 = — = —; Ю = —; Х = — — = — —. Задачу до 1о — гст' го Жга т Ре И будем решать при следующих граничных условиях: Решение дифференциального уравнения ишем в виде произведения двух функций Е(Х, Л) = ~р(Х) /(Л).
(Ч1.298) ЮФ~ + ЮФ =(1 — Л~)ФЮ~ Я Разжлив переменные, получим два обыкновенных дифференци- альных уравнения. Первое кз них (Ч1.299) Для стабилизированного ламннарного течения юе — — Ж(1 — г /ге ); в„= ю, = О. 3 3 6=1 прн Х=О, О<Я<1; д9/дЯ=О прн Х >О, В=О; 9=0 прн Х>0, Я=1. Подставив (Ч1.298) в уравнение (Ч1.295), получим (Ч1.296) (Ч1.29Т) имеет решение з 4с-и Х (Ч1.300) Решение второго уравнения Ьз = -ЬО/4' Ьз = -Ьг/О = 0; ь, = о; (Ч1,301) ьь = ~~~ Ьпс в=О нли Запишем уравнение в виде — + — — + с (1 — В ) ь/ь = О. Фьр 1 ьЬ/ь ь1Вз В ьИ Нуссельт предложил искать решение в виде раца где» = ОВ, подстановка которого в уравнение (Ч1,301) дает ььп Е В( — 1) Ь„Сп-2+ Е ВЬ„1п 3+ ~1 — Ч3 ~) Ь Св = О, п=е в=э ьь=е СО 00 00 Е пзь$™+ ЕЬ.1" — Е Ф"+2=0.
Е в=э п=О в=О Преобразуем полученное выражение так, чтобы показатели степени при С во всех его членах имели одно и то же значение, например й: 00 00 ОО ~) (»+2) Ь»+ОС~+ ) Ь»4» — ~~~)~ З 1ьэ = О, »=-3 »=О »=3 Ь,,Г'+ (4ь, + ь,)+ (Оь, + ь, М+ ь- 1 ' ]Сь + ь)' ьььь ь- ьь — -ььь] Ь' = ь. Е Так как это уравнение должно выполняться при любых С, то ко- эффициенты при членах с» в разных степенях должны равняться пулю, т.е.
1 /Ь» з Ь»+з = (й+2)з 1, сз ~ — — Ь»1 для Ь>2, причем коэффициенты при четных членах выражаются через два предыдущих четных коэффициента, а при нечетных — соответственно через два нечетных коэффициента. Решение ь/ь(В) можно представить в виде ряда, содержащего а(В) лишь в четных степенях: ь/ь(еВ) = ~~~ Ьзп (ЯВ) в=э где условно принимается ЬО = 1 (в ж 0); ЬЗ = ЬО/4 = -1/4 (в = 1); 1 /1 Ьзв = — ~ Ьзп-4 — Ьзв-з (в > 2).
(2в)з ~ сз В развернутом виде можно записать ф(В) = 1 — — (ОВ) + — ~ — + — ~ (еВ) +... (Ч1.303) 4 16 ~. 4~ Ряд сходится при любых ОВ и с. Постоянная с определяется из граничного условия (Ч1.297)(при В = 1 1Ь = 0): 1 — — е + — ~ — +-/е + =О. 2 1 1 1 4 (Ч1.304) 4 16 ь,сз 4,ь] Это уравнение имеет бесконечное множество корней св, называемых собственными значениями.
Нуссельт вычислил первые трн корня: ОО = 2,705; с1 = 6,66; сз ж 10,3. Каждому значению соответствует собственная функция ььь(св Всп) = Фв(В). ( г г Л(1 Лг)гз ф с-л„х ф(Л) сумма вюе л!л, аз Лис, Ч1.ЗВ. Г~ фини фхю~" Пнй Фя »=О | ФвфевЛ(1 — Л )ИЛ= 0 О (Ч1.307) (Ч1.309) ззз Первые три функпии для вычисленных значений св показаны на рис. Ч1.39. Тл Частное решение дифферен- пиального уравнения (Ч1.301) можйя но записать в виде Общее решение есть ф всех частных решений: и сл — ~~~ А»с лл ф (Л) (Ч1 305) В зтом уравнении некзвестны лишь Ав, которые можно найтя нз распределения температуры на входе.
Так, прн Х = 0 9О(Л) = 1 и 6О(Л) = ~~), Ав 4>в(Л). (Ч1.306) С учетом выражения (Ч1.306) решение (Ч1.305) запишется в виде 1 = Ао РО(Л) + Аг Ф1 (Л) + .. + А» Фв(Л) +... + Ав, флл(Л) +... Так как 4в и фю являются решениями уравнения, то можно записать — 1 Л вЂ” „„" ) + г Л(1 — Л') ф. = О; — ~Л вЂ” ~+с Л(1 — Л )4~ =О. Ф ~ г г 1Л '1, ИЛ,1' 1»вЂ” Умножим первое уравнение (Ч1.307) на ф»л, а второе — на Фв и вычтем из второго первое, тогда ф и Л АЛ фж ВАЛ" Левую часть зтого уравнения представим в виде и проинтегрируем ее по Л в пределах от 0 до 1: (лв еш) Рвал»Л(1 Л ) »Л = О Ф ИФ ~~' =л Ԅ— -ф — "~1.
(ч1.306) сИ сИ! ~О Правая часть зтого уравнения обращается в нуль прн Л = 0 и Л = 1, так как 4~(1) = Ззв(1) = О. Отсюда следует свойство ортогопальности при ш ф в, учитывая которое, можно записать Во(Л) ЫЛ) Л(1 - Лг) аЛ О А»в 1 фвг(Л) Л(1 — Лг) ~И о Прн 9 = 1 интеграл в числителе 1 | а>а(Н) Н(1 ~ ) ~~~ — 2 ~ 1 > 1 /И4ъ~ Еа езс ~В=1 о а интегрзл в знаменателе 1 | фг(~) ~(1 Н2,1Н (Ч1.310) 1 1 ф~ф ( ) 2 2 а-+аа 1 а->аа Еа — Е 0 Раскрывал неопределенность, получаем М„=~ Ф2Л(1-Кз)ан= — ~ — "~ — ~ . (Ч1.311) Ы~„Уй|~ 2еа ~ 4Л ~'16 А=а 8=1 Поэтому г (др1 А„= —— > (Ч1.312) где производная ~ — ) определяется по уравненяю /до ~ а аа; 8=1 (Ч1.303).
В результате вычислений получаем следующие значения: Ао = 1,477; А1 ='-0,810; Аз = 0,388. Окончательное распределение температуры жидкости в потоке определяется формулой 0 который для удобства обозначим Уа, можно вычислить на основании уравнении (Ч1.308). Будем считать е непрерывной величиной, стремяшейся к еа, тогда Значения ТОа(В)> е„н Аа даны в табл.
Ч1.10 н Ч1.11. На рнс. Ч1,40 похазано распределение температуры по радиусу и длине трубы (расчеты проведены по уравнению (Ч1,313)). 7абаица 1>1.10. Звачаввя собственных фЗ>ваней 7>» 1 0,98184$ 0,928893 0,845468 0,738094 0,614599 0,483097 0,351010 0,224264 0,106741 0 1 0>302289 -О,402601 0,000543 0,299074 -О, 079733 -О, 255230 -О, 036100 0,259184 0,188173 о Табацца 97.11. Собственные эвачевва коэффициентов В А 2,704364 6,679031 10,673380 14,671078 18,6698Т2 22,669143 26,668662 30,668323 34,668074 36,667883 42,ввттз4 1,476354 -О, 6051239 0,$887621 -О, 4Т56504 0,4050218 -0,3557565 0,3191690 -о,зоотзбв 0,2втв911 -О, 249062$ 0,2332277 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 О,б Р,Т 0,8 0,9 1 0 1 2 3 4 6 Т 8 9 10 1 0,691809 0,604700 0>233657 -О, 109593 -О, 342141 -0,43ИВ2 — О, 39Т629 -О, 284494 -О, 141133 о 1 0,735450 0,1$24ТЗ -О, 315213 -О, 39208$ -а,142342 0,169685 0,331468 0,302723 0,16262$ 0 Т,313586 44,609460 113,92104 215,24053 348,56412 513,89004 711,21763 940,54604 1201,8754 1495,2052 1820,5355 1 0,531061 -0,233032 -О, 359141 О,ОВТ932 0,315072 0,114169 -О, 196043 -О, 292241 -О, 1Т7621 0 1 о,отббв1 -О, ЗИ220 0,2В9820 -О, 047658 -О, 205318 0,197497 0>103721 -О, 208931 -О, 195217 0 0>748ТТ450 0,54382Т95 0,4628610 0,4154184 0,3829191$ 0,36668555 0,33962210 О,З24ОВИВ 0,3110139$ 0,29984400 0,29012455 (Ч1,313) Для больших в расчет затруднен, и в таких случаях используют асимптотическое решение, позволяющее его значительно Введем параметр Вв для В = 1: (Ч1,320) ге Рис.
Ч1 ОО. Респреяеяеппе температуры в трубе по Нуссельту упростить: илп в безразмерной форме (Ч1.316) Фв = УО(явВ). Для средних В сов~ — ВЧ1 — В + — агсз1п — -~ Фв(В) = . (Ч1.317) тевВ (1 Вз) /4 и в окончательном виде 9 =8 — ехр -2О з вр в — 0 (Ч1.321) обо ев = 4в+ 8/3 Ав = (-1)в ' 2,84606св Для малых В (около оси трубы) (Ч1.314) (Ч1.315) Для В, близких к,едппипе (около степки), ~.(В) = -(1 — В) (-1)в .7,„~ — "(1- В) ~1. (Ч1.318) 2 1св48 з 1 3 Ь1 3 Вв = -- Ав ~ — "~ = 1,01276св .
(Ч1.319) Хорошее соответствие точного и асимптотического решений паблюдается при п > 3, При большой приведенной длине можно оставить лишь первый член ряда 8 = Ао Фо — ехр -2оо р у Среднемассовая температура жидкости 1 — — — 1 йев 2ттйт тг ~о l 5 = 2 Виь В АВ = 4 9(1 — В~)В АВ. Подставив выражепие (Ч1.320) в последнюю формулу, получим 1 6 = 4 ~1 Ав ехр ~-2О~ — — ~ У 1ов(В) В(1 — ВК) АВ, 1Х1Г вРО А ~/ в=о О м Вводя число Нуссельта, имеем (Ч1,323) /1 яа'е Ип = 1,077 ~ — -~ — 1 7 ~,ре е1~ (Ч1.325) 1н.т/Ы = 0,055 ре авв Локальный козффипиеит теплоотдачи определяется формулой ~~У В» ехр ~-2вг —— а Ре ~1/ аюв (Ч1.322) В / 1Х~ 2 ~ — ехр ~-2са — — ~ 2~ сг ~ "Ре а=в Из анализа формулы (Ч1.322) следует, что при Х -+ 0 Мп О -+ оо; при Х- оо Ип =его/2=3657 и а зависит лишь от теплопроводиости жидкости и диаметра трубы.
Как видво из рис. Ч1.41, всю длину обогреваемой трубы можно разделить иа два участка. На первом участке происходит формирование профиля температуры (число Мп убывает по клипе), иа втором — закон распределения температуры по радиусу ие изменяется по длине (число Хп сохраияет постоянное значение). Первый участок иазывается термическим начальным участком, второй — участком стабилизированного теплообмеиа. Длину термического начального участка можно определить как расстояние от входного сечения, иа котором число Ид с точностью 1% принимает постояииое значение. Из уравиеиия (Ч1.322) получаем (Ч1.324) Рве. Ч1,41.
Зависимость числа 1Ча от номхощнса р (л/х) ламвварвом течевввг à — нлосхал щель;  — хруглаа труба; у — рааносторонннй треугольннх При заданном числе Ие длина начального термического участка определяется числом Рг. Для жидкометаллических теплоносителей 1н.т ие превышает иескольких диаметров, для газов— нескольких десятков диаметров, для капельиых жидкостей 1н.т может изменяться от нескольких сотен до десятков тысяч див; метров капала. Отсюда следует, что в трубах теплообмевиых аппаратов для жидкостей с числом Рг > 1 теплообмев при ламииариом течении по всей длиие трубы происходит в области термического начального участка. Для практического расчета теплоотдачи пользоваться уравиеиием (Ч1.322) пеудобво.
Решеиие (Ч1.322) можно упростить, подставив асимптотические зиачеиия са, В„и замепвв сумму интегралом. При — — < 10 1 я Ре И а прв — — > 10 с точвостыо ~0 5% -3 Ре ее > О,4ВВ Мп = 3,655+ 0,2355 — ехр 57,2 — . (Ч1.326) Средний интегральный коэффипиент теплоотдачи 1 е= -/ а~Ь. 1/ о Из уравнения теплового баланса для элемента трубы длиной Ия имеем Барс ай а~Ь = - — с=; 4 д' язе! шмарс~ / до Жйрс~ д -1 41 / Э 41 де ' яо — аИ 1 И Хи = — = --Ка — 1пю -р Л 4 Подставляя 9 из уравнения (Ч1.321), получаем и. = -ва-ь|в1: — -,1-Я.' — -~]. ~чав~~) С точностью до 4% при Ре 1/И С 250 можно пользоваться интер- поляпионным уравнением Яй = 3 66+ ' (Ч1 328) 1+ 0,04(Ре И/1) /3 В технике часто приходится решать задачи теплообмена при постоянной плотности теплового потока на стенке; к ннм относятся электрообогрев, радиационный нагрев, нагрев в ядерных реакторах и в противоточных теплообменниках при равенстве водяных эквивалентов теплоносителей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
