Григорьев В.А., Зорина В.М. - Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент. Справочник (1982) (1062114), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Из анализа рис. 1.78 и !.79, а также непосредственно из'уравнения (1.13!а) следует, что каждому равновесному состоянию жидкости в любом сосуде отвечает другое Рис. 1.79. Расположение фаз и выбор направлении оси г для различных типов осесимметричных задач о равновесии. ° — тил 1 !полом»тельные перетру»киц б — тил Э !отрнцетельлие иере»ручке).
состояние, получающееся зеркальным отражением всей системы относительно плоскости г = 0 с одновременной заменой жидкости иа газ и обратно и углов смачивания на дополнительные до м. Если вместо краевого угла 8 вести «контактный» угол 8 . который отсчитывается в ту фазу, которая в данной задаче может рассматриваться «сплошной» (по отношению к другой— «дискретной»), то различие в решениях за. дачи для исходной и отраженной систем исчезает.
Уравнение осесимметричиой равновесной поверхности согласно [1!] может' быть представлено в виде ! д ! гг' (1. 134а) где г' = дг/дз; г' = с(г/дз; з — длина дуги равновесной линии, отсчитанная от точки симметрии; г = г/Ь; г = г/Ь; э = з/Ь; С = 2Ь//7о., /7е — радиус кривйзны в точке симметрии (здесь оба главных радиуса крнвиэны равны /7о). Если () — угол наклона элемента равновесной линни к оси г, то Г =соэр; г =5!пр; Г = — () г; гч = р' г', [)' = д()/дэ, (1.
133) С учетом этих соотношений из (!.133) получается система уравнений, определяю- Гидростотико двукфиэнык систем $1.12 с-гд щая однопараметрнческое семейство равно- тп весных поверхностей раздела фаз: (! .136) В точке симметрии сп г,п вр уй )гп 7а йг а дч П ада тт Рис. 1.83. Зависимость У(г) для задач типа 1. Гд 7 (д тд Пд Л 7 и пдмггг'де до и сд д! Рис. 1,80. Типичные примеры интегральных кривых системы (1.136) с начальными усло- внямн (1.137) . с — ььдьчя тнсь 1; б — ььдьвв тисе г.
г" = — г' (~а+С вЂ” г*/7); гч = г' (~ г + С вЂ” г'/ 7), где г" = йг'/йз; г",= йг'! К 7(0):=г(0) =г'(0) = 0; г'(0) = 1, (1.137) Система (!.136) при начальных условиях (1.137) решалась численно (11). Типичный внд интегральных кривых этой задачи показан на рис.
1.80. Форма интегральных кривых весьма сильно отличается для задач типа ! (положительные перегрузки) и типа 2 (ртрипательные перегрузки). 11ри этом ясно, что, за исключением начальных участков, интегральные линии имеют такую форму, которая физически не реализуема как форма поверхности раздела фаз. В 111) проводится анализ устойчивости интегральных кривых, на основе которого выделены максимальные участки устойчивости этих кривых (рис.
1.81). Здесь в качестве параметра выступает безразмерная кривизна поверхности в точке симметрии. пг пт пб пп тп Как видно из рис. 1.81, максимальные участки устойчивости для случая положительных перегрузок простираются до значения 8 = п. Применительно к каплнм или пузырькам (см. рис. 1.78, и) это означает, что в точках пересечения интегральных линий (рис. 1.8!) с пунктирной линией ! контактный угол 8. = О. С учетом (1.135) Рис.
1.81. Максимальные участки устойчивости интегральных кривых длн задач типа ! (положительные перегрузки). . 7пдсдпгпм м теэт пп вп пд с-пз сдпд Рнс. 1.82. Зависимость 6(г) для задач ти- па !. Равд. 1 Механика жидкости и еаза 90 О Рис. !.84. Максимальные участки устойчивости интегральных кривых для задач типа 2 (отринательные перегрузки). система (1.136) позволяет построить семейство кривых р = 6(г), а также )с = = Тт(г) для различных значений С, где Г= = )г/Ьз — безразмерный объем тела вращения, ограниченного участком равновесной кривой от точки а = 0 до текущего значе- ния а и плоскостью а = сопз! (рис, 1,82 и 1.83).
Если известны условия смачивання и объем У, капли на плоскости (пузырька едиб Убб /б гг ад гб Рис 1.85, Зависимость р(г) для задач ти-~ 'Рис, !.86. Зависимость )т(г) для задач ти- па 2. ЬЙ па 2. Волновые движения жидкости 9 1.13 91 и гп еп уй +и Рнс. !.87, Предотрывной объем капли (пузырька) на срезе капилляра в зависимости от радиуса капилляра., под плоскостью), то, полагая О. = 8, на основе рис. !.82 можно построить кривую С = С(Г) при 8 = О., а на основе рис. 1.83 — кривую С = С(г) при У = Ус. Тачка пересечения этих двух кривых определяет единственные значения г и С, соответствующие заданным условиям, что позволяет найти на рис.
1.81 кривую, отражающую форму капли (пузырька). Максимальные участки устойчивости интегральных кривых для равновесной поверхности жидкости в цилиндрическом контейнере (см. рнс. 1.78, д) ограничены на рис. 1.8! пунктирной кривой 2, Вдоль этой кривой р = н/2, что соответствует краевому углу 0 = 0 (нли О =- и) на стенке контейнера. При отрицательных перегрузках совместный анализ рис.
1.84 — 1.86 позволяет определять равновесные формы поверхности раздела для многих конкретных задач. Линия ОАВС (рис. 1.84), проходящая через граничные точки максимальных участков устойчивости, определяет нргдгльныг (иредогрызные) размеры капель (пузырей) на срезе каппиляра (см.
рис, 1.78, з). При этом точке В соответствует кривизна в точке симметрии С = 1,57, а в точке Сг = 3,8317. На дуге ВС равновесные кривые имеют горизонтальную касательную. Зависимость предельного объема капли (пузыря) У. от радиуса капилляра г, дается на рнс. 1,87. Для капилляров~ малого радиуса (г«(0,5) предотрывной размер (эквива. з-— лентный радиус /7. =1 ЗУ./4и) капли (пузырька) хорошо описывается формулой Зг„а [ гг, „. (1 7138) У 28 (р' — р») Нэ рис. 1.87 видно, что формулой (1.137) можно пользоваться и прн относительно больших размерах капилляров, ирак.
тически до г,жЗ (пунктирная линия). Линия ОРВС (см. рис, !.84) ограничивает область, внутри которой располага. ются равновесные линии, отвечающие устойчивым формам капли, висящей иа горизонтальной плоскости, или газового пузырька, расположеннога на плоскости сверху от нее (см. рис. 1.78,6). Каждому контактному углу О, соответствует критическое (предотрывное) значение объема У капли (пузырька).
При увеличении объема капли (пузырька) более У. устойчивость теряется, т.е. капля (пузырек) отрывается либо полностью, либо частично. Для 0 = 60 †: 140" предотрывной размер капли хорошо описывается формулой Фритци [!1, 28) Р« = 2/7« = 0,02070« 1 у й(р,) (1.! 39) где значение О. берется в градусах. Практически этой формулой можно пользоваться и пои меньших О, но для О.(!0' более точный результат получается, если в (!.139) числовой коэффициент принять равным 0,02!4 [28). Неустойчивым состояниям жидкости внутри цилиндра отвечает дуга гН (см. рис.
1.84). Вдоль линии О/г контактный угол О. = О, так что устойчивым осесимметричным состояниям жидкости в цилиндре («перевернутый контейнер», рис. 1.78,е) соответствуют интегральные линии на рис. 1.84, оканчивающиеся внутри области ОНг"/Р. Равновесные линии, оканчивающиеся в области ООРРКО, отвечают 'устойчивым состояниям жидкой капли, подвешенной на цилиндрическом стержне (см.
рис. !.78, г). 1.13. ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ тизл. математическое описание волновых движении иделльнои жидкости Если участок горизонтальной поверхности подвергся малому отклонению от равновесия, то под действием восстанавливающих сил (массовых и поверхностного натяжения) этот участок приходит в движение, проходит состояние равновесия, снова попадает под действие восстанавливающих сил, и, таким образом, возникает волновое движение поверхности жидкости. Большинство задач гидродинамики, связанных с образованием волн на поверхности жидкости, рассматривается в предположении, что жидкость идеальная несжимаемая, а движение ее потендиальное.
Для таких волновых движений справедливо уравнение Лапласа (1.73), а поле давлений описывается интегралом Лагранжа — Коши (1,40). Если плоскость хОу совпадает с горизонтальной поверхностью жидкости, а ось г 92 Механика жидкости и газа Разд. 1 волн (!.142) (1.143) направлена вертикально вверх, то волновая поверхность может быть представлена уравнением Л = Л (х, р, '1). (1.140) Помимо обычяого условия дф/дп = 0 иа стенках сосуда в качестве граничных условий рассматриваемой задачи испольэются условия совместимости иа свобоаной поверхности жидкости (при г Л) для потоков массы и нормальной компоненты импульса (28), т.
е. условия совместности задаются на йоверхности, уравнение которой (!.140) само входит в качестве искомого в изучаемую задачу. Основные результаты теории воли связаны с допущением о малости тех возмущений, которые волны вносят в равновесное состояние жидкости, — зто теория бесконечно малых воли.
В рамках этой линейной теории (41) математическое описание включает в себя уравнение Лапласа (1.73), условие на стенках сосуда. уравнение для возвышения Л поверхности жидкости, име- ЮЩЕЕ ВНД1 Л = — — ( — /1, (1. 140а) 3(а / и граничное условие для потенциала ско- ростей в виде — +и — ) =О. (1.!4П ( — †)— РЧ> д9 1 дс При такой формулировке ~ зздачи не учитывается лапласовский скачок давлений иа волновой поверхности жидкости, т.
е, принимается р сопз( нри г - Л. Волны на поверхности жидкости прн этом обусловлены гравитационными силами и называются гравитационными. 1.1з.г. стОячие и пРОГРессиВные гвлвитлциониые волны В случае плоскопараллельпых уравнение Лапласа дз 1р дз 1р — + — =0 дк' дгз имеет частные решения: атд Сй Л(г+ Но) 1Р Х С(1 ЛНо Х созйх сов(е'1+ зз); 1Рз = азй С11Л(а+Но) в Сь ЛНО Х х з!Пйх сов(ет+ вз). Каждому яз этих потенциалов скоростей соответствует уравцение стоячей волны на поверхности жидкости Л, = а, соз Лх з!п (вт + г1); Л,=ааз1пйхз!п(ез+е,) (1.144) В этих соотношениях аь аз в амплитуды волны; Л вЂ” волновое число; в — круговая частота воли; Но†глубина бассейна; в1 и гг — константы интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
