Григорьев В.А., Зорина В.М. - Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент. Справочник (1982) (1062114), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Если Л вЂ” длина волны, Т вЂ” период волны, то Л = 2п/Л; е = 2п/Т. Круговая частота стоячей волны в = 1' ПЛ!11ЛНо . (1.145) Для жидкости бесконечной глубины соотношения (!.!44) сохраняют свой вид, а потенциалы (1.143) преобразуются к виду 1рг = — еа* сов Лх сов(вт -'; ет); в 1рз = — г з1п Лх соз (ет + гз), азй ю. 1О где круговая частота определяется форму- лой в = )~ пг. (1.145а) Суммирование потенциалов (!.!43) при а|=-а,=а; в1 и/2; е1=0 дает новый потенциалл апсЬЛ(г+ Но) 1Р = з1п (Лх — вт), (1.
146) е сй ЛНо соответщвующяй прогрессивной волке, бегущей по поверхности канала глубиной Н, без изменения своей формы; Л = а соз (Лх — ет). (1,147) Эта волна движется в положительном яаправленин оси х со скоростью с в/Л. В случае канала бесконечной глубины 1р = (ап/е) еь*з!и (Лх — вт). Скорость распространения гравитационной прогрессивион волны с= 1I — ФЛН = 8 о— г/ дй 2пНо .г 2п Прп увеличении длины гравитационной волны от 0 до оо скорость ее монотонно растет от 0 до~' ЕНо. Для жидкости бесконечной глубины с = )~ ~'М(2и) . (1.148а) Скорость волны с не является скоростью частиц жидкости, которые при волновом движении на поверхности канала конечной глубины движутся по эллиптическим траекториям, а в жидкости бесконечной глубины — по круговым.
В случае стоячей волны частицы жидкости описывают отрезки прямых линяй, наклоненных к горизонту под разными углами. г Волновые движения жидкости $1.13 еид; а Удв(р" ~ дх' + а,~)~ =О, О»В ю= ~ус д»+ —. .Р (1. 153) (1.149) Скорость (1.152) распространения волны »Гйо» с= (т — +— Р (1.154) гм з/Я г гы б д лт а) лт д') В случае двух потоков идеальных жидкостей, имеющих горизонтальную границу раздела и неограниченно простирав)шихся в вертикальном напранленвн, для каждого потока справедливо уравнение (1.!42), а условия на границе раздела приобретают где и — скорость поступательного движения потока; ф — потенциал скоростей возмущенного движения; р — плотность жидкости; индекс «"» — верхняя фаза, «'»вЂ” нижняя фаза.
Скорость прогрессивной волны длины )., Распространяющейся по границе раздела таких потоков, определяется соотношением Р" на+Р'и' Р" + Р' дЛ (Р' — Ра) 2 а а 2Л (Р' + Р") (Р' + Ре) (1.160) В системе координат, движущейся со скоростью нижнего потока и', в формуле (1.150) надо положить и' = О. (ЛЗ.З. КДПНЛЛЯРНЫЕ и ндпнлляРно-ГРАВитлционные ВОлны При возмущении горизонтальной поверхности раздела фаз давления в соприкасающихся фазах отличаются в соответствии с формулой (!А29) иа величину 2ОН, где Н вЂ средн кривизна поверхности жидкости. Для плоских движений и волн малой амплитуды 2Н»м др» )дкв.
На поверхности' жидкости (если пренебречь плотностью газа) О )дв» ) + а» = — ! — ) . (1. 161) Р (, дкв)~ с Уравнению Лапласа (!.!42) и условиям (!.!51) для бесконечно глубокой жидкости удовлетворяет стоячая волна с потенци- аламн ф! = — А! е соз»х соз еус!. йс срв = — Ав е *з!п»ха!и ют Ее и прогрессивная волна, потенциал которой !р = — Ае соз (»х — юс) . аа Уравнение прогрессивной волны: А» » = — а!п (»х — ык). (1.152) И Второму нз условий (1,!51) как для стоячей, так и для прогрессивной волны отвечает круговая частота Если длина волны Х СЬ, где Ь =3~ (у)йр — капвллярная постоянная (цри нулевой плотности газовой фазы), то имеем чисто калиллярные волны, для которых ю ма» 1'О(г»)'р! (1.
153а) .-!' ~7Р =)'М ~!2Ц. О.П(! Для Хл Ь имеем чисто гравитационные волны, круговая частота и фазовая скорость которых определяется формулами (1.145а)зи (1.!48а) соответственно. Скорость распространения капнллярногравитациоиных волн при »еа = 1' йр(О, т. е. при Х„, = 2пЬ, принимает минимальное значение с„ = У2 )' йо/р (1.165) Занисимость (1.154) представлена на ряс. 1.88, а, где показаны также асимптоты (1.!54а) и (1.148а) для чисто капиллярных н чисто гравитационных волн. В канале конечной глубины И, круговая частота капиллярно-гравитационных волн определяется соотношением ю = 1 (8»+ — 1 1))»Не, (1.158) Р l Рнс.
!.88. Зависимость фазовой скорости от длины волны. а — в бесконечно глубоком какаае. ), У вЂ” расчет по ураввевквм (!.4аа) к (!.В4а) соответствеввш б — в казаке гаубвкоа ив Механика жидкости и газа Равд. 1 94 а скорость прогрессивной волны с = ~/ ~ — + — ) !)/йН« . (1.157) . //й ай! р! 1лзл. волны конвчнои Амплитуды При исследовании волн конечной амплитуды решение сложной гидродинамической задачи с нелинейными граничными условиями обычно представляется в виде бесконечных рядов, доказательство сходимости и построения которых требуют большой вычислительной работы.
Приближенные и точные методы решения задачи о волнах конечной амплитуды рассмотрены в (4Ц. Если при анализе ограничиться третьими степенями амплитуды гравитационной волны а, то уравнение поверхности жидкости бесконечной глубины будет иметь вид: 1 2 = а оса йх + — аз й соз 2йх+ 2 3 + аз йз соз зйх. 8 Скорость распространения такой волны, в отличие от волн бесконечно малой амплитуды — формула (1.148а), — зависит от амплитуды: ф, / 4из аз! с* = — !11+ — ~ . (1. 158) 2 '1 Л Удержание членов с более высокими степенями амплитуды приводит к более точным уравнению поверхности и выражению для скорости волны.
Гравитационные волны кояечной амплитуды имеют несимметричные отклонения вверх и вниз относительно нулевого уровня: возвышение имеет ббльшую высоту, чем понижение, но меньшую ширину. В прикладном отношении важным является понятие уединенной волям [4Ц вЂ” отдельного возвышения поверхности жидкости, которое распространяется с постоянной скоростью но поверхности канала конечной глубины. В канале глубиной Не уравнение уединенной волны имеет вид: 23 За (" -)-1 2 = На + а зесй (1.159) Минимальное значение скорости достигается при длине волны ).,„> 3 .
В области капиллярных волн формула (1.157) переходит в (1.154а) для скорости капиллярных волн на поверхности бассейна неограниченной глубины. Для больших длин волн (гравитационные волны) скорость волны с = Р цНе ° (1.157а) Вид зависимости (!.!57) показан на рнс. 1.88, б. Гребень уединенной волны возвышается над уровнем жидкости на величину а, которую можно принять за амплитуду волны. Скорость распространения уединенной волны 1 а 1 с —..)У8Н» (!+ — — ~ (!.!60) Нз оказывается больше, чем предельная скорость распространения волны бесконечно малой амплитуды, причем она увеличивается с остом амплитуды.
ля капиллярных волн конечной амплитуды получено полное решение гидродинамической задачи в элементарных функциях (4Ц. Скорость распространения таких волн з со (1.16!) оказывается меньше скорости сз бесконечно малых волн, определяемой формулой (1.154а) . 1.1з.з. ниустоичиВОсть ГРАницы РАЗДЕЛА ДВУХ ФАЗ В рамках весьма сложной и далеко не завершенной теории гидродинамической устойчивости для газожндкостиых систем важное значение имеют две задачи об устойчивости границы раздела фаэ, решаемые методамн линейной теории идеальной жидкости. Малому возмуцгению горизонтальной границы раздела двух жидкостей, заданному в ваде прогрессивной волны й = а з!п(йх — ют), отвечает круговая частота капнллярно-гравитационных волн (!.!62) Эта формула обобщает результаты (!.153) на случай, когда плотностью второй фазы р" пренебречь нельзя.
Так как обычно Р'~р«, то формулы (!353) и (1.162) по су/цеству тождественны. С другой стороны, результат (1.162) должен быть справедлив и для случая, когда фазы «поменялись местами» вЂ” тяжелая фаза находится над легкой. Если при этом сохранить за плотностью тялгелой фазы обозначение р', то формула для круговой частоты примет вид: й' о йя (р — р') юз = — „, (1. 162а) р'+ р" р'+ р" отсюда следует, что прн определенном значении волнового числа й круговая частота выражается мнимым числом.
Это означает, что амплитуда первоначально наложенного волнового движения должна зкспоненциально возрастать во времени, т.е. граница раздела фаз в этом случае неустойчива. Та- Движение одиночных капель и пузырьков $1.14 95 Рис. 1.89. Зависимость круговой частоты от безразмерной длины волны ! — н»йтряльяяя уссойчиьость; 11 — я«уотойчяьость Тейлор«. кая неустойчивость носит название неусгойчиаосги Тейлора, Зависимость круговой частоты от длины волны согласно формуле (1.162а) представлена на рис. 1.89 в безразмерных величинах МЬ Л= —, Ь 4 / 1Г оу (Р' — Р" ) (рс + р»)2 где Ь вЂ” капнллярная постоянная, определяемая формулой (1.132). Критическая длина волны Л„прн которой наступает неустойчивость Тейлора, определяется из условия ют = О и равна: Л„ = 2пЬ. (!.163) Максимально быстрому нарастанию амплитуды во.тн отвечает «наиболее опаснал» длина залпы неусгойчизосги Тейлора Л»» —— — 2п )с 3 Ь.
(!.164) Опытным путем подтверждается, что соотношения линейной теории хорошо описывают начальный этап развития неустойчивости Тейлора в «перевернутой» двухфазной системе. Результаты анализа неустойчивости Тейлора важны при изучении пленочного кипения жидкостей. Неустойчивость границы раздела фаз возникает и при оцраделенной скорости их относительного движения (/~Р. Для случая, когда скорость относительного движения верхней фазы равна (/о (нижняя фаза с плотностью р' неподвижна), при учете влияния поверхностного натяжения выражение (1.150) для фазовой скорости прогрессивной волны приобретает вид: Р" ие с= Р'+ Р" Р (/2 )2!/о .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
