Григорьев В.А., Зорина В.М. - Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент. Справочник (1982) (1062114), страница 21
Текст из файла (страница 21)
127) и+1 Уравнениями (1.125) — (1.12?) описываются два семейства эпициклоид, которые являются изображениями характеристик в плоскости годографа скорости. Эти два семейства образуют диаграмму характеристик (рис. 1.67), которую удобно использовать для графоаналитического расчета плоских сверхзвуковых потоков. Используя (1.122) и (1.124), можно показат)» что характеристики 1-го семейства в плоскости течения нормальны к характеристикам (эпициклоидам) 2-го семейства в соответствующих точках плоскости годографа, а характеристики 2-го семейства ортогональны эпициклондам 1-го семейства. В плоскости годографа все сверхзвуковые потоки изображаются в кольцевой области а.(и С р (н+ 1)7(н — 1)а.
или 1(7 ()Г()«+1)/(~ — 1). В этой кольцевой области вдоль радиусов сохраняется постоянное значение угла О наклона вектора скорости к оси х, а вдоль концентрических окружностей — постоянное значение модуля скорости и. Как следует из формулы (1.126), на окружности с радиусом >)= 1 О=С, т. е.
постоянная С есть начальное значение угла О. В графоаналитическом способе расчета плоских сверхзвуковых течений используется диаграмма характеристик [52>, нанесенных в секторе с центральным углом 70' (рис. 1.67) между окружностями с радиуса- )-) )-Ъ) +'))) )).
) ге) ней окружности нанесены начальные значения угла О в градусах. Каждая точка поля диаграммы обозначается двумя числами а и Ь, первое из которых выражает начальное значение угла 0 для характеристики, ид>щей через данную точку вниз, а второе — для характеристики, идущей вверх Тогда вдоль окружностей й=сопз1 Д)=а — Ь=сопз1, а угол 0 определится равенством 0 = 0,5 (а+ Ь) . Существуют и другие способы нумерации характеристик [23, 45). С помощью характеристик мог>т решаться любые задачи расчета плоских потенциальных сверхзвуковых потоков.
Основными в таких расчетах являются три элементарные задачи об отыскании параметров потока в некоторой точке С по заданным Ллоские и осесияметричные течения $ 1.1 ! Рис. 1.67, Расчетная диаграмма характеристик в плоскости годографа скорости. значениям скорости в близких к ней точках. Задача «аз. Заддны скорости пл(илм илэ) и пз(иэм ивэ) соответственно а точках А й В, не лежащих на одной характеристике. Необходимо найти скорость в точке С, лежащей на пересечении характеристик разных семейств, выходящих из точек А и В (рис.
1.68, а). Р е ш е н и е. Согласно (1.122) можно найти направления характеристик разных семейств, аыходящих из точек А и В. Проведем отрезки в этих направлениях до пересечения в точке С (для этого построения существует также графический прием (23]). Поскольку скорости нл и пв известны, то в плоскости годографа определятся точки А' и В', которые являются концами некто- ров нл н пэ.
Перемещению вдоль отрезка характеристики АС в плоскости течения соответствует перемещение по эпициклоиде А'С' а плоскости годографа, и характеристике ВС соответствует отрезок эпициклоиды В'С'. Следовательно, имея диаграмму эпицнклоид, можно найти точку С', которая и определит вектор пс скорости в точке С Задача «бэ. Задана скорость пл в точке А, лежащей на характеристике (например, 2-го семейства). Найти скорость и точке С, являющейся пересечением характеристики другого семейства (например, 1.го), выходящей из А, и твердой стенки заданной конфигурация (рис.
1.68, б). Р е ш е н и е. Так как известна скорость пл, то известна соответствующая точка А' Равд. 1 Механика жидкости и еаза 80 а) Рис. 1.68. Схемы к графическому решению элементарных задач методом характеристик. в плоскости годографа. Перемещеняю вдоль характерястики АС соответствует перемещение по эпнциклоиде соответствующего семейства, выходящей из А'. Поскольку твердая грайнца является линией тока, то в точке С известно направление вектора скорости ис.
Проводя луч ОС' по направлению касательной к границе в точке С (до пересечения с зпициклоидой, проходящей через точку А'), найдем вектор по. Задача «вж Заданы скорости в точках А и М (и* и им), лежащих иа одной характеристике (напрямер, 2-го семейства), пересекающей свободную границу (р сопМ). Найти скорость в точке С, являющейся пересечением характеристнкй другого семейства (например, 1-го), выходящей из точки М, и свободной границы, а также найти форму границы на участке АС. Решение. Так как вдоль свободной граинцы давление постоянно, то согласно уравнению Бернулли постоянен и модуль вектора скорости. Проведем из точки А прямую в направлении вектора ил, а нз точки М вЂ” характеристику 1-го семейства до пересечения этих линий в точке С (рис.
1.68, з), Отрезок АС принимаем за участок искомой свободяой границы. Чтобы найти скорость в точке С, учтем, что в плоскости годографа скорости участку характеристики АМ соответствует отрезок зпяцнклоиды 2-го семейства АМ', на которой положение точек А' и М' определяется заданными векторами ил и иы.
Отрезку ха- рактеристикн МС соответствует участок эпицяклоиды 1-го семейства М'С', причем точка С' должна лежать на окружности радиусом (ил(, так как модули скоростей в точках А и С одинаковы. Поэтому точка С' найдется как пересечение эпицнклоиды 1-го семейства, проходящей через точку М', н указанной окружности. Используя приведенные схемы решения основных элементарных задач, можно решить следующие типовые задачи, которые, в свою очередь, позволят рассчитать любой плоский сверхзвуковой поток.
Задача 1. По известным значениям скоростей в точках дуги АВ, не являющейся характеристикой, на4ти поле скоростей в области, ограниченной дугой АВ н характеристиками разных семейств, выходящими из точек А и В (рнс. 1.69, а). Решение. Дугу АВ разбиваем наряд малых участков точками ши ела.... Для каждой пары точек Агни шдяз... решаем элементарную задачу «аэ, рассмотренную вьппе, в результате чего получаем ряд точек ни лз ..., в которых определены значения скорости.
Принимая эти точки за исходные, повторяем расчет, в результате которого определяем скорости в ряду точек ри рз. и т. д., вплоть до заполнения всей области АВС. Граничные характерястнкн АС и ВС определяются в процессе расчета. Задача 2.
По заданным значениям скоростей иа двух пересекающихся характе. ристнках АВ и АС найти поле скоростей в области, ограниченной этими характеристиками и деумя другими, выходящими из точек В и С (рис. 1.69, б). Р е ш е и и е. Заданные характеристики разбиваем на ряд малых участков Ашь т,тз, ..., Аль илз .'.. Для пары точек и, и щ, решаем элементарную задачу са», в результате чего отыскиваем скорость в точке рь Затем решаем задачу «аь для пары то- Рнс. 1.69.
Типовые задачи расчета плоского сверхзвукового потока методом характеристик. 4 1,11 Плоские и осесцмиггричиыл течения чек р,п)в и т. д., в результате чего определяем скорости в ряду точек рв, р» ..., затем переходим к следующему ряду и т. д.
Задача 3. Значения скорости заданы на дуге АВ характеристики (например, 2-го семейства), пересекающейся с твердой границей в точке А. Необходимо найти поле скоростей в области АВС, ограниченной характеристикой АВ, твердой границей и хаактернстикой другого (в данном случае -го) семейства, проходящей через точку В (рнс.
1.б9, а). Решение. Разбив дугу АВ на ряд участков точками ть тв ..., решаем задачу «б» для пары точек Ати а для пары точек и) тв — задачу «а». Отыскав положение точки п«н значение скорости в пей, решаем задачу «а» для пары ивт» и т. д. Пряняв ряд точек пь ив ... за исходный, повторяем расчет вплоть до заполнения области АВС. Задача 4. Значения скоростей заданы вдоль дуги АВ характеристики (например, 2-го семейства), причем известно, что точка А лежит на свободной границе (р=сопз().
Необходимо найти поле скоростей в области АВС, образованной дугой АВ, свободной границей АС и характеристикой (в данном случае 1-го семейства) ВС, проходящей через точку В. В ходе расчета должна быть определена форма свободной границы А (рис. 1.69, г). Решение. После деления дуги АВ на участки Ать т1тв ... решаем задачу «в» для пары точек Ат), а для пары точек л,т,— задачу «а», в результате чего определим положение точки ив н скорость в ией. Затем решаем задачу «а» для пары лвтв и т. д. Приняв ряд точек иь пв ... за исходный, повторяем расчет вплоть до заполнения областя АВС.
).Н.з. и остыв волны. свегхзвуковые течения в кгнволниенных плоских КАНАЛАХ При обтекании цилиндрических тел равномерным в бесконечности сверхзвуковым потенциальным потоком он переходит в неравномерный поток с криволинейными характеристиками, который называют течением общего вида. Сопряжение равномерного потока с течением общего вида осуществляется через ограниченные области, в которых одно из семейств характеристик является семейством прямых. Такие течения называются прост»или галлами Расчет поля скоростей в простой волне может быть осуществлен методом характеристик с упрощениями, вытекающими нз прямолинейности одного из семейств характеристик. При обтекании выпуклой хриволннейной стенки (рис.
1.70, а) образуется простая волна расширения, в которой поток ускоряется. Пря обтекании вогнутой стенки возникает простая волна сжатия, в которой патах тормозится (рис. 1.70, 6). Если кривизна вогнутой стенки достаточна, то пряй — 773 Рнс. 1.70.
Простые волны в сверхзвуковом потоке. о — простая волна рвсшяреяпя (пвР)) б — простая волна сжатия (ПВС): ф— скачок уплотяв. пяя. Рис. 1.71. Простая центрированная волна (течение Прандтля †Майе). молииейные линии возмущения могут смыкаться и в результате наложения малых воамущений образуется конечный разрыв, т. е. косой скачок уплотнения.
В пределе, если хриволннейнын участок стенки вырождается в точку взлома, образуется плоски() косой скачок уплотнении. При обтекании равномерным потоком внешнего тупого угла (рис. 1.71) образуется простая цглгрироеалния волна (ПЦВ), илн течение Прандтля †Майе. Для зтого течення уравнения движения газа допускают точное решение (см. [5, 23)), которое дает для проекций скорости в полярных координатах следующие зависимости: иг = а«з(п — (з+С) и, = а с(м — (в+С) где з — полярный угол, отсчитываемый по часовой стрелке от нормали к вектору скоростн невозмушепного потока (рнс. 1.71) до линии возмущения; С в постоянная: — нгс(3)г М',-1; Равд.
1 Механика жидкости и газа Ри И Н Рис, 1.72. Сверхзвуковое течение в плоском криволинейном канале, здесь М, — число Маха для иевозмущенного потока. Максимально возможное значение угла е составляет: что при х= 1,4 дает ея с =219'30'. Комбинируя частные виды течений и используя решения рассмотренных в $1.1!.5 типовых задач, можно построить поле скоростей и определить другие параметры сверхзвукового потока в плоских каналах произвольной формы, в свободной сверхзвуковой струе и т.
п. П р и и е р 1. Пусть равномерный сверхзвуковой поток втекает в плоский канал с криволинейными стенками (рис. 1.72). Допустим, что скачков уплотнения в канале не образуется. Для расчета поля скоростей учтем, что такой поток граничит с двумя простыми волнами: простой волной сжатия (ПВС) и простой волной расширения (ПВР), каждая из которых отделяется от равномерного потока прямолинейными характеристиками ВС и АС соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
