Слюсарев Г.Г. - Расчет оптических систем (1975) (1060808), страница 82
Текст из файла (страница 82)
ного зеркала в следующем виде: 55 -+ — ""'"'"'- — ': э э гИ' = —. амж! а' 1171.55) На рпс. Ч).37 была изображена фигура рассеяния на бесконечности, образуемая светящейся точкой 3, находящейся в фокзльной плоскости параболондального зеркала на расстоянии ! от осв в меридианалыгой плоскости. Зте фигура построена на основании формул гЧ1.52)! Р'=- '1г+"'.".
а ам вт 7'= — 2 (! -1- е) (Ч).57) где и .—. —; безрезмеряые величимы Р' и 7' равны Р' = Р'~-! а' 7' = 7' -Р-; отношение — предеолагаетгя величиной 1-го порядка ! ' л малости, квадратом котоРой можТаааена Ч!.а но пренебречь. ' й "вы и Из рве.Ч1.37 видно,чтопомере увеличения и радиусы окружи ь восгей и ординагы их центров стремятся к нулю 1табл Ч1.5).
Каустииш образуемая иа бес. конечности аучами, нсходещнмя о!а Ода мэ светя!цейся точки н отражен. ! о,зт о,оа нммя от иарвболондального юрга о,ю о,Оа кала. Каустикэ препставляет со. бой огибающую семейства окружностей, показанного иа рис. Ч1.37. Для упрощения вычислений вво. дим новые переменные б =- -у-, е -5- н т = ! .т и. Тогда 1Ч1.57) примет вид Ь,+ —,', = — *' ~йр! а — ! с= — — а!п 2!у. м <Ч).53) Исключвем 9 нз втой системы уравнений: ( <)» л (» — <! откуда »' (Ь» + с») + (2Ь вЂ” 1) х + 2 = О. (Ч1.59) По обычным дли отысканяя огибающей правилам днфференпнруем это уравнение ~а х» 3»' (Ь' + с') -(- 2Ь вЂ” ! = О, (Ч1.59') Исключая нэ последних двух уравнений переменную х, получаем с= Ю '<у (=) — Ь'= Р ! — 85, (Ч!.60) уг хь — !» ьф! з ) зУз или <ь+ ц»(! — ю! »7 (Ч(60») При этом, умиыкэл уравн ние (Ч1.59*) иа»<3 и вмчитая реэуль- з тат иэ (Ч1,59), имеем х =- —.
Другое вмражеине для» получим, замечая, по в уравнении (Ч1.59) второй член равен — 3, откуда гт(Ь' + с») = 1, кли * = , ! ;гь. +„ При — Ь ) 1 р получает мнимые значения. Коордянаты Ь п с каустической кривой приведены ниже.
Найдем теперь кривую, на иоторой расположены все влемеиты отражателя, посылающие свет иа каустику. Исключив Ь, с и х иэ уравнений (Ч1.58) и (Ч1.60), получим уравнение кривой в виде 1 — и ф 2 соь 29 = О, (Ч1.61) р Р'1-(-йсо»2»р. (Ч1.61 ) Кривая 1 па рис. ЧИ(5 является графиком функпни (Ч(.61*). Точки отражателя, лежащие вне этой кривой, посылают с»мт в область, ограниченную каустикай, точно так же, как и точки, лежащие внутри кривой. Зи г.
г. с и»» »вг Выраающю вля вюаюитвриой силы света при точечиом источияке. Перейжм к вопросу о распределении света в пучке, отражеииом, от зеркала. Пуюь в фоквльиой плоскости отравителя на расстояияи Е от оптической оси его находится излучающий злемеитА (рис. Р 6 46)! Сила свесе прожектора по выбранпому иаправлепию определяется очевидно, как сумма сил света ю:ех элементов прожекториого зеркала, ююмлэющих свет по епжу направлению.
Предпологкпм, что элемент В зеркала огрвжмг сваг как раз в выбраииом изми направлении с координатами у и 6. и Сила света 6 ( етого элемента определяется, как изэестио, вы. хгг! ражеияем: 6( = мр.. (Ч1.62) бх 4гюе е Рис. Чглз Р с. Щ.4а С точжютью до множителя, характеризующего потеря при отражении, можио написать бр = В соз ебабП, (Ч(.66) где  — яркость излучающего злемеита по иаправаеиюо АВ; бп — величина излучающей площадки; 6П вЂ” угол, под коюрым видел злемеит В зеркала яз точки А; е — угол, составляемый иормалью к излучающему элементу с иаправлепием АВ.
Будем полагать, что элемент А явлнетсл часюю излучающей пдоскости, совпадающей с фокалзяой плоскосгъю отражателя; тогда з является также углом между лучом АВ и оптической осью. Обычяое определеине злемевтариого телесного угла дает (71.64) гхп 68 — площадь елемеита яа зеркале; ! — угол, состявляемый иормвлью к элементу зеркюж с лучом АВ;  — расстояние от излучающего алемеита А до элемента зеркала В.
4тв Введем в равенство ()г!.64) вместо плошала 66 элемента еер. кала проекыяю бэ его яа плосшювь, перневдпкуляркую к асн отражателя. В силу прнблыженного равенсша углов р ы (, где р — угол между нормалью к влемеату В эерыала ы оптической осью, можно написать Подставив по выражение для бэ в равеяство (т!.64), получнм щ Ю = -В»-.
Отсюда для ЬР будем кметь бр = Всоэебайг. щ (Ч!.66) Подставив ()г!.66) в равенспю (т!.62~, определяющее эле. ментарную снлу света, ы эаменпв в нем ЬП численным вначенпем праыэведеыип 66' в бу', е б» чпслеппым вне всписм дшдМ, палучым Но для ))* имеем выражение Ве — др — = (! -'г рв)в Ьвв ! вв)в Для сове легко получнть прыблнвкеннсе равенство ! — э» сава=)+~. С помощью етых выражений после переходе к полярным каор.
щшатам и переменным Ь н с находнм 4лде ~~ — э)р ~ фф! гдв ув= — ° И л Опрежяепне ведюшны атыашення ф~- в выражеыны щш эаемеытаряой сплю света сводится, очевндно, к вычнсаенню вначепня функпыонального определителя А, соответствующего переходу от переменных р, р к переменным Ь, с. ' Найдем выражение б )дв т! да д» (У(,6У) Пользужь выражениями (Ч!.52) и определеяищ| величии Ь н с, получаем: + азб — рэ)1 аэ го ме ге т Палставляя этн выражения в равенство (Ч1.67), имеем из=с вмв (г ю р')* Множитель, стоящий в скалках числителя, есть ие что иное, как левая часть уравнения (Ч1.6!). После подстановки выражения для 8' в (Ч!,66) получим окон. чательно а- — ыгь.сг (Ч1.68) 'я ! — р' Ч-гсегге ' Бтнм выражением удобнее пользоваться, если за переменную взять г =:! .1- рй Определим нз уравнения (Ч!.68) сов 29 через г; соа 29= —.
за+( ! — г После подсщнавки в выражение (Ч(.68) найдем пзз г (г — г) (Ч!.69) = т) О(-ть+() — з) С помощью выражений (Ч!.68), (Ч(.69) для случая точечного источника по давным координатам р и р элемента отражателя легко определить силу света в направления пучка. Гораздо интереснее обратная вздача, для направления, заданного Зна. ченнями координат Ь и с, определять силу света по этому направлению. Для этого нужно вычислить р и р, соответствующие выбраняым значениям Ь н с. Эта задача сводится к ремению уравнения (Ч(.69) относительно г.
Подставив найденное значение г в выражение (Ч!.69) для 61, найдем элементарную силу света оо направлению Ь, с. Распредеиенке энергии в фигуре рассеяния в случае точечного источника. Выберем внутри фигуры рассеяния некоторую точку Р. Найдем силу своа злементарного потока, попадающего в точку Р. Будем определять в дзльиейюем положение точки Р полярными координатами а и щ где а — радиус, проведенный нз точки О фигуры рассеяния, лежащей на оптической оси, а 9 — угол, составляемый им с меридионэльной плоскостью. Очевидно, что Ь -. а соь р; с = а э!и 9; аг Ьг + сз, Как мы уже видели, определение силы света в направлении иа точку (а, р) осиовывается на решении уравненая (Ъ'1 59).
Нетрудно доказать, что ери всех возможных зиачеиннх Ь к с все три нория етого уравнении будут вещественные. Для решения уравнения воспользуемся выражением корней кубического уравнения в тригонометрической форме г 2 г'г соз — 5-' —, й 0; 1; 2, г ) -1- Иьг где е ф определяется из условия ! сов 9 а Можно реша~ь ш г урзвкенне гешке методам последовательных ириближений, Зная г, легко найти злемеитарные силы света; прк атом принимать во внимание нужно только положительные зиаченя» корней, большие едепнцы, Тачки, для которых лелались вычисления, равномерно распрепелены внутри фигуры рассвявия! значения а нзменялнсь черве 0,1 от 1 до 0,1; ка дуге, соответствующей каждому выбранному анвчекию а, вычислялось несколько равномерно распределенных точек, ндущвх через равные иншрвалы р от 0 до т,, где ре — значение В для точки, лежащей ка каустнке.
Нетрудно доказать, что точкам ие каустике соответствует корень двойной кратности уравнения (91.59). Действштлько, соотношение, которому должны удовлегнорять козффициенты кубического,уравнения для того, чтобы уравнение имело корень двойшгй кратности, имеет в нашем случае вид л' — — ~ — --О. ( — ть 1- !)г На зто ие что ияое, как равенство (91.59"), кшорому, удовлетворяют коордниаты точек каустнки. Из уравнений (У1.50'), (Ч1.51) может быть найдено выражение для определения аначений р йп соответствующих точкам на каустякег 3 ы — ! соа 9 — д- —. Самый корень двойной кратиостн, как была показзпа выше, определяется формулой ! 3 (гй ! — Б' Твбсбва Чт,б тч венбнебип снвсствБвпб свен сбиа я 3,.1- +л', тюн 3 34' 37 1МВ 1.ИЕ ндв !ои ы.н Ю,тс Ю,ЕО 1.1М 1,ею П,О Б.е ° !в и" В 24' 31 В' 32' 41' 12' 49' 31 !ЛИ 1,120 !240 1.707 1,23В 1.<29 1.
° !а 1.403 <лвт 1.ИВ З.ю 9.20 З.Ю <.05 !.еп 9,20 т,те 5.М БИ в,в! 9.25 13,19 Н,34 °,32 °,74 Б,Н <,те 5,43 вда в,т е,в 3 33'63" !'и ю 1 Н 33 т'23 и В.Н Ю ° Он В! 3 !ОН" 6 <9' 31" с. зв н тетю" 7' и 01 !' М' Н 2 и<9 В Н'23 тнн В Вт Ю Н'и 20- 12' 42' В!" Н 13 13 Ь Н'0< и ЗВ 60 Ю Нте" !.07В 1.НВ !.Мв 1,НВ <,ОБВ 1,ОВ8 1. 36 1,391 <,оев 1,! и 1,113 1.ЮВ !.<вп тдт< т,юс 1,Ю7 1,13О 1.!М 1.194 !лев 1.216 1ДВО !.не 1.Ю< !.$!а 1,103 !.Он !Два ! Я<49 1,241 т,нв 1.242 ,2 В 1,Ю8 !лет 1,Л9 1.236 1,!93 1.!33 1.Н1 1, 633 !.04$ 1,363 !.вн !.343 !.ЕОО т,нв 1.591 1.ИВ т,ис 1,603 1,403 4лб <.40 2.33 в,ю В,ев З,Н 6,87 о.в< т,ет 3.86 Н.вв 2.22 2.32 с.н 2,19 2.43 2ви з,вт 3.14' 2,02 Бтв 3,15 е,тс 3,31 0,00 ° ,01 °,13 ° дв влз 6.06 тде 10,2< Б.вз оли о.н 3.33 0,92 а,н ! .33 <,ю 1 33 1.33 9.12 вдт в,н 3,64 БДЗ 3.89 9.!3 Вдт ю,и Ч 1,67 13,02 13.39 21.36 4.!б 3.17 БДБ 2.85 8.47 В.ве в.и 1,23 <дв .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
