Слюсарев Г.Г. - Расчет оптических систем (1975) (1060808), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Это дает для Ьз и Ь выражения: ,— « -с [ ~ йо-~ * э+в ь [ | т[; ~ Ь = — (л — 1)емылф(юсозф -[-и). (1Ч.34) Следующая задача состоит в определении изменений координат пересечения с плоскостью установки отраженного от сферического зеркала луча, Для решения ее рассмотрим некоторые полезные свойства отраженных от сферическшз поверхности пучков. Пусть РР' (рис. 1Ч.!8) — плоскость, перпендикулярная осн и прохолящая через центр С сферы. Рассмотрим луч АТ, падающий справа натево ва зеркало, параллельно оси, и пересекаю. щий его в точке Т.
Если иэ тики А исходит бесконечно тонкий пучок,то его сагиттальный фояус находится вточкеА;в плоскости РР',поскольку сферу можно рассматривать квк по- з г лучен нум вращением окружности ТэТ вокруг оси А;СА. (Можно эта доказать и с помощью формулм Юнга г, 7; —; -[- — = —, помня, что норюыь к сфере в точке Т проходит через центр С.) фокус тангенциальных (мерндиональных) лучей находится в точкедй расстояние до ното. рой от точки Т равно т. Это также нытекаег из формулы Юнга 1 ! 2 †.
+ — =- — для мерндиональных лучей. Г гсоы Отметим еще следующве свойства изображений точки А. Для точек, лежащих в плоскости, проходнщей через центр сферы, козффициент сферичсско[Т аберрации З.го порядка 5, равен г Лате нулю, так как Р =( — ) Ьат О.
Коэффициент 5« комы при ) зт) бесяаиечио удаленном входном зрачке (АТ параллельно оси) определяется формулой 5п = рР— ЛР, где У = — р, так как АТ г аи т параллельно оси. Но %' = ( — ) (Ьмт) =О, так что 5« = О. Лишь -(зт! третья сумма 5ш, определяющая астигматизм, отлична от вул», так ка» 5щ = и'Р— 22уйт+ лэЬат = и'(Р -1- 2)Р -[- 2) 22'. зщ Поскольку первые две «укмЧы равны нулю, пучок, исходящий из точки А, дзже при сравнительно большой апертуре сходится точно в точке А; дл» сагиттальных лучей н в точие А,' для меридиаиальныя. Этим свойством удобно пользоваться при вычи.
еленин координат точки пересечения А; с плоскостью РСР' любого луча, исходящего из точки А и образующего не слишком большой угол с направлением сои. В частности, лучи, лежащие в меридиоиальиой плоскости ОСА, образу!ощие с прямой ЛТ небольшой угол, после отражения проходят через точку А;, причем ТА) = ТЛ. Лучи, исхоляшие из тачки А, лежащие в сзгиттальиой плосюхти, проходящей червя ЛТ, после отражения проходят через точку Л; и легко рассчитать координату з точки их пересечения с любой плоскостью, перпендикулярной сои. йнчВВВВВВ мззуймввт !Мчав щуввзчавмв Втувнввавга ЯУчв в ававмвв!ы азвврвмвмай Предположим, что луч ЛЛП лежащий в плосиссти чертежа (рис. 1Ч.)9), образующий с осью угол и и пересекающий центральную плоскость РР' в точке Л, после отрав!ения от сферичес.
кой поверхности в тачке М пересекает плоскость РР' в точке А'. йычислим ординату у' точки В пересечения отраженного луча с плоскостью изображений, про. ходящей через точиу 5,', отстоящую от вершины зеркала 0 на рзс. стоянии а! = Обз Легко видеть нз рисунКа, что М = -й + ЭзС 12 и . Рис. Чч.!Я Но й'= — = — Л, . Отрезок ЭзС г — за = — -, 'Л, г зш ! сы са! соти' ' 2 где Ь вЂ” ' малая величина, равная — — юу всегда отрицательная. з Сяедовательпо, — ь 1! — я ) ч- ( я +л) з!а р сии Иыеем и' .= и — 2г, илн мп и' = мп и саз 2! — соз имя 2! = а = и (1 — 2з)п*!) — 2бп г(1 — з!пз!)ги = и (1 — 2з1п'!) + 2 — сов и х х(1 —,! =и(1 — 2шп'!) 1-2 —,(! — — )(1 — — —,— — х а ! ь Ча " зза Итак, у'соти'=д [ — — (! + — ) ( — + б — + ууд.+ ...)1+ +( —,' ИЬ)и()-2 — ",*)— (Пг. Зб) Следует помнить, что положительное гг при принятом построении рисунка, соответствует отрипательному значению этой же величины в прямом ходе луча.
Заметим, что выражение ь« ! — 2 —, =со«2! несьма близко к сов и'; учитывая малость г« угла и', можно написать выражение для у'сохи' в виде у ссаи'=й[ —,— (! -)- —,) ( —, + —,, -'; )1+ + ( —, Ь) иссаиб )пйзба) Предположим теперь, что падаюший на зеркало луч, проходящий через точку А, не лежит в мерндиональной плоскости, а образует с ней малый угол Ь, иоторый и састемах «СуперШмидтэ не превыпшет двух десятков секунд.
Проекпня этого луча на мерилиональную плоскость есть АМ. Согласно доказанному выше, этот луч после отрзженяя проходит через пжку А' (напомним, что яз-зз малости наклона и длины АМ и А Т практнчесии равны), поэтому отклонение бб', вызываемое в плоскости установки наклоном Ь, равно СЗ)Ь.=(-зС+Ь)Ь., шж бб =(з+Ь)Ь.'. (П!.бб) для выяснения влияиая изменения величин Ь и и на коор. дннату у' проднфференпируем уравнение (Пг.бба). Левая часть дает бу' соэ и' + у'б!соз и') = б(у' соа и'). На оптическая система рассчитана таким образом, чтобы у' равнялось нулю; эта величина всегда очень мала Поюому можно писать б)у' соз и) с«м и' бу', следовательно, + — , ""—,'+ " ) бб+ ( —,' +Ь) б .
()у.бба) га г. г. с э Определим зависимость угла и ог высоты й. Пусть иа систему «Супер-Шмидт» падает пучок лучей параллельно осн; обозначим через Ь, рзсстояиве луча от оси. После преломления от меинсковой лнпзы с»ь» нуч образует с осью угол и и пересекает центральную плоскость АСА' на высоте Ь. На основании расчета хода иескольних (трех-че«ырехрлучеа макио установить связь между углом и н высотой Ь н написать формулу и = а —,'-аа' , 'га«+ Исследование нескольких систем типа «Супер-Шмидт» показало, чта вполне достаточную точность для реюення рассмотренного здесь вопроса дают первые два члена. Для удобства пОсле.
з дующих выводов папиюем и ввиде рззложенияи а —.~.Ь х г г а тт Х ( — ), где г — радиус сферического зеркала, Дифференцируя последнее уравнение, палучасм ба=~(а Ьба( — ')'б( — "))" Выведем еще несколько полезных формул, Определям зависимость высоты пересечения Ь от ваклона ы плоскости зрачна н рзпнус-вектора р злемеига клика. Луч в пло. скости, составляющей угол ф с меридианальной, пересекает центральную плоскость в точке А на расстоянии й от аси н образует с осью угол и, определяемый ридом и = а ( —,)«+ ах lзт »Ь«» х( — ) .
Этот луч должен пройти через злемент клина К, кот ордииаты коюрого х, у, г, причем л= — рмпысаз«р; у=рссеысозчь з регия. Рассмотрим величину й. Она равна й = у уз+ аз= ух х'ггГу — огптюсагя с достаточной точностью можно писать а=Р(1 — 2 "ф) Условие прохожления луча через тачку К можно записать в виде l я й + ки — Ь .=. 0 нлн р (1 — — соз» р)— 2 г«ь ыя» — рмсозя( — + — ) — Ь=О. г зто В атом уравнении член —, вследствие его малости можно зь заменить выражением —, после чете И можно вычислить па ьа« формуле гя а И=р 1- —,нее-ь| —, н Ч 1.(-а — яы«ч Р =р (1 — — созга — (ю (а+ 8.) созе~. (РЧ37) В формуле (1У.З7) можно заменить угол И углом ф, отли. чаюшимся от ф величиной порядка ю' па сравнению с едйннцей.
Зная И, можно вычислить угол и по формуле (!Ч.З8) С помощью формул (1Ч.З7) и (1Ч.38) определяется положение луча, проходящего через злемевт клина, соответствующий радиусу р и углу И. Определвм влвяние поворота ааемента клина ва высоту И. Зеементариый клан, иаходюцийся на пути луча, отклоняет его в плоскости надеина ва угол Ье и на угол Ь„ в сагнттальнам направлении, согласно формулам (1Ч.З4). Поскольку для рассматриваемой здесь задачи не требуется большой точности, можно ограничиться основным членом — (л — 1)з для Ье и пренебречь откланеияем в перпеадикуляриом направлении. Обозначим величину ординаты пжки пересечения муча с центральной плоскостью ЛСЛ' после отклонения клином черю И„. легко проверить, что и„=- ь — хь„= и — (л — 1)рюа сщ р.
Эту поправку можно внести а формулу (1Н.37), наянсав ее в виде и„р (1 — — соат ф — ю с аз р Вл — 1) е -(- и)~ . а 2 Оююда ЬИ= — рюсоаф~нсоаф+(и — 1)е-(-и~. (1Ч37а) ййзррзва визаж йзрйййвз зазуайм «йуаербйи|йуа При определении аберрютий, вызванных наклоном коррекционной пластинки, делаеюя несколько упрощающих арелположеннй, вполне законных, так аак без нх осуществленвя система Шмидта была бы недрнгодяай даже для центра поля. Первое предположение состоят в том, по для иекоюрой зоны, притом жютаточиа юнрокой, орлнната р' в плоскости установки, а также Ж зы ее первая производная па «рваны нулю, без этого вельзя добиться хорошей концентрация световой ввергни; вторая производная по той же причине также должна быть близкой н нулю.
В прввидьнасти этих рассуждений легко убедиться ари расчетах втаб категоряи зеркальна-линзовых систем. Напомним формулу (!Ч,Зба)т усова =«( — ';-(1+Фнш,+вг'+" НФ +(г -(-Л) исаак'. Здесь и' — угол с осью луча, преломленного элементом клива, причем знак этого угла обратный тому, который относился х пря. мому ходу луча; угол и — сумма угла и с осью луча, ныходяжего из меннска, и угла Ьч, причем н последний следует брать с обратным энаном. По приведенным выше соображениям напишем Ьч =- (а — !)е, твк что и = — (а — + Ь вЂ” ) -(- (л — 1) е з а « , ) и формулу ((ЧВба) можно переписать в виде У'оаэи'= ((2 — асана')Ь вЂ” — сони') — -~- аг,! З з +(г+2л)(1 — ьсоэи)вы+(з +ь)(п — !)есози'.
(1чзбб) Здесь саэ й можно привять разным )~У1 — ', где р — ф кус. з! г*' нос расстояние системы, Поскольку «, к «весьма близки, можно з также положить сая и' )г 1 — —,. г' ' Формула (!Ч.З«б) является основной пря расчше системы «Супер-Шмидт». Хотя анз дает менее точный результат, чем расчет хола лучей через систему, но позволяет опрепелить влияние каждою отдельного конструктивного элемента системы (величин а Ь,Ь г,з)иапалежение точки пересеченвя любого лучио поверх-, ностью изображения и в соответствии с этвм ввести те нлн другие нвменення и добиться наилучших результатев. Системы «Супер.Шмидт» бывают нескольких конструкций, от.
аичаюшихся друг ат друга характером изменения угла е. В варианте Ваузрса угол з постоянен, что облегчает изготовление системы. Если принять е переменным, та эта позволит точно соблюсти условне у' О для всех инсат, ко цриведет и слом. иой зсферике коррекционной системы. зтз Рассмотрим полрабиее вариант Баузрса. Исправление сфе. рической аберрации для лучей,близких к асн, здесь невозможно, так как мешжч послелиий член ( — + б) (л — !) е соз и', который ха в нуль ие обращается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
