Заказнов Н.П., Кирюшин С.И., Кузичев В.И. - Теория оптических систем (1060803), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Если рассчитывается ход плоского меридионального пучка лучей, то М, = О, ха = 0 и тогда, обозначив через 1сх = -«'4+дс еж у (см) ° а э - -ду: ч, = з,/1сх; Р, = тауЯх; )с, = 0 (соз90'= 0). ' Советския оптик Н. В. Лебедев сформулировал идеи, положенные в основу атих формул, еще в! 938 т. 128 та Рнс. 98. Схема длх определении иаправлиющнх косинусов луча при ае = О В случае бесконечно удаленного предмета, если известны величины з, т„М, н угловое поле 2оь, определяющие положение луча направляющие косинусы имеют внд: т, = соз оа; р, = соз (90 + щ) = — з1п са; Х, = О.
Конструкция оптической системы задается радиусами крнвнзиы г„г„..., г„, г„„, ..., г, нлн р„р„..., р„, ра„, ..., р, (р = = 1(г), толщннамн 4, ох, ..., с(а, ..., Ич „показателями преломления п„,п„..., а„„лю ва„, „., п,о На рнс. 99 показан ход произвольного луча через Й-ю н Й + 1-ю поверхности, находящиеся друг от друга вдоль осн на расстоянии оа н имеющие соответственно радиусы кривизны гь, га,, Расчет хода любого луча сОстоит нз двух шагов. На первом шаге определяют координаты точки пересечения луча с оптической Рнс. 99.
Схема длн вывода формул расчета хода луча через оптическую поверхность !29 9 заиаааоа Н.,П. поверхностью (напрнмер, Й + 1-й) по известным координатам точки пересечения этого луча с предыдущей поверхностью (й-й) и направляющим косинусам этого луча после й-й поверхности. На втором шаге вычисляют направляющие косинусы луча после й + 1-й поверхности. Как видно на рнс. 99, в каждом пространстве последовательных изображений установлена особая система координатных осей, начало которых совпадает с вершиной оптической поверхности, ась г направлена вдоль оптической оси, ось у — вертикальна и расположена в меридианальной плоскости, а ось х — перпендикулярна к этой плоскости. Формулы для расчета хода лучей выводят, используя выражения аналитической геометрии в векторной форме.
Точка М» пересечения луча С Й-й поверхностью имеет известные координаты гд, уд, хю а сам луч — известные направляющие косинусы чд„, [»»„, »д„. По схемам, приведенным на рис. 99, 100, можно проследить последовательность вывода формул. По известным координатам точки Мд вычисляют вектор Т», вектор О»О»„известен.
По этим двум векторам находят третий вектор М»О»„, . М»О»„= О»О»,, — Т» = Ед. Проведя через точку О»„, нормаль к лучу, определяют положение точки 1. н вектор М»/., длина которого обозначена ед. По вычисленным М»Од+1 н Мд(. определяют вектор а/», квадрат его абсолютного значения [/»' [' = Аад.»1 и проекцию ад,, этого вектора на ось з.
Далее определяют угол у как функцию (а», ч»+ь [ 1Ч» ['. гд.»~) н, используя У», вычисляют вектор /.М»+ь вектор М»М»„и его модуль — так называемую косую толщину Й'» По величинам А» ьь а».ь„г»+1 н ч»+1 предварительно вычисляют угол падения как соз ед„, условно обозначаемый в дальнейшем Ч»», соз зд,» = дд„и на основании закона преломления — величину 9».н = соз е»+ь Па векторам М»М»,» н МдОд„, находят вектор Т»»м что позволяет определить координаты точки встречи луча с й + 1-й поверхностью, т. е.
зддм уд„, хд,, На втором шаге решения используются некоторые промежуточные величины дд,„рд,„равные соответственно Л»~.~ = а;.Ь~ + (и»+1а»+,)/и»+»' Р»ьо = 1/г»+б показатели преломления, координаты точки М»,„известные направляющие косинусы и вычисляются таковые (ч»,», [»»,». »»~») для преломленного луча. Таким образом, получают следующую последовательность формул для расчета хода лучей через оптическую систему, состоящую из сферических поверхностей: 1) ед = — [(㻠— йд) ч„, + у»1»д„+ хд)»,»[; 2) а„„= е»чд„+ (гд — Нд); 3) А»+1 = (㻠— И»)' +у»+ х» — е»,' !30 ч) Рдчд = рда14д+! 2пдчд 5) а.-~р„,Р„,, 8) ~.= ад+а..а(,+Н.,) 7) чы.~ = 1 — (пьет/пьчз) (1 — дЦ.~); 8) йь х = 9ь~.~ — (пьедфьед)!пь з', 9) гь„= (гд — дь) + Еьтд„, 1О) адах = уд Г сздРьчх' 11) ...=х,+а,),„„; 12) уд,з = (пдаъудчхнпдчз — ад.х (гь,трь,ь — 1); 13) )дь,з — — (пд д)дь,з)1пд„ вЂ” дд„Уд„Рд„, 14) Хь+ — †(пд+ Хд~,)/пд, — 8~д, хд,Рд„.
(231) Рис. ! 00. Схема вывоха формул расчета хола луча через оотичесаую поверхиость 9ч 131 Расчет хода луча по приведенным формулам реализован на программируемом микрокалькуляторе (см. программу 1О, прил. 2) н завершается вычислением координат х, уе, хе точки пересечения луча с последней д-й поверхностью и направляющих косинусов вышедшего из системы луча (те„, )веем Хе,г) Если з' — расстояние от последней поверхности до плоскости, в которой оценивается качество изображения, то координаты точки пересечения луча с этой плоскостью могут быть вычислены по формулам У = Ус+ Рч+г(з — хе)/те+6 ( х' = х, + Хе+, (з' — хе)/т„,.
) Расчет хода луча по формулам (231) и 232) реализован также на микрокомпьютере «Электроника 85» (см. прил. 4). Отметим следующие преимущества рассмотренных формул по сравнению с формулами тригонометрического расчета: отсутствие тригонометрических функций; отсутствие переменных, обращающихся в бесконечность; отсутствие формул, приводящих к потере точности; наличие исключающих необходимость повторных вычислений контрольных соотношений: (хв цре„— 1)'+ (увира ц)'+ (хи„ри„)' = 1; и)+~ + р4,ц + 34» ~ = 1. 45. Формулы для расчета хода бесконечно тонких астигматических пучков Бесконечно тонкими пучками лучей называют пучки, лучи которых распространяются под весьма малыми углами друг к другу.
Их называют также элементарными, так как их лучи заполняют в зрачках элементарные площадки. Для осевой предметной точки А (рис. 101) — это параксиальные лучи, которые не нарушают своей гомоцентричности и после оптической системы образуют точечное (стигматическое) изображение Ао. Главный луч осевого бесконечно тонкого пучка проходит через центр кривизны оптической поверхности, и поэтому элементы поверхности в меридиональном лггп и в сагиттальном зз направлениях имеют одинаковые радиусы кривизны г = г,. Если предметная точка В располагается вне оси (рнс.
102), то условия прохождения бесконечно тонких пучков лучей в меридиональной и сагиттальной плоскостях различные. Главный луч, Относительно которого симметрично располагаются остальные Рис. 101. Сбравовеине стн. гиатического нвобраиения 132 Рис. ! 02. Образование астнгматического изображении лучи, в общем случае не проходит через центр кривизны оптической поверхности, поэтому элемент поверхности для этого пучка лучей имеет в направлениях тт и зз различные радиусы кривизны г Ф г,.
Выходящий волновой фронт, соответствующий этому наклонному элементарному пучку, перестает быть сферическим. При этом лучи пучка, расположенные в меридиональной и в сагиттальной плоскостях, пересекаются с главным лучом в различных точках, В' и В;, не совпадающих с идеальным изображением Во. В плоскости изображения, проходящей через точку В' схождения лучей меридионального пучка, лучами сагиттального пучка вместо точки образуется горизонтальный отрезок, а в плоскости изображения.
проходящей через точку В; схождения лучей сагиттального пучка, лучами меридионального пучка образуется вертикальный отрезок. Явление, в результате которого изображение точки получается в виде двух взаимно перпендикулярных прямых отрезков, расположенных в различных плоскостях, называется астигматизмом (неточечностью), а пучок лучей, образующий такое изображение, называют элементарным агтигматичгским. Явление астигматизма в оптических системах нежелательно, так как при этом качество изображения внеосевых точек, образованных даже бесконечно узкими пучками лучей, оказывается низким.
Влияние астигматизма на качество изображения внеосевой точки можно оценить по астигматической разности Ьг,' = = г, — г'. При г,' = г' меридиональный и сагиттальный узкие пучки образуют точечное изображение. Положение изображений точек В' и В; находят путем расчета хода бесконечно тонких астигматических пучков через оптическую систему. На рис. 103 ВМ вЂ” главный луч элементарного наклонного пучка лучей, падающий на сферическую поверхность с радиусом кривизны г из внеосевой точки В. Расстояние от точки М пересечения главного луча с поверхностью до точки В вдоль луча обозначим 1 .
Чтобы образовать элементарный пучок в меридиональной плоскости, возьмем бесконечно близкий луч ВМ,, идущий в точку М, и составляющий с главным угол бев, После поверхности эти 1зз Рнс. 1ОЗ. Схема длв вывода формулы Аббе — Юнга мернднонального пучка лучей лучи пересекаются в точке В' на главном луче, которая отстоит вдоль луча от поверхности на расстоянии !' . Поверхность разде- ляет оптические среды с показателями преломления л и л'. Полагая известными или легко определяемыми величины г, и, л', 1„, <р, в, е, е', найдем связь между 1 и 1', для чего восполь- зуемся формулой закона преломления и з!п е = и' з!п е'. Очевидно, что при изменении угла в между главным лучом и осью на бесконечно малую величину Йо углы падения е и пре- ломления е' также изменятся.
Дифференцируя уравнения закона преломления, получаем и соз е с)е = и' соз е'с(е'. (233) По рис. 103 находим, что е = в — ~р, е' = в' — <р и, следо- вательно, с!е = дв — бр, де' = с!в' — йр. Полагая величины с!е, бе', бв, с)в', с(~р и другие приращения бесконечно малыми, будем считать, что ММ, = пйр, угол ВМ,М = 90'+ е, угол В' М,М = 90' — е'.
Из треугольника ВМ,М следует ММД вЂ” Йв) = — 1 /з!и (90'+ е), откуда с)в = (г соз е/1 )Йр и, следовательно, с!е = [(г соз е/1 ) — 1) Йр. (234) Из треугольника В' М,М получим ММ~/дв' = 1'/з!и (90'+ + е'), откуда йв' = (г соз е'11') Йр и, следовательно, бе' =- 1(г соз е'/1' ) — 1) сЬр. (233) Подставляя (234), (235) в (233), окончательно получаем фор- мулу Аббе — Юнга для меридионального пучка лучей: (п'соз'е /Г') — (псозае/1 ) = (л'созе' — псозе)/г.
(236) На рис. 104 В5 — также главный луч элементарного наклон- ного пучка лучей, падающий на сферическую поверхность с радиу- сом кривизны г из внеосевой точки В. Расстояние от точки 5 пере- сечения главного луча с поверхностью до точки В вдоль луча обозначим 1,. Чтобы образовать элементарный пучок, но уже в сагиттальной плоскости, повернем луч В5 относительно линии ВС на беско- нечно малый угол бф н получим в сагиттальной плоскости беско- нечно близкий луч В5,. После поверхности лучи В5 н В5, пересекаются в точке В;, которая должна лежать на линии ВС. Чтобы 134 где /1/С = А/5+ ВС = — /,совв+г; Сй/' = Зй/' — ВС = 1;сове' — г.
(239) Из формул (237) — (239), учитывая, что з!и а/з(п е' = л'/л, получим: — 1,л /(/,л) = ( — 1 созе+ г)/(/ сове' — г). Откуда, освобождаясь от знаменателя и деля обе части на произведение 1,1»г, получаем формулу Аббе — Юнга для сагиттального пучка лучей: (240) л'/1; — л/1» = (л' сов е' — л соз е)/г. По полученным формулам (236) и (240) рассчитывают ход лучей бесконечно тонкого астигматического пучка через одну сфеоическую поверхность. При расчете хода лучей такого пучка через оптическую систему, состоящую из д поверхио- ' м„с' „в„',, «" т стей. необходимо учитывать так называемую косую толщину Ы«, »тл равную расстоянию между по- "л верхностями вдоль главного луча, которая может быть вычис- а« а«м лена при расчете хода главного луча. На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
