Норенков И.П. - Основы автоматизированного проектирования (1060628), страница 27
Текст из файла (страница 27)
3.9. Алгоритм отражает решение системыалгебро-дифференциальных уравненийНа каждом шаге численного интегрирования решается система нелинейных алгебраических уравненийF(X) = Ометодом Ньютона. На каждой итерации выполняется решение системы линейных алгебраических уравненийЯАХ = В.Другие используемые на рис. 3.9. обозначения: V0(/0) - начальные условия;h и /?нач - шаг интегрирования и его начальное значение; UBH(/) - вектор внешнихвоздействий; N и NU - число ньютоновских итераций и его максимальнодопустимое значение; е - предельно допустимая погрешность решения СНАУ;8 - погрешность, допущенная на одном шаге интегрирования; т 1 - максимальнодопустимое значение погрешности интегрирования на одном шаге; пи - нижняяграница коридора рациональных погрешностей интегрирования.1113 Математическое обеспечение анализа проектных решенийV:=V0;t:=to;h:=hHmРасчет Я, В и решение Я*ДХ = ВДаНет/V :=Х+АХРис. 3.9.
Граф-схема вычислительного процесса анализа на макроуровнеИз рисунка ясно, что при jV> Л^ фиксируется несходимость ньютоновскихитераций и после дробления шага происходит возврат к интегрированию притех же начальных для данного шага условиях. При сходимости рассчитывается 5 и в зависимости от того, выходит погрешность за пределы диапазона[т2, ml] или нет, шаг изменяется либо сохраняет свое прежнее значение.Параметры N , ml, m2, е, Лнач задаются по умолчанию и могут настраиваться пользователем.Матрицу Якоби Я и вектор правых частей В необходимо рассчитывать попрограмме, составляемой для каждого нового исследуемого объекта.
Составление программы выполняет компилятор, входящий в состав программного комплекса анализа. Общая структура такого комплекса представлена на рис. 3.10.1123.3. Методы и алгоритмы анализа на макроуровнеПользовательПрограммымноговариантногоанализа_>.ЛингвистическийпрепроцессоргtКомпиляторрабочихпрограммi Рабочая программаТПостпроцессор•*Графическийпрепроцессор•*Библиотекамоделейэлементов-БиблиотекафункцийБиблиотекаметодов1ПользовательРис.
ЗЛО. Структура программного комплекса анализа на макроуровнеИсходные данные об объекте можно задавать в графическом виде (в видеэквивалентной схемы) или на входном языке программы анализа. Запись натаком языке обычно представляет собой список компонентов анализируемогообъекта с указанием их взаимосвязей. Вводимые данные преобразуются вовнутреннее представление с помощью графического и лингвистического препроцессоров, в которых предусмотрена также диагностика нарушений формальных языковых правил. Графическое представление более удобно, особенно длямалоопытных пользователей.
Задав описание объекта, пользователь можетприступить к многовариантному анализу либо по одной из программ такогоанализа, либо в интерактивном режиме, изменяя условия моделирования между вариантами с помощью лингвистического препроцессора.Наиболее сложная часть комплекса - компилятор рабочих программ, именно в нем создаются программы расчета матрицы Якоби Я и вектора правыхчастей В, фигурирующих в вычислительном процессе (см. рис.
3.9). Собственно рабочая программа (см. рис. 3.10)- это и есть программа процесса, показанного на рис. 3.9. Для каждого нового моделируемого объекта составляетсясвоя рабочая программа. При компиляции используются заранее разработанные математические модели типовых компонентов, известные функции дляотображения входных воздействий, алгоритмы расчета выходных параметровиз соответствующих библиотек.Постпроцессор представляет результаты анализа в табличной и графической формах, это могут быть зависимости фазовых переменных от времени,значения выходных параметров-функционалов и т.
п.ИЗ3. Математическое обеспечение анализа проектных решений3.4. Математическое обеспечение анализа на микроуровнеМатематические модели на микроуровнеМатематическими моделями на микроуровне являются дифференциальныеуравнения в частных производных или интегральные уравнения, описывающиеполя физических величин. Другими словами, на микроуровне используютсямодели с распределенными параметрами. В качестве независимых переменных в моделях могут фигурировать пространственные переменные JCj, x2, х3ивремя t.Характерными примерами моделей могут служить уравнения математической физики вместе с заданными краевыми условиями.Например:1) уравнение теплопроводностигде С - удельная теплоемкость; р - плотность; Т- температура; t - время; X - коэффициент теплопроводности; g - количество теплоты, выделяемой в единицу времени в единице объема;2) уравнение диффузииatгде N- концентрация частиц; D - коэффициент диффузии;3) уравнения непрерывности, используемые в физике полупроводниковых приборов:для дырокдля электронов4) уравнение Пуассонаdiv Е = р / (е ЕО) .Здесь р и п — концентрации дырок и электронов; q — заряд электрона; Jpu 3„ — плотностидырочного и электронного токов; gp и gn — скорости процессов генерации-рекомбинации дырок и электронов; Е — напряженность электрического поля; р — плотность электрического заряда; Б и ЕО— диэлектрическая проницаемость и диэлектрическая постоянная.Краевые условия включают в себя начальные условия, характеризующиепространственное распределение зависимых переменных в начальный моментвремени, и граничные, задающие значения этих переменных на границах рассматриваемой области в функции времени.Методы анализа на микроуровнеВ САПР решение дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений с частными производными выполняется численными методами.
Этиметоды основаны на дискретизации независимых переменных — их представлении конечным множеством значений в выбранных узловых точках исследу1143.4. Математическое обеспечение анализа на микроуровнеемого пространства. Эти точки рассматриваются как узлы некоторой сетки,поэтому используемые в САПР методы — это сеточные методы.Среди сеточных методов наибольшее распространение получили два метода: метод конечных разностей (МКР) и МКЭ.
Обычно выполняют дискретизацию пространственных независимых переменных, т. е. используют пространственную сетку. В этом случае результатом дискретизации является СОДУдля задачи нестационарной или система алгебраических уравнении для стационарной.Пусть необходимо решить уравнениеIF(z)=/(z)с заданными краевыми условиямигде L и М— дифференциальные операторы; F(z) — фазовая переменная; z == (я,, х2, х3, f) — вектор независимых переменных; /(z) и y(z) — заданные функции независимых переменных.В методе конечных разностей алгебраизация производных по пространственным координатам базируется на аппроксимации производных конечно-разностными выражениями.
При использовании метода нужно выбрать шаги сеткипо каждой координате и вид шаблона. Под шаблоном понимают множествоузловых точек, значения переменных в которых используются для аппроксимации производной в одной конкретной точке.Примеры шаблонов для одномерных и двумерных задач приведены на рис. 3 . 1 1 . Наэтом рисунке кружком большего диаметра обозначены узлы, в которых аппроксимируется производная. Черными точками обозначены узлы, значения фазовой переменной вкоторых входят в аппроксимирующее выражение.
Число, записанное около узла, равнокоэффициенту, с которым значение фазовой переменной входит в аппроксимирующеевыражение. Так, для одномерных шаблонов в верхней части рисунка показана аппроксимация производной dVldx в точке k, и указанным шаблонам при их просмотре слеванаправо соответствуют аппроксимацииh(dV/dx) = Г4+ , - V-, 2h(8V/dx) = Vk+ , - Vk_ ,; HpVIQ*)= Vk^-2Vk + Vk_ ,,где h — шаг дискретизации по осях.Шаблоны для двумерных задач в нижней части рис. 3 .
1 1 соответствуют следующимконечно-разностным операторам:левый рисунок средний рисунок —22* W = V^^ + F t _, ,+правый рисунокЗдесь Vk — значение VB точке (ж,k, x ); приняты одинаковые значения шагов h по обеимкоординатам.1153 Математическое обеспечение анализа проектных решений-11-1-е-11t-2(k)^1-1.t uРис. 3.11. Примеры шаблонов для МКРМетод конечных элементов основан на аппроксимации не производных, асамого решения F(z).
Но поскольку оно не известно, то аппроксимация выполняется выражениями с неопределенными коэффициентами qtTU(z.) = Q <p(z),T(3.34)тгде Q = (#,, q2, ..., <7„) — вектор-строка неопределенных коэффициентов,cp(z) — вектор-столбец координатных (иначе опорных) функций, заданныхтак, что удовлетворяются граничные условия.При этом речь идет об аппроксимациях решения в пределах конечных элементов, а с учетом их малых размеров можно говорить об использовании сравнительно простых аппроксимирующих выражений U(z) (например, ф (z) — полиномы низких степеней). В результате подстановки U(z) в исходноедифференциальное уравнение и выполнения операций дифференцирования получаем систему невязокA(z, Q) = LU(z) -/(z) = I(QT9(z)) -f(z),(3.35)из которой требуется найти вектор Q.Эту задачу (определение Q) решают одним из следующих методов:1) метод коллокаций, в котором, используя (3.35), формируют п уравненийс неизвестным вектором Q:где п — число неопределенных коэффициентов;2) метод наименьших квадратов, основанный на минимизации квадратов невязок (3.35) в п точках или в среднем по рассматриваемой области;3) метод Галеркина, с помощью которого минимизируются в среднем пообласти невязки со специально задаваемыми весовыми коэффициентами.Наибольшее распространение МКЭ получил в САПР машиностроения дляанализа прочности объектов.
Для этой задачи можно использовать рассмотренный подход, т. е. выполнить алгебраизацию исходного уравнения упругости(уравнения Ламе). Однако более удобным в реализации МКЭ оказался подход,основанный на вариационных принципах механики.1163.4. Математическое обеспечение анализа на микроуровнеМКЭ в программах анализа механической прочностиВ качестве исходного положения принимают вариационный принцип Лагранжа (принцип потенциальной энергии), в соответствии с которым равновесное состояние, в которое может прийти система, характеризуется минимумомпотенциальной энергии.Потенциальная энергия П определяется как разность энергии Э деформациитела и работы А массовых и приложенных поверхностных сил.В свою очередь,Э = 0,5 I 8 T arfR,(3.36)Rттгде е = (en, s22, s33, s)2, 813, 823) - вектор-строка деформаций; ст = (сти, ст22,СУЗЗ, ар, а,3, а?3) — вектор-столбец напряжений; R - рассматриваемая область.Деформации stj можно выразить через перемещенияetj= 0,5(5)^/5* +dW}/dx),(3.37)где Wt — перемещение вдоль оси *, или в матричной формее = 0,5SW,(3.38)где S — очевидный из (3.37) оператор дифференцирования; W = (w , w , \v ).Деформации и напряжения связаны между собой с помощью матрицы D,характеризующей упругие свойства среды, которая представлена в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
