Норенков И.П. - Основы автоматизированного проектирования (1060628), страница 23
Текст из файла (страница 23)
3.2, б.Нетрудно заметить наличие аналогий между электрической и механической системами. Так, токам и напряжениям в первой из них соответствуют силы(либо моменты) и скорости механической системы, компонентным уравнениям(3.4) и (3.5) и фигурирующим в них параметрам Си/,—уравнения (3.8) и (3.10)и параметры MnLu, очевидна аналогия и между топологическими уравнениями.
Далее параметры С и М будем называть емкостными (емкостного типа),913. Математическое обеспечение анализа проектных решенийпараметры L и ZM— индуктивными (индуктивного типа), а параметры R и Rrp== du/dF — резистивными (резистивного типа).Имеется и существенное отличие в моделировании электрических и механических систем: первые из них одномерны (на макроуровне), а процессы вовтормх часто приходится рассматривать в двумерном {ID) или трехмерном(3D) пространстве. Следовательно, при моделировании механических системв общем случае в пространстве 3D нужно использовать векторное представление фазовых переменных, каждая из которых имеет шесть составляющих, соответствующих шести степеням свободы.Однако отмеченные выше аналогии остаются справедливыми, если их относить к проекциям сил и скоростей на каждую пространственную ось, а при графическом представлении моделей использовать шесть эквивалентных схем —три для поступательных составляющих и три для вращательных.Гидравлические системы.
Фазовыми переменными в гидравлических системах являются расходы и давления. Как и в предыдущем случае, компонентные уравнения описывают свойства жидкости рассеивать или накапливать энергию.Рассмотрим компонентные уравнения для жидкости на линейном участкетрубопровода длиной А/ и воспользуемся уравнением Навье — Стокса в следующей его форме (для ламинарного течения жидкости):pdU/dt = -dP/dx-2aU,где р — плотность жидкости; U — скорость; Р — давление; а — коэффициентлинеаризованного вязке и трения.
Так как U = Q/S, где Q — объемный расход,S — площадь поперечного сечения трубопровода, то, заменяя пространственную производную отношением конечных разностей, имеемdQ/dt =5АР/(Л/р) - 2aQ/p,ИЛИ'АР = LrdQ/dt + RTQ.(3.11)Здесь АР — падение давления на рассматриваемом участке трубопровода;Z r = A/pAS— гидравлическая индуктивность, отражающая инерционные свойства жидкости; RT= 2 aAl/S— гидравлическое сопротивление, отражающее вязкое трение.П р и м е ч а н и е . В трубопроводе круглого сечения радиусом г удобно использовать выражение для гидравлического сопротивленияпри ламинарном течении:RT= 8иД//(тгг4), где и — кинематическая вязкость; в случае турбулентного характера течения жидкости компо^>^-v>|1-[нентное уравнение для вязкого тренияимеет вид Ар =-'= RrQ\Q\ при R=0,31(nru /\Q\)M.Рис.
3.4. ЭквивалентнаяИнтерпретация уравнения (3.11) приводит ксхема участка трубопровода эквивалентной схеме, показанной на рис. 3 .4.923 2 Математические модели в процедурах анализа на макроуровнеТрансформаторные связи/,=Я/ 2Гираторные связиРис. 3.5. Элементы взаимосвязи подсистем различной физической природыЯвление сжимаемости жидкости описывается компонентным уравнением,вытекающим из закона Гука,(3.12)Дифференцируя (3.12) и учитывая, что объемный расход Q связан со скоростью U — d&l/dt соотношением Q — US, получаемJAP/Л = CrQ,где Cr = E/(S I) — гидравлическая емкость.Связь подсистем различной физической природы.
Используют следующие способы моделирования взаимосвязей подсистем: с помощью трансформаторной, гираторной связей и с помощью зависимости параметров компонентов одной подсистемы от фазовых переменных другой. В эквивалентныхсхемах трансформаторные и гираторные связи представлены зависимымиисточниками фазовых переменных, показанными на рис.
3.5. На этом рисункеп — коэффициент трансформации; g — передаточная проводимость; U и / —фазовые переменные ву'-й цепи; j = 1 соответствует первичной, а/ = 2 — вторичной цепи.П р и м е ч а н и е . Следует отметить, что рассмотренные аналогии фазовых переменных, топологических и компонентных уравнений разных физических систем нашли своеотражение в международном стандарте VHDL-AMS, в котором фазовые переменныетипа потенциала названы переменными across quantity, а переменные типа потока —through quantity.Представление топологических уравненийИзвестен ряд методов формирования ММС на макроуровне. Получаемыес их помощью модели различаются ориентацией на те или иные численныеметоды решения и набором базисных переменных, т. е. фазовых переменных,остающихся в уравнениях итоговой ММС. Общей для всех методов являетсяисходная совокупность топологических и компонентных уравнений (3.
1) и (3.2).933. Математическое обеспечение анализа проектных решенийR.Jtl§ =U[VабРис. 3.6. Эквивалентная схема (а) и ее граф (б )При записи топологических уравнений удобно использовать промежуточную графическую форму — представление модели в виде эквивалентной схемы, состоящей из двухполюсных элементов. Общность подхода при этом сохраняется, так как любой многополюсный компонент можно заменить подсхемойиз двухполюсников. В свою очередь, эквивалентную схему можно рассматривать как направленный граф, дуги которого соответствуют ветвям схемы. Направления потоков в ветвях выбираются произвольно (если реальное направление при моделировании окажется противоположным, то это приведет лишь котрицательным численным значениям потока).Пример некоторой простой эквивалентной схемы и соответствующего ейграфа приведен на рис.
3.6. Для конкретности и простоты изложения на рисункеиспользованы условные обозначения, характерные для электрических эквивалентных схем, по той же причине далее в этом параграфе часто применяется электрическая терминология. Очевидно, что поясненные выше аналогиипозволяют при необходимости легко перейти к обозначениям и терминам, привычным для механиков.Для получения топологических уравнений все ветви эквивалентной схемыразделяют на подмножества хорд и ветвей дерева. Имеется в виду покрывающее (фундаментальное) дерево, т. е. подмножество из Р - 1 дуг, не образующее ни одного замкнутого контура, где Р — число вершин графа (узлов эквивалентной схемы).
На рис. 3.6, б показан граф эквивалентной схемы, приведеннойна рис. 3.6, а, утолщенными линиями выделено одно из возможных покрывающихдеревьев.Выбор дерева однозначно определяет векторы напряжений Ux и токов 1^хорд, напряжений и„д и токов 1ВД ветвей дерева и приводит к записи топологических уравнений в видеих + Ми„д = 0;(3.13)1 ВД -М Т 1 Х = 0,7(3.14)где М — матрица контуров и сечений; М — транспонированная М-матрица.943.2, Математические модели в процедурах анализа на макроуровнеВ М-матрице число строк соответствует числу хорд, число столбцов равно числуветвей дерева.
М-матрица формируетсяследующим образом. Поочередно к дереву подключаются хорды. Если при подключении к дереву р-й хорды q-я ветвь входитв образовавшийся контур, то элемент матрицы Мт = +1 при совпадении направлений ветви и подключенной хорды, Мм= -1при несовпадении направлений. В противном случае Мт = 0.Для схемы на рис. 3.6 М-матрицапредставлена в виде табл. 3.1Т а б л и ц а 3.1Ветви дереваХордыС1С2сзRI-100R20-10R300-1R4-1+1+1+100JОсобенности эквивалентных схем механических объектовДля каждой степени свободы строят свою эквивалентную схему.
Каждомутелу с учитываемой массой соответствует узел схемы (вершина графа). Одинузел, называемый базовым, отводится телу, отождествляемому с инерциальнойсистемой отсчета.Каждый элемент массы изображают ветвью, соединяющей узел, соответствующий массе тела с базовым узлом; каждый элемент упругости — ветвью,соединяющей узлы тел, связанных упругой связью; каждый элемент трения —ветвью, соединяющей узлы трущихся тел. Внешние воздействия моделируются источниками сил и скоростей.В качестве примера на рис.
3.7, а изображена некоторая механическая система — тележка, движущаяся по дороге и состоящая из платформы А, колес51,52 и рессор С1,С2. На рис. 3.7, б приведена эквивалентная схема для вертикальных составляющих сил и скоростей, на которой телам системы соответствуют одноименные узлы, учитываются массы платформы и колес, упругость рессор, трение между колесами и дорогой; неровности дороги вызьшаютвоздействие на систему, изображенное на рис. 3.7, б, источниками силы.ААL\вБазовый узелабРис. 3.7.
Простая механическая система:а - эскизное изображение; б- эквивалентная схема953 Математическое обеспечение анализа проектных решенийХарактеристика методов формирования ММСИсходную систему компонентных и топологических уравнений (3. 1) и (3.2)можно рассматривать как окончательную ММС, которая и подлежит численному решению. Численное решение этой системы уравнений предполагает алгебраизацию дифференциальных уравнений, например, с помощью преобразования Лапласа или формул численного интегрирования. В программах анализанелинейных объектов на макроуровне, как правило, применяются формулы численного интегрирования, примером которых может служить неявная формулаЭйлерагде V - значение переменной V на г-м шаге интегрирования; А„ = tn - tn_l — шагинтегрирования.
Алгебраизация подразумевает предварительную дискретизацию независимой переменной t (вместо непрерывной переменной t получаемконечное множество значений tn), она заключается в представлении ММС ввиде системы уравненийFT(VJ = 0;(3.15)Zn= (¥„-¥„_,)//*„с неизвестными Vn и Ъп, где использовано обозначение Z = dV/dt. Эту системуалгебраических уравнений, в общем случае нелинейных, необходимо решатьна каждом шаге численного интегрирования исходных дифференциальных уравнений.Однако порядок этой системы довольно высок и примерно равен 2а + у, гдеа — число ветвей эквивалентной схемы (каждая ветвь дает две неизвестныевеличины — фазовые переменные типа потока и типа потенциала, за исключением ветвей внешних источников, у каждой из которых не известна лишь одна фазовая переменная), у —число элементов в векторе производных. Чтобы снизитьпорядок системы уравнений и тем самым повысить вычислительную эффективность ММС, желательно выполнить предварительное преобразование модели (в символическом виде) перед ее многошаговым численным решением.Предварительное преобразование сводится к исключению из системы частинеизвестных и соответствующего числа уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
