Норенков И.П. - Основы автоматизированного проектирования (1060628), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Конечно, ни о какой адекватности решения говорить не приходится.Для соблюдения (3.27) применяют те или иные алгоритмы автоматическоговыбора шага. Отметим, что в сложной модели расчет ттш для непосредственного выбора шага по (3.27) слишком трудоемок, кроме того, однократный расчетттш мало эффективен, так как в нелинейных моделях тш1п может изменяться отшага к шагу.Условие (3.27) накладывает жесткие ограничения на шаг интегрирования.
Врезультате вычислительная эффективность явных методов резко падает с ухудшением обусловленности ММС. Действительно, длительность Т^ моделируемого процесса должна быть соизмеримой с временем успокоения системыпосле возбуждающего воздействия, т. е. соизмерима с максимальной постоянной времени ттах. Требуемое число шагов интегрирования равноОтношение Ч = тгоах /ттт называют разбросом постоянных времени иличислом обусловленности.
Чем больше это число, тем хуже обусловленность.Попытки применения явных методов к любым ММС чаще всего приводят кнедопустимо низкой вычислительной эффективности, поскольку в реальныхмоделях Ч > 105 — обычная ситуация. Поэтому в настоящее время в универсальных программах анализа явные методы решения СОДУ не применяют.Аналогичный анализ числовой устойчивости неявных методов дает следующие результаты. Вместо (3.24) имееми условие числовой устойчивости принимает видпри любых h > 0. Следовательно, неявный метод Эйлера обладает так называемой А-устойчивостъю.П р и м е ч а н и е . Метод интегрирования СОДУ называют Л-устойчивым, еслипогрешность интегрирования остается ограниченной при любом шаге h > 0.Применение ^-устойчивых методов позволяет существенно уменьшить требуемые числа шагов Ш.
В этих методах шаг выбирается автоматически не изусловий устойчивости, а только из соображений точности решения.Выбор порядка метода решения СОДУ довольно прост; во-первых, болеевысокий порядок обеспечивает более высокую точность, во-вторых, среди неявных разностных методов кроме метода Эйлера ^-устойчивы также методывторого порядка и среди них — метод трапеций.
Поэтому преобладающее распространение в программах анализа получили методы второго порядка — модификации метода трапеций.1033. Математическое обеспечение анализа проектных решенийАлгоритм численного интегрирования СОДУОдна из удачных реализаций неявного метода второго порядка, которую можно считать модификацией метода трапеций, основана на комбинированномиспользовании явной и неявной формул Эйлера. Рассмотрим вопрос, почемутакое комбинирование снижает погрешность и приводит к повышению порядкаметода.Предварительно отметим, что в методах р-то порядка локальная погрешность, т. е.
погрешность, допущенная на одном п-ы шаге интегрирования, оценивается старшим из отбрасываемых членовв разложении решения V( t) в ряд Тейлора, где с — постоянный коэффициент, зависящий от метода; |V (/>+1) (t)| — норма вектора (р + 1) — х производных V(/),которая оценивается с помощью конечно-разностной аппроксимации; т — значение времени / внутри шага.Если и-й шаг интегрирования в комбинированном методе был неявным, т.
е.выполненным по неявной формуле, то следующий шаг с тем же значением hдолжен быть явным. Используя разложение решения V(f) в ряд Тейлора в окрестностях точки tn+l, получаем для (п + 1)-го неявного шага+ (d2V/dt 2 )AV2! - (d3 V/dt 3)#/3! + ...(3.28)и для (и + 2)-го явного шагаV(/;+2) = Vfc + 1) + (dVldt)ht + (d2\/dt2)h2x/2\+ (d3V/dt3)h3x/3\+ ..., (3.29)где hn и h — величины неявного и явного шагов, а значения производных относятся к моменту tn+ г .
Подставляя (3.28) в (3.29), при h = Ля = /?н получаемV(tn +2) = V(tn) + 2(dV/dt)h + 2(d3V/dt3)h3/3\+ ...,т. е. погрешности, обусловливаемые квадратичными членами в (3.28) и (3.29),взаимно компенсируются и старшим из отбрасываемых членов становится членс h3. Следовательно, изложенное комбинирование неявной и явной формулЭйлера дает метод интегрирования второго порядка.Неявные методы и, в частности, рассмотренный комбинированный методцелесообразно использовать только при переменной величине шага.
Действительно, при заметных скоростях изменения фазовых переменных погрешностьостается в допустимых пределах только при малых шагах, в квазистатическихрежимах шаг может быть во много раз больше.Алгоритмы автоматического выбора шага основаны на сравнении допущенной и допустимой локальных погрешностей. Например, вводится некоторыйдиапазон (коридор) погрешностей d, в пределах которого шаг сохраняется неизменным. Если же допущенная погрешность превышает верхнюю границудиапазона, то шаг уменьшается, если же выходит за нижнюю границу, то шагувеличивается.1043.3.
Методы и алгоритмы анализа на макроуровнеМетоды решения систем нелинейныхалгебраических уравненийВычисления при решении СОДУ состоят из нескольких вложенных один вдругой циклических процессов. Внешний цикл — это цикл пошагового численногоинтегрирования, параметром цикла является номер шага. Если модель анализируемого объекта нелинейна, то на каждом шаге выполняется промежуточный цикл — итерационный цикл решения системы нелинейных алгебраическихуравнений (СИЛУ). Параметр цикла — номер итерации. Во внутреннем циклерешается СЛАУ, например, при применении узлового метода формированияММС такой системой является (3.19).
Поэтому в математическое обеспечениеанализа на макроуровне входят методы решения СНАУ и СЛАУ.Для решения СНАУ можно применять прямые итерационные методы, такие, как метод простой итерации или метод Зейделя, но в современных программах анализа наибольшее распространение получил метод Ньютона, основанный на линеаризации СНАУ. Собственно, модель (3.19) получена именно всоответствии с методом Ньютона.
Основное преимущество метода Ньютона — высокая скорость сходимости.Представим СНАУ в видеF(X) = 0.(3.30)Разлагая F(X) в ряд Тейлора в окрестностях некоторой точки \k , получаемF(X) = F(Xt) + (SF/dX)(X - Xt) + (X - Xt)T(S2F/dX2)(X - XJ/2 + ... = 0.Сохраняя только линейные члены, имеем СЛАУ с неизвестным вектором X:,(3.31)где Я^ = (5F/3X)|t.
Решение системы (3.31) дает очередное приближение ккорню системы (3.30), которое удобно обозначить X t + ,.Вычислительный процесс стартует с начального приближения Х0 и в случаесходимости итераций заканчивается, когда погрешность, оцениваемая какстанет меньше допустимой погрешности е.Однако метод Ньютона не всегда приводит к сходящимся итерациям. Условия сходимости метода Ньютона выражаются довольно сложно, но существуетлегко используемый подход к улучшению сходимости. Это близость начального приближения к искомому корню СНАУ.
Использование этого фактора привело к появлению метода решения СНАУ, называемого продолжением решения по параметру.1053. Математическое обеспечение анализа проектных решенийВ методе продолжения решения по параметру в ММС выделяется некоторый параметр а, такой, что при а = 0 корень Х а = 0 системы (3.30) известен, aпри увеличении а от 0 до его истинного значения составляющие вектора Xплавно изменяются от Х а = 0 до истинного значения корня.
Тогда задача разбивается на ряд подзадач, последовательно решаемых при меняющихся значенияха, и при достаточно малом шаге Да изменения а условия сходимости выполняются.В качестве параметра а можно выбрать некоторый внешний параметр, например, при анализе электронных схем им может быть напряжение источникапитания. Но на практике при интегрировании СОДУ в качестве а выбираютшаг интегрирования h.
Очевидно, что при h = О корень СНАУ равен значениювектора неизвестных на предыдущем шаге. Регулирование значений h возлагается на алгоритм автоматического выбора шага.В этих условиях очевидна целесообразность представления математическихмоделей для анализа статических состояний в виде СОДУ, как и для анализадинамических режимов.Методы решения систем линейныхалгебраических уравненийВ программах анализа в САПР для решения СЛАУ чаще всего применяютметод Гаусса или его разновидности. Метод Гаусса — метод последовательного исключения неизвестных из системы уравнений.
При исключении k-w. неизвестной xk из системы уравненийАХ = В(3.32)все коэффициенты at] при / > k и у > k пересчитывают по формуле<*„ '- =a,j-alkakjlakk.(3.33)Исключение п - 1 неизвестных, где п — порядок системы (3.32), называют прямым ходом, в процессе которого матрица коэффициентов приобретает треугольный вид. При обратном ходе последовательно вычисляют неизвестные, начиная с х„.В общем случае число арифметических операций для решения (3.32) поГауссу пропорционально п3. Это приводит к значительным затратам машинного времени, поскольку СЛАУ решается многократно в процессе одновариантного анализа, и существенно ограничивает сложность анализируемых объектов.
Можно заметно повысить вычислительную эффективность анализа, еслииспользовать характерное практически для всех приложений свойство высокойразреженности матрицы А в модели (3.32).Матрицу называют разреженной, если большинство ее элементов равно нулю. Эффективность обработки разреженных матриц велика потому, чтоне требуются, во-первых, пересчет по формуле (3.33), если хотя бы один изэлементов alk или akj оказывается нулевым, во-вторых, затраты памяти для1063.3. Методы и алгоритмы анализа на макроуровнехранения нулевых элементов. Хотя алгоритмы обработки разреженных матрицболее сложны, но в результате удается получить затраты машинного времени,близкие к линейным, например, затраты оказываются пропорциональными и1-2.При использовании методов разреженных матриц нужно учитывать зависимость вычислительной эффективности от того, как представлена матрица коэффициентов А, точнее, от того, в каком порядке записаны ее строки и столбцы.Для пояснения этой зависимости рассмотрим два варианта представленияодной и той же СЛАУ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
