Норенков И.П. - Основы автоматизированного проектирования (1060628), страница 28
Текст из файла (страница 28)
3.5:a = De.(3.39)Коэффициенты Я и ц , фигурирующие в таблице, называют постоянными Ламе,они выражают упругие свойства материала детали.Подставляя (3.39) и (3.38) в (3.36), получаем3= 0,5j\VTSTDSWdR.RРешением задачи должно быть поле перемещений W(X), где X = (л,, xz, х3).В соответствии с МКЭ это решение аппроксимируется с помощью функций(3.34), которые применительно к совокупности конечных элементов представим в матричной форме:U(X) = NQ,где N — матрица координатных функций; Q — вектор неопределенных коэффициентов.Т а б л и ц а 3.5000Я+2цяк000Я+2цЯяX000Я000Я,+ 2ц00002ц00002ц00002ц1173.
Математическое обеспечение анализа проектных решенийЗаменяя W(X) на U(X), получаемЭ = 0,5|QTNTSTDSNQrfR=0,5QT( J(SN)TDSNrfR)Q=0,5QTKQ,RR(3.40)где К = J(SN)TDSNc?R — матрица жесткости.RВ соответствии с принципом потенциальной энергии в состоянии равновесияимеемдП/dQ = дЭ/dQ - дА/dQ = Оили, дифференцируя (3.40), находимKQ = В,(3.41)где В = 9A/5Q — вектор нагрузок. Таким образом, задача анализа прочности,согласно МКЭ, сведена к решению системы линейных алгебраических уравнений (3.41).Матрица жесткости также оказывается сильно разреженной, поэтому длярешения (3.41) применяют методы разреженных матриц.П р и м е ч а н и е .
Одним из широко известных методов разреженных матриц являетсяметод прогонки, используемый в случае трехдиагональных матриц коэффициентов всистеме алгебраических уравнений.3.5. Математическое обеспечение анализана функционально-логическом уровнеМоделирование и анализ аналоговых устройствНа функционально-логическом уровне исследуют устройства, в качествеэлементов которых принимают достаточно сложные узлы и блоки, считавшиеся системами на макроуровне. Поэтому необходимо упростить представлениемоделей этих узлов и блоков по сравнению с их представлением на макроуровне.
Другими словами, вместо полных моделей узлов и блоков нужно использовать их макромодели.Вместо двух типов фазовых переменных в моделях функционально-логического уровня фигурируют переменные одного типа, называемые сигналами.Физический смысл сигнала, т. е. его отнесение к фазовым переменным типапотока или типа потенциала, конкретизируют в каждом случае исходя из особенностей задачи.Основой моделирования аналоговых устройств на функционально-логическом уровне является использование аппарата передаточных функций. При этоммодель каждого элемента представляют в виде уравнения вход-выход, т. е. ввиде,(3.42)где Р.ых и F,x - сигналы на выходе и входе узла соответственно.
Если узелимеет более чем один вход и один выход, то в (3.42) скаляры Р,ыхи FBXстановятся векторами.1183 5 Математическое обеспечение анализа на функционально-логическом уровнеОднако известно, что представление модели в виде (3.42) возможно, только если узел является безынерционным, т. е. в полной модели узла не фигурируют производные. Следовательно, для получения (3.42) в общем случае требуется предварительная алгебраизация полной модели. Такую алгебраизациювыполняют с помощью интегральных преобразований, например с помощьюпреобразования Лапласа, переходя из временной области в пространство комплексной переменной р.
Тогда в моделях типа (3.42) имеют место не оригиналы, а изображения сигналов У,ьк(р) и У„(р), сами же модели реальных блоковстараются по возможности максимально упростить и представить моделямитиповых блоков (звеньев) из числа заранее разработанных библиотечныхмоделей. Обычно модели звеньев имеют видгде h(p)- передаточная функция звена.В случае применения преобразования Лапласа появляются ограничения наиспользование нелинейных моделей, а именно в моделях не должно быть нелинейных инерционных элементов.Другое упрощающее допущение при моделировании на функционально-логическом уровне — неучет влияния нагрузки на характеристики блоков.
Действительно, подключение к выходу блока некоторого другого узла не влияет намодель блока (3.42).Собственно получение ММС из ММЭ оказывается вследствие принятыхдопущений значительно проще, чем на макроуровне: ММС есть совокупностьММЭ, в которых отождествлены сигналы на соединенных входах и выходахэлементов. Эта ММС представляет собой систему алгебраических уравнений.Получение ММС проиллюстрируем простым примером (рис.
3.12), где показана система из трех блоков с передаточными функциями ht(p), h2(p) иh3(p). ММС имеет видилигде ад = h}(p)h2(p)/(l-Рис. 3.12. Пример схемы из трех блоков1193 Математическое обеспечение анализа проектных решенийТаким образом, анализ сводится к следующим операциям:1) заданную схему устройства представляют совокупностью звеньев, и еслисхема не полностью покрывается типовыми звеньями, то разрабатывают оригинальные модели;2) формируют ММС из моделей звеньев;3) применяют прямое преобразование Лапласа к входным сигналам;4) решают систему уравнений ММС и находят изображения выходных сигналов;5) с помощью обратного преобразования Лапласа возвращаются во временную область из области комплексной переменной р.Математические модели дискретных устройствАнализ дискретных устройств на функционально-логическом уровне требуется прежде всего при проектировании устройств вычислительной техники ицифровой автоматики.
Здесь дополнительно к допущениям, принимаемым прианализе аналоговых устройств, используют дискретизацию сигналов, причембазовым является двузначное представление сигналов. Удобно этими двумявозможными значениями сигналов считать «истину» (иначе 1) и «ложь» (иначе 0), а сами сигналы рассматривать как булевы величины. Тогда для моделирования можно использовать аппарат математической логики. Находят применение также трех- и более значные модели. Смысл значений сигналов вмногозначном моделировании и причины его применения будут пояснены далее на некоторых примерах.Элементами цифровых устройств на функционально-логическом уровне служат элементы, выполняющие логические функции и возможно функции хранения информации. Простейшими элементами являются дизъюнктор, конъюнктор, инвертор, реализующие соответственно операции дизъюнкции (ИЛИ)у = a or b, конъюнкции (Н)у = a and b, отрицания (НЕ)д> = not а, где у— выходной сигнал, а и b — входные сигналы.
Число входов может быть и болеедвух. Условные схемные обозначения простых логических элементов показанына рис. 3.13.Математические модели устройств представляют собой систему математических моделей элементов, входящих в устройство, при отождествлении сигналов, относящихся к одному и тому же соединению элементов.уДизъюнкторКонъюнктора•I•УИнверторРис. 3.13. Условные обозначения логических элементов на схемах1203.5. Математическое обеспечение анализа на функционально-логическом уровне&1—R(\А&г~&(ВL&ссРис. 3.14.
Схема ./US'-триггераРазличают синхронные и асинхронные модели.Синхронная модель представляет собой систему логических уравнений, вней отсутствует такая переменная, как время. Синхронные модели используютдля анализа установившихся состояний.Примером синхронной модели может служить следующая система уравнений, полученная для логической схемы триггера (рис. 3.14):В = not (R and С); Q = not (В and Р); Р = not (A and Q); А = not (S and С).Асинхронные модели отражают не только логические функции, но ивременные задержки в распространении сигналов.
Асинхронная модельлогического элемента имеет вид(3.43)y(tгде t3 — задержка сигнала в элементе; /— логическая функция. Запись (3.43)означает, что выходной сигналу принимает значение логической функции, соответствующее значениям аргументов Х(г), в момент времени t + tm. Следовательно, асинхронные модели можно использовать для анализа динамическихпроцессов в логических схемах.Термины «синхронная» и «асинхронная модель» можно объяснить ориентированностью этих моделей на синхронные и асинхронные схемы соответственно.В синхронных схемах передача сигналов между цифровыми блоками происходит только при подаче на специальные синхровходы тактовых (синхронизирующих) импульсов.
Частота тактовых импульсов выбирается такой, чтобы кмоменту прихода синхроимпульса переходные процессы от предыдущих передачсигналов фактически закончились. Следовательно, в синхронных схемах расчетзадержек не актуален, быстродействие устройства определяется заданием тактовой частоты.Синхронные модели можно использовать не только для выявления принципиальных ошибок в схемной реализации заданных функций. С их помощьюможно обнаруживать места в схемах, опасные с точки зрения возникновения вних искажающих помех. Ситуации, связанные с потенциальной опасностьювозникновения помех и сбоев, называют рисками сбоя.1213.
Математическое обеспечение анализа проектных решенийа•&Ъ-ПРис. 3.15. Статический риск сбоя:а — схема; б—диаграмма сигналовРазличают статический и динамический риски сбоя. Статический риск сбояиллюстрирует ситуация на рис. 3.15, если на два входа элемента И могут приходить перепады сигналов в противоположных направлениях, как это показано нарис. 3.15, б. Если вместо идеального случая, когда оба перепада приходят вмомент времени Т, перепады вследствие разброса задержек придут неодновременно, причем так, как показано на рис.
3.15, б, то на выходе элементапоявляется импульс помехи, который может исказить работу всего устройства.Для устранения таких рисков сбоя нужно уметь их выявлять. С этой цельюприменяют трехзначное синхронное моделирование.При этом тремя возможными значениями сигналов являются О, 1 и <8>, причем значение ® интерпретируется как неопределенность.
Правила выполнения логических операций И, ИЛИ, НЕ в трехзначном алфавите очевидны израссмотрения табл. 3.6. В ней вторая строка отведена для значений одногоаргумента, а первый столбец — для значений второго аргумента, значенияфункций представлены ниже второй строки и правее первого столбца.При анализе рисков сбоя на каждом такте вместо однократного решенияуравнений модели выполняют двукратное решение, поэтому можно говоритьоб исходных, промежуточных (после первого решения) и итоговых (послевторого решения) значениях переменных.
Для входных сигналов допустимытолько такие последовательности исходных, промежуточных и итоговых значений: 0-0-0, 1-1-1, 0-®-1, 1-Ф-О. Для других переменных появление последовательности 0-<8>-0 или 1-®-1 означает неопределенность во время переходного процесса, т. е. возможность статического риска сбоя.Т а б л и ц а 3.6ОперацияЗначениесигналаИИЛИНЕ0 ® 10 <8>10® 100 0 00 ® 11®00 ® <8>® ® 1®11 110 ® 11223.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
