Норенков И.П. - Основы автоматизированного проектирования (1060628), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Оставшиеся неизвестныеназывают базисными. В зависимости от набора базисных неизвестных различают несколько методов формирования ММС.Согласно методу переменных состояния (более полное название метода— метод переменных, характеризующих состояние), вектор базисных переменных W состоит из переменных состояния.
Этот вектор включает неизбыточное множество переменных, характеризующих накопленную в системе энер-963 2 Математические модели в процедурах анализа на макроуровнегию. Например, такими переменными могут быть скорости тел (кинетическаяэнергия определяется скоростью, так как равна Мм2/2), емкостные напряжения, индуктивные токи и т. п. Очевидно, что число уравнений не превышает у.Кроме того, итоговая форма ММС оказывается приближенной к явной формепредставления системы дифференциальных уравнений, т. е.
к форме, в которойвектор dWIdt явно выражен через вектор W, что упрощает дальнейшее применение явных методов численного интегрирования. Метод реализуется путемособого выбора системы хорд и ветвей дерева при формировании топологических уравнений. Поскольку явные методы численного интегрированиядифференциальных уравнений не нашли широкого применения в программаханализа, то метод переменных состояния также теряет актуальность и его применение оказывается довольно редким.В классическом варианте узлового метода в качестве базисных переменных используются узловые потенциалы (т.
е. скорости тел относительно инерциальной системы отсчета, абсолютные температуры, перепады давлениямежду моделируемой и внешней средой, электрические потенциалы относительно базового узла). Число узловых потенциалов и соответственно уравненийв ММС оказывается равным Р -1, где р — число узлов в эквивалентной схеме.Обычно р заметно меньше а, и, следовательно, порядок системы уравнений вММС снижен более чем в 2 раза по сравнению с порядком исходной системы.Однако классический вариант узлового метода имеет ограничения на применение, и потому в современных программах анализа наибольшее распространение получил модифицированный узловой метод.Узловой методМатрицу контуров и сечений М в узловом методе формируют следующимобразом.
Выбирают базовый узел эквивалентной схемы и каждый из остальныхузлов соединяют с базовым фиктивной ветвью. Именно фиктивные ветви принимают в качестве ветвей дерева, а все реальные ветви оказываются в числехорд. Поскольку токи фиктивных ветвей равны нулю, а вектор напряжений фиктивных ветвей есть вектор узловых потенциалов ф, то уравнения (3.13) и (3.14)принимают видU + M<p = 0;ТМ 1 = 0,(3.16)(3.17)где U и I — векторы напряжений и токов реальных ветвей.Компонентные уравнения алгебраизуются с помощью одной из формул численного интегрирования, линеаризуются с помощью разложения в ряд Тейлорас сохранением только линейных членов, и их представляют в виде4 Основы автоматизированногопроектированияУУ3. Математическое обеспечение анализа проектных решений1„ = С„и и +А„,(3.18)где С„ — диагональная матрица проводимостей ветвей, рассчитанная в точке („; А„ — вектор, зависящий от значений фазовых переменных на предшествующих шагах интегрирования и потому уже известный к моменту времени /я.Каждая ветвь (за исключением идеальных источников напряжения) имеет проводимость, которая занимает одну из диагональных клеток матрицы проводимостей.Подставляя (3.18) и затем (3.16) в (3.17), окончательно получаем ММС:ТTТТМ 1„= M (GnUn+ А„) = - М СИМФЯ+ М А„ = ОилиЯ„Ф„=В Л ,ТТ(3.19)где Я„ = М С„М - матрица Якоби; В„ = М АИ — вектор правых частей.
Отметим, что матрица М имеет размер а х (р - 1), матрица С„ — а х а, а матрицаЛкоби-(р-1)х(р-1).Система (3.19) является системой линейных алгебраических уравнений(СЛАУ), полученной в результате дискретизации независимой переменной, алгебраизации дифференциальных уравнений и линеаризации алгебраических уравнений. Алгебраизация приводит к необходимости пошагового вычислительного процесса интегрирования, линеаризация — к выполнению итерационноговычислительного процесса на каждом шаге интегрирования.Рассмотрим, каким образом определяются проводимости ветвей.Для резистивных ветвей проводимость — величина, обратная сопротивлению R.При использовании неявного метода Эйлера проводимость емкостной ветви можно получить из ее компонентного уравнения следующим образом.На и-м шаге интегрированияin = Cdu/dt \ = С(и„ -и..
,)/*„,проводимость g = д1„1ди„ и при С = const имеемg=C/hn.При этом в вектор правых частей входит элемент а„ = gun ,.Проводимость индуктивной вбтви можно найти аналогично:и при L = const98и„ = !(/„-/„ _,)/Л„3.2. Математические модели в процедурах анализа на макроуровнеАналогично определяют проводимости и при использовании других разностных формул численного интегрирования, общий вид которыхdU/dt I = ц„и„- л„,где ц„ зависит от шага интегрирования; г\„— от значений вектора U на предыдущих шагах.Классический вариант узлового метода имеет ограничения на применение.Так, не допустимы идеальные (с бесконечной проводимостью) источники напряжения, зависимые источники, аргументами которых являются токи, а также индуктивности, поскольку в классическом варианте токи не входят в числобазисных переменных. Устранить эти ограничения довольно просто — нужнорасширить совокупность базисных координат, включив в нее токи-аргументызависимых источников, а также токи индуктивных ветвей и источников напряжения.
Полученный вариант метода называют модифицированным узловымметодом.Согласно модифицированному узловому методу, в дерево при построении матрицы М включают ветви источников напряжения и затем фиктивныеветви. В результате матрица М принимает вид (табл. 3.2), где введены обозначения: UHCT(I) — источники напряжения, зависящие от тока; Е(/) —независимые источники напряжения; 1ИСТ(1) — источники тока, зависящие оттока; L — индуктивные ветви; Му - подматрица контуров хорд группы i исечений фиктивных ветвей группы^.Те же обозначения UHCT, I, Е, 1ИСТ будем использовать и для соответствующихвекторов напряжений и токов.
Назовем ветви, токи которых являются аргументами в выражениях для зависимых источников, т. е. входят в вектор I,особыми ветвями. Остальные ветви (за исключением индуктивных) —неособые. Введем также обозначения: IL - вектор индуктивных токов; I, и Ц,.- векторы токов и напряжений неособых ветвей; Gx, GL, G, - диагональныематрицы проводимостей ветвей неособых, индуктивных, особых.Уравнение закона токов Кирхгофа (3.17) для фиктивных ветвей имеет видТ а б л и ц а 3.2Тип ветвиФиктивные ветвии„ с т (1)Е(/)Неособые ветвим„М12М„LМ21М22М231ист(1)М3,М32М33993. Математическое обеспечение анализа проектных решенийИсключим вектор I, с помощью компонентного уравнения (3.18), а вектор1ИСТ с помощью очевидного выражениягде К = (91ИСТ /51) - матрица передаточных коэффициентов источников тока.Используем также выражение (3.16), принимающее видU,= - М„Ф - М12ПИСТ - М13Е = - М1]Ф - М12 (ШИСТ/Э1)1 - М,3Е.Получаем систему из трех матричных уравнений с неизвестными векторамиф, I и 1L:- (Мп)т С/Мпф + M12RI) + (М2))т I, + (М31)т KI == (М П ) Т (С,М 1 3 Е-А,);\ = - СДМ21ф + M22RI + М23Е) + А,;I = - С,(М31ф + M32RI + М33Е) + А„(3.20)(3.21)(3.22)где обозначено R = (5UHCT/9I).
Эта система и является итоговой ММ в узловом модифицированном методе.Замечания. 1 . Вектор индуктивных токов нельзя исключить из итоговой системы уравнений, так как его значения входят в вектор AL на последующих шагах численного интегрирования. 2. Источники тока, зависящие от напряжений, относятся к неособым ветвям,их проводимости Э1ист/5и входят в матрицу Gi5 которая при этом может иметь недиагональный вид. 3. Источники напряжения, зависящие от напряжений, в приведенных вышевыражениях не учитываются, при их наличии нужно в матрице М выделить столбец дляэтих ветвей, что приведет к появлению дополнительных слагаемых в правых частях уравнений (3.20)-(3.22).3.3.
Методы и алгоритмы анализа на макроуровнеВыбор методов анализа во временной областиАнализ процессов в проектируемых объектах можно проводить во временной и частотной областях. Анализ во временной области (динамический анализ) позволяет получить картину переходных процессов, оценить динамические свойства объекта, он является важной процедурой при исследовании каклинейных, так и нелинейных систем.
Анализ в частотной области более специфичен, его применяют, как правило, к объектам с линеаризуемыми математическими моделями при исследовании колебательных стационарных процессов, анализе устойчивости, расчете искажений информации, представляемойспектральными составляющими сигналов, и т. п.1003.3. Методы и алгоритмы анализа на макроуровнеМетоды анализа во временной области, используемые в универсальных программах анализа в САПР, — это численные методы интегрирования системобыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ):Другими словами, это методы алгебраизации дифференциальных уравнений. Формулы интегрирования СОДУ могут входить в математическую модель независимо от компонентных уравнений, как это имеет место в (3. 1 5), илибыть интегрированными в математические модели компонентов, как это выполнено в узловом методе.От выбора метода решения СОДУ существенно зависят такие характеристики анализа, как точность и вычислительная эффективность.
Эти характеристики определяются прежде всего типом и порядком выбранного метода интегрирования СОДУ.Применяют два типа методов интегрирования — явные (иначе экстраполяционные, или методы, основанные на формулах интегрирования вперед) и неявные (интерполяционные, основанные на формулах интегрирования назад). Различия между ними удобно показать на примере простейших методов первогопорядка — методов Эйлера.Формула явного метода Эйлера представляет собой следующую формулузамены производных в точке tn:Здесь индекс равен номеру шага интегрирования; hn = tn + , - tn — размер шагаинтегрирования (обычно hn называют просто шагом интегрирования).В формуле неявного метода Эйлера использовано дифференцированиеназад:</V/A| = ( пV - Vп-1,)/A,1ц' п'vгае Л„ = *„-*„_,.Выполним сравнительный анализ явных и неявных методов на примере модельной задачи:dVldt = AV(3.23)при ненулевых начальных условиях V0 Ф О и при использовании методов Эйлера с постоянным шагом h.
Здесь А — постоянная матрица; V — вектор фазовыхпеременных.При алгебраизации явным методом имеемили1013. Математическое обеспечение анализа проектных решенийгде Е — единичная матрица. Вектор V n + 1 можно выразить через вектор начальных условий V0:V_ +1 = (E + /zA)"V 0 .(3.24)ОбозначимВ = Е + НА(3.25)и применим преобразование подобия для матрицы В:В = T-'diag^JT.Здесь Т - преобразующая матрица; diag{A,B } - диагональная матрица с собственными значениями А,в матрицы В на диагонали.
Нетрудно видеть, чтоИз линейной алгебры известно, что собственные значения матриц, связанныхарифметическими операциями, оказываются связанными такими же преобразованиями. Поэтому из (3.25) следует:Точное решение модельной задачи (3 .23) V( /) —> 0 при / —> °о, следовательно,условием устойчивости процесса численного решения можно считатьУ„+1 ->Оприи->оо,откуда последовательно получаем(Е + /zA)" V 0 ->• О,так как V 0 * 0, то (Е + ЛА)" -> 0, поскольку Т ^ 0, то Я.£ -» 0 и условие устойчивости-К |1 + ЛХ А у | < 1.(3.26)Известно, что для физически устойчивых систем собственные значенияматрицы коэффициентов в ММС оказываются отрицательными.
Если к томуже все А.А действительные величины (характер процессов в ММС с моделью(3.23) апериодический), то естественно определить постоянные времени физической системы как^-^А,,и условие (3.26) конкретизируется следующим образом-1<|1-А/т|<1шшО<А<2ттш,(3.27)где т — минимальная постоянная времени. Если использовать явные методыболее высокого порядка, то может увеличиться коэффициент перед тшт в (3 .27),но это принципиально не меняет оценки явных методов.1023 3 Методы и алгоритмы анализа на макроуровнеЕсли нарушено условие (3.27), то происходит потеря устойчивости вычислений, а это означает, что в решении задачи возникают ложные колебания сувеличивающейся от шага к шагу амплитудой и быстрым аварийным остановомЭВМ вследствие переполнения разрядной сетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
