Норенков И.П. - Основы автоматизированного проектирования (1060628), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В первом случае система уравнений имеет вид«11*1«14*4При прямом ходе в соответствии с формулой (3.33) все элементы матрицы,которые первоначально были нулевыми, становятся ненулевыми, а матрица оказывается полностью насыщенной. Элементы, становящиеся ненулевыми впроцессе гауссовых исключений, называют вторичными ненулями. Вторичныененули в табл. 3.3 отмечены знаком « . ».Во втором случае меняются местами первое и пятое уравнения. Матрицыкоэффициентов имеют вид табл. 3.3 и 3.4, где ненулевые элементы представлены знаком « + ».
Теперь вторичные ненули не появляются, матрица остаетсяразреженной, высокая вычислительная эффективность сохраняется.Таким образом, методы разреженных матриц должны включать в себя способы оптимального упорядочения строк и столбцов матриц. Используютнесколько критериев оптимальности упорядочения. Простейшим из них является критерий расположения строк в порядке увеличения числа первичных ненулей, более сложные критерии учитывают не только первичные ненули, но ипоявляющиеся вторичные ненули.Методом разреженных матриц называют метод решения СЛАУ на основеметода Гаусса с учетом разреженности (первичной и вторичной) матрицы коэффициентов.Т а б л и ц а 3.3Т а б л и ц а 3.41073. Математическое обеспечение анализа проектных решенийМетод разреженных матриц можно реализовать путем интерпретации и компиляции.
В обоих случаях создаются массивы ненулевых коэффициентов матрицы (с учетом вторичных ненулей) и массивы координат этих ненулевых элементов.При этом выигрыш в затратах памяти довольно значителен. Так, при матрице умеренного размера (200 х 200) без учета разреженности потребуется320 Кбайт.
Если же взять характерное значение 9 для среднего числа ненулейв одной строке, то для коэффициентов и указателей координат потребуется неболее 28 Кбайт.В случае интерпретации моделирующая программа для каждой операциив соответствии с (3.33) при a,k Ф 0 и akj * 0 находит, используя указатели,нужные коэффициенты и выполняет арифметические операции по (3.33).
Поскольку СЛАУ в процессе анализа решается многократно, то и операции поиска нужных коэффициентов также повторяются многократно, на что, естественно, тратится машинное время.Способ компиляции более экономичен по затратам времени, но уступаетспособу интерпретации по затратам памяти. При компиляции поиск нужныхдля (3.33) коэффициентов выполняется однократно перед численным решением задачи. Вместо непосредственного выполнения арифметических операцийдля каждой из них компилируется команда с найденными адресами ненулевыхкоэффициентов.
Такие команды образуют рабочую программу решения СЛАУ,которая и будет решаться многократно. Очевидно, что теперь в рабочей программе будет выполняться минимально необходимое число арифметическихопераций.Анализ в частотной областиАнализ в частотной области выполняется по отношению к линеаризованным моделям объектов. Для алгебраизации линейных СОДУ справедливо применение преобразования Фурье, в котором оператор d/dt заменяется операторому'со.Характерной особенностью получающейся СЛАУ является комплексныйхарактер матрицы коэффициентов, что в некоторой степени усложняет процедуру решения, но не создает принципиальных трудностей. При решении задаютряд частот ЮА.
Для каждой частоты решают СЛАУ и определяют действительные и мнимые части искомых фазовых переменных. По ним находят амплитудуи фазовый угол каждой спектральной составляющей, что и позволяет построитьамплитудно-частотные, фазочастотные характеристики, найти собственныечастоты колебательной системы и т. п.Многовариантный анализОдновариантный анализ позволяет получить информацию о состоянии и поведении проектируемого объекта в одной точке пространства внутренних Xи внешних Q параметров. Очевидно, что для оценки свойств проектируемогообъекта этого недостаточно. Нужно выполнять многовариантный анализ,1083.3. Методы и алгоритмы анализа на макроуровнет. е.
исследовать поведение объекта, в ряде точек упомянутого пространства,которое для краткости будем далее называть пространством аргументов.Чаще всего многовариантный анализ в САПР осуществляется в интерактивном режиме, когда разработчик неоднократно меняет в математическоймодели те или иные параметры из множеств X и Q, выполняет одновариантный анализ и фиксирует полученные значения выходных параметров. Подобный многовариантный анализ позволяет оценить области работоспособности, степень выполнения условий работоспособности, а следовательно, степеньвыполнения ТЗ на проектирование, разумность принимаемых промежуточныхрешений по изменению проекта и т. п.П р и м е ч а н и е .
Областью работоспособности называют область в пространствеаргументов, в пределах которой выполняются все заданные условия работоспособности, т. е. значения^сех выходных параметров находятся в допустимых по ТЗ пределах.Как упомянуто в гл. 1, среди процедур многовариантного анализа можновыделить типовые, выполняемые по заранее составленным программам. К таким процедурам относятся анализ чувствительности и статистический анализ.Наиболее просто анализ чувствительности реализуется путем численного дифференцирования. Пусть анализ проводится в некоторой точке Хном пространства аргументов, в которой предварительно проведен одновариантныйанализ и найдены значения выходных параметров yj ном. Выделяется TV параметров-аргументов xt (из числа элементов векторов X и Q), влияние которыхна выходные параметры подлежит оценить, поочередно каждый из них получает приращение AJC,, выполняется одновариантный анализ, фиксируются значения выходных параметров у и подсчитываются значения абсолютныхА!,= (У, ~.У,но„)/А.х,и относительных коэффициентов чувствительностиjtJ II НОМ 'У]НОМ*Такой метод численного дифференцирования называют методом приращений.
Для анализа чувствительности, согласно методу приращений, требуетсявыполнить./^ 1 раз одновариантный анализ. Результат его применения—матрицы абсолютной и относительной чувствительности, элементами которых являются коэффициенты Л,, и BJt.П р и м е ч а н и е . Анализ чувствительности — это расчет векторов градиентоввыходных параметров, который входит составной частью в программы параметрической оптимизации, использующие градиентные методы.Цель статистического анализа — оценка законов распределения выходных параметров и (или) числовых характеристик этих распределений.
Случайный характер величин у обусловлен случайным характером параметров элементов х:, поэтому исходными данными для статистического анализа являютсясведения о законах распределения х:. В соответствии с результатами статистического анализа прогнозируют такой важный производственный показатель,1093. Математическое обеспечение анализа проектных решенийОРис. 3.8. Иллюстрация определения процента выпуска негодных изделийкак процент бракованных изделий в готовой продукции (рис. 3.8). На рисункепредставлена рассчитанная плотность Р распределения выходного параметра У, имеющего условие работоспособности Y < Т, заштрихованный участокхарактеризует долю изделий, не удовлетворяющих условию работоспособностипараметра у.В САПР статистический анализ проводится численным методом — методом Монте-Карло (статистических испытаний). В соответствии с этим методом осуществляется ./V статистических испытаний, каждое статистическое испытание представляет собой одновариантный анализ, выполняемый прислучайных значениях параметров-аргументов.
Эти случайные значения выбирают в соответствии с заданными законами распределения аргументов jc(. Полученные в каждом испытании значения выходных параметров накапливают,после N испытаний обрабатывают, что дает следующие результаты:• гистограммы выходных параметров;• оценки математических ожиданий и дисперсий выходных параметров:• оценки коэффициентов корреляции и регрессии между избранными выходными и внутренними параметрами, которые, в частности, можно использоватьдля оценки коэффициентов чувствительности.Статистический анализ, выполняемый в соответствии с методом МонтеКарло, — трудоемкая процедура, поскольку число ./V испытаний приходится выбирать довольно большим, чтобы достичь приемлемой точности анализа. Другаяпричина, затрудняющая применение метода Монте-Карло, — трудности в получении достоверной исходной информации о законах распределения параметров-аргументов xt.Более типична ситуация, когда законы распределения *( не известны, но сбольшой долей уверенности можно указать предельно допустимые отклонения Дд^ параметров xt от номинальных значений х,ном (такие отклонения частоуказываются в паспортных данных на комплектующие детали).
В таких случаях более реалистично применять метод анализа на наихудший случай. Согласно этому методу, сначала выполняют анализ чувствительности с цельюопределения знаков коэффициентов чувствительности. Далее осуществляют»!1103.3. Методы и алгоритмы анализа на макроуровнераз одновариантный анализ, где т — число выходных параметров.
В каждом варианте задают значения аргументов, наиболее неблагоприятные для выполненияусловия работоспособности очередного выходного параметра у ,j е [1 : т].Так, если у < Т и коэффициент чувствительности положительный (т. е.sign(.8,,) = б) или^ > Г и sign(5,,) = 1, тох I = х I НОМ+ А*I ,'иначеследует заметить, что, проводя анализ на наихудший случай, можно получить завышенные значения разброса выходных параметров, и еслидобиваться выполнения условий работоспособности в наихудших случаях, тоэто часто ведет к неоправданному увеличению стоимости, габаритных размеров, массы и других показателей проектируемых конструкций, хотя и гарантирует с запасом выполнение условий работоспособности.Организация вычислительного процессав универсальных программах анализа на макроуровнеГраф-схема вычислительного процесса при анализе во временной областина макроуровне представлена на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
