Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. - Ansys в руках инженера (1050659), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Объяснение методики работы с системами конечных элемен- >~ тов, соединенных между собой как последовательно, так и параллельно, будет дано в гл. 2. /ц/с.!З4 Рис.1З5 Ступенчатый стержень (рис. 1.34) с двумя сгупснями одинаковой длины 1 и площадью,', поперечного сечения сгупсней А и А жестко заделан с левого торца и нагружен на про-, ! 2 тивоположном торце осевым усилием Р . Определить перемещения сечений !, 2 и 3. Разобьем стержень на два элемента (участка) !, 2 и введем на границах элементов уз- лы !, 2, 3, в которых будем отыскивать неизвестные перемещения И. Таким образом, 1 ступенчатый стержень будем моделировать двумя последовательно соединенными стерж-: невыми конечными элементами.
Рассмотрим отдельно стержневой элемент, изображенный на рис. 1.35. Он имеет 1 длину 1, площадь поперечного сечения А, в узлах приложены усилия Р и Р, от кото- 1 ! 2' рых эти узлы имеют осевые перемещения и! и Н2. Запишем для элемезпа на рис. 1.35 1 соотношения, очевидные из курса сопротивления материалов; Р= (и — и), Р= (и2 — и/), или то же в матричной форме: или (Р)= (ККи ), (1.17) ,' где Ь вЂ” модуль упругости материала Стержня. Матрица (К~, связывающая между собой в (1.17) узловые усилия и перемещения, но.
~ сит название матрицы лсесшкости элемента. Составим уравнение равновесия для всего стержня, изображенного на рис. 1.34, объе- ~ динив соотношения для эвементов ! и 2, записанные с учетом (1.! 7). Так как стержень со- стоит из нескольких элементов,то естественно предположить, что матрица жесткости всего стержня должна включать в себя матрицы жесткости образующих его элементов., Как будет показано ниже, д/ш данной задачи главные диагонали матриц жесткости эле- ментов должны совпадать с главной диагональю глобальной (общей) матрицы жесткоств всего стержня и состыковываться в узле 2 (см. Рис. 1.34). На основании (1.17) общую систему уравнений равновесия можно записать в аиде: А! — А Π— А! А+А — А Π— А А и тле Н! — пеРемсптсние гъго Узла всей системы.
Н (1 15) и в узле 3, а усилие Р! (Реакция опоры) — в узле !. Узел 2 свободен от внешних нырузок. Теперь следует наложить граничные условия в перемещениях, а именно: и = О. Эп> ! достигается замещением 1-й строки и 1-го столбца нулями и помещением на главную диагональ любого числа, отличного от нуля: н / — Р ! и2 — — О О О О А +А — А Π— А А 1з Решением этой системы линейных алгебраических уравнений является: Р1 Р1( 1 1 $ и шО!и = /и = — — + — ~. Зз — ы Х г и1 1 1 1 2.1.
Тины конечных элементов в узле /: ) . = /С !(И . — И. ), или то же в матричной форме , или йн = й (2.1) 1 Глава 2 Типы конечных элементов. Стержневой и балочный элементы. Липейнаи задача Существует большое количество разнообразных типов конечных элементов (в программе АЖУУо — около 100). На рис. 2.1 показаны лишь некоторые из них. Задача рмбиения тела на конечные элементы неоднозначна. В некоторых случаях (например, в Случае расчета ферм) конструктивные элементы таковы, что совпадают с конечными элементами. Так, всю ферму можно модеб) лировать линейными стержневыми элеи) ментами (рис. 2.1 а), Такими же эле- ментами можно моделировать различРис.2.1 ного рода упругие конструктивные эле- менты (пружины, стержни, тяги и т. п.), а также системы трубопроводов.
В этих случаях моделирование конструкции не представляет особого труда н состоит в выполнении некоторого объема работы по стандартным правилам. Гораздо сложнее выполнить зту операцию для двумЕрных или трехмерных областей. Здесь, прежде всего, нужно выбрать тип (или типы) конечных элементов (например, рис.
2.1 б, в), наилучшим образом аппроксимирующие исследуемую область. Плоские двумерные элементы (рис. 2.1 б) применяются, в основном, для моделирования мембран, тонких пластин, тонкостенных оболочек и т. п. Объемные трехмерные элементы (рис. 2.1 в) применяются, в основном, при исследовании полей температур, деформаций, напряжений в массивных телах и т. п. На приведенном выше рис.2.1 все элементы имеют прямые стороны, а узлы помещены иа концах элемента (рис. 2.1 а) или в вершинах !глав (рис. 2.1 б, в). Таким образом, каждый элемент (или его сторона) ограничен соседними узлами и вся область будет аппроксимирована линейными элементами.
Это наиболее простые элементы. Напомним, что значение искомой функции в узлах считается известным. Соотвстствующнй этому элементу аппроксимирующий полинам (функция элемента), опрсделяемый по значениям функции в узловых точках эле- И) б! мента, будет линейным, т, к. он будет строиться по двум Рис.2.2 точкам. Можно образовывать элементы с числом узлов вдоль одной стороны более двух (рис. 2.2). В этом случае введение одного или нескольких дополнительных узлов позволяет сделать стороны элементов криволинейными.
Такие элементы являются более точными, т. к. функции элементов будут строиться уже не по двум, а по трем (рис. 2.2 а, б) или четырем (рис. 2.2 в) точкам и, следовательно, будут являться полиномами второй или третьей степени. 2.1.1. Линейный упругий элемент. Матрица жесткости Начнем подробное рассмотрение типов конечных элементов с модели одного из про стейших типов — упругого линейного элемента (например, упругой пружины), Схема ко торого приведена на рис. 2.3. Основные положения метода конечных элементов Элемент ограничен двумя узлами, обозначенными как ! и ) .
В этих узлах приложены с„лы 1 !1 и )) [Н), соответственно. Этн силы ,„,„ще у ви;ии [м[( Рис.2. 3 [мм)). Элемент характеризуется жесткостью 1Г [Нум), т. е. силой, необходимой для его деформации на единицу длины. Таким образом, зависимость силы от деформации запишется как 1 . = 1г хЗ, где 21 = И . — И.
(удлине- .1 1 ние элемента). При этом удлинение равно разности перемещений концов элемента .— .). 21 = и . — и. ). принято, что сила положительна, сели ее направление совпадает с поло! жительным направлением оси х. Рассмотрим силы, действующие в узлах данного элемента: в уз е !': );. = [С(И,. — И .); Здесь 1г — матрица жесткости; н — вектор смещений; 1 — вектор сил Заметим, что матрица жесткости й — аимметричная матрица. )г1 2 У,Р З,РЗ 1* 1 2' 2 Рис.2. 4 Для элемента 1, согласно (2.1), можно записать; 2.1.2. Система упругих элементов. Матрица жесткости системы элементов Рассмотрим систему из двух последовательно соединенных упругих элементов, схема которой приведена на рис 2эй ~1 -/С1 И1 А' Аналогично для элемента 2; [-".
".Ы=Й цветь 1 Основные положения метода конечных элементов 34 Здесь 1 — внутренняя сила, действующая на 1 -й узел элемента ГИ (! = 1,2,3, дэ = 1,2). Поскольку на узел могут действовать несколько сил, то введем новое обозначение Р; для сил в узлах. Итак, на узлы действуют силы ! 1 2 наузел1: Р = 3; наузел2: 1'2 =)2 + )21 цаузел3: Рз — — 13 .
! 1' Для састанления матрицы жесткости системы элементов раасмотрим равновесие сил, действующих на каждый из узлов: Р ж)си — /си; (узел 1) — +~И +~ г 2 23' (узел 2) )с — )с Π— О О )с ~-)с — )с и — л- и 2 2 3 (узел 3) О Г 3 ~ )с — 1с ~ О 1 ! ! !(32 0 ~ — 1с 1с 2 2 (2.2) (2.3) 1 где й — матрица жесткости системы элементов. Из условий равновесия ясно, что если в узле нет внешней силы (или реакции опоры), то для него Е = й Одновременно укажем, что сумма сил в столбде Е уравнений (2.2) равна нулю. Для наглядного представления о способа получения матрицы жесткости системы элементов в приведенном выше матричном уравнении пунктирными линиями выделены матрицы жесткости 1 и 2 упругих элементов в отдельности. Видно, что так же, как и элементы в конструкции, матрицы жесткости элементов «сцеплсны» в общем узле 2. Таким образом, главные диагонали матриц жесткости элементов совпадают с главной диагональю общей матрицы жесткости. Видно, что на диагонали стоят суммы жесткостей элементов, примыкающих к данному узлу.
Для введения граничных условий предположим, что узел! на рис. 2.4 жестко закреплен (в нем сила Е, — реакция опоры), а в узлах 2 и 3 приложены силы Р. В этом случае; и! = О, Рг = Р3 — Р и мы получим: с )с — )с о — )с )с + )сг — )сг о Отсюда; Здесь неизвестными являются Г, и, и Г = — )с и ф )с и, 2 3' или вматричной форме: Решая приведенную выше систему уравнений, получим: и, = 2Р~)с!1 и ю2Р(с)с + Р~)сг; Р = — 2Р. д теперь вернемся к схеме ступенчатого стержня„изображенной на рис. 1.34. Расаьвггрим его как систему из двух последовательно соединенных упругих элементов с же- Е 4 Е'Аг сткосгями 1с, = — и )сг = 1 Учтем следующие граничные условия: в узле 3 приложено усилие Р, в узле 1 действуег реакция опоры Р1, узел 2 свободен от внешних нагрузок, смещение в узле 1 и = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
