Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. - Ansys в руках инженера (1050659), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Следовательно,матрица перехода 7 Глобальную систему координат выберем так, чтобы ее оси Х У совпадали по направлению с осями х, у локальной координатной системы для элемента 1. Для этого элемента можно записать матрицу жесткости в глобальных координатах, подставив в формулу чи- еловые значения (х!Оя): у1 01 п2 т2 02 165 О О -165 0 О О 0,21 0,84 Р— 0,21 0,84 -0,84 2,25 О 0 0,21 — 0,84 О 0,84 4,5 О -165 О О 165 /о~= 41""= 0 -0,21 -0,84 О 0 0,84 2,25 0 — 0,84 4,5 Для элементов 2 и 3 матрица жесткости в локальных координатах выглядит следуюшим образом; 12Е1 Х3 6ЕХ 12 ЕА О 6ЕХ вЂ” 0 12 4Е1 — о Ь ЕА о 6Е1 12 2ЕХ вЂ” 0 Х 12ЕХ Ху 6ЕХ Х,2 12Е1 ,3 6ЕХ Х2 6ЕХ 12 2ЕХ Л 6Е1 12 4Е1 Х, О впалые положения метода конечных элементов где 1 = 3, 1 = ) для элемента 2 и 1 = 4, 1 =2 лля элемента 3.
На основание 12.)2) матрица 7 перехода от локальной к глобальной системе координат для рассматриваемой коншрукции булат иметь аид: Для обоих элементов 2 н 3 змеем: 1 = О, и для даинои задачи прнинмает анд; ' Применяя формулу (237) для перехода от локальной сисюмы координат к глобальной, получаем окончательно вьгражения,~я матриц жеш.кости элементов 2 в 3 в глобальной системе координат: Часть 1 50 3 141 и1 1 (элемент 2) 4 и2 2 2 (злеменг 3) — 2,16 — 0,86 0 — 2,16 0 0 -264 0 7,2 2,16 0 3,6 — 216 0 -006 О 3,=0,.-1О х 6 Для составления глобальной матрицы жесткости всей конструкции сначала покажаа мссто в ней локальных матриц жесткости каждого из элементов (незаполненные ячейка имеют нулевые значения): для элемента ! )х104). и1 г! 01 и2 гг 02 и г д и г О 3 3 3 4 4 4 У д т 3 О, 2 О, г 3 д 4 О, для элемента 2 (х!04): и) 31 д! иг 2 3 3 3 4 4 4 И г Ь и 1 1 О, и3 гу 0,86 О 0 264 2,И О,В6 О 2,И 0 0 264 О 3,6 2,16 О 7,2 и УЗ '3 для элемента 3 ) х104): и о О и о д и г О и и О 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 и, У О, Глобальная матрица жесткости получается путем сложения трех приведенных выше матриц )х10"): и ! О, и 2 2 0 2 и 3 3 Часть ! Основные положения метода конечных элементов „кя элемента 3; 4Х Г М о 10' х З 1О ' -1,010 ' — 1,6 10 Отметим, что слагасмые коэффициенты исходных матриц элементов могут отличать.
ся по величине на несколько порядков (к вримеру, коэффициенты при и1. 165 10' и 0„06!Ос). Фактически, это свидетельствует о том, что сопротивление элемента 1 перемещению узла 1 в направлении Х в сотни раз больше, чем у элемента 2. Введем граничные условия: из = гз = 03 = и4 = г4 = д4 = О; п)х = 3000 Н, Г2 = О, 81 = гуу = -2000 80 и, = -2666,7 н и, = 2666,7 нщ, -2000 2666. 7 Решение этих систем уравнении дает ~РЗХ1 — 892,8 Н И З5ЗЗ1 Н м 2739,9 Н 4988,0 Н.м Учет граничных условий позволяет получить следующую систему уравнений; 165,86 О 2,16 0 264,21 0,84 2,16 0,84 П,7 — 165 О 0 0 -0,21 — 0,84 0 0,84 2,25 Для проверка правильности решения задачи покажем раму и все действующие на нее ншрузки, включая внешние силы и моменты снл, а также определенные выше реакции опор (рис.
2.20). Проверка условий равновесия ди действующей на раму проювольной плоской системы сил 3 показывает незначительное несоответствие, вызванвое ошибками округления при вычислениях. 3000 У1 д, 106 Решением этой системы являегся; 2,84 10 м — 477 10 м и! 01 и2 — 7,23 10 )зад 2,83 10 м У2 д, — 1,04 10 м — 1,56 10 )зад Для определения опорнмх реакций составим и решим матричные системы уравнений равновесия для элементов 2 и 3: для элемента 2: -2,16 -0,86 0 — 2,16 0 0 -264 0 7,2 2,16 0 3,6 2,16 0,86 О 2,16 0 0 264 0 3,6 2,16 0 7,2 О О 106 х 3 10 3 — 48 10 — 73 10 — 2000 — 2666,7 д И 4 У д, 0,86 О О 264 — 216 0 -0,86 ΠΠ— 264 — 216 0 — 165 0 О 0 — 0,21 0,84 0 — 0,84 2,25 165,86 0 2,16 0 264,21 — 0,84 2,16 — 0,84 11,7 — 2000 — 2666,7 Π— 2000 2666,7 д 3!' М 3000 086 0 О 264 — 216 0 -086 0 0 — 264 — 216 Π— 2,16 — 0,86 Π— 2,16 О 0 — 264 О 7,2 2,16 0 3,6 2,16 0,86 О 2,16 ~ 3,6 2,16 0 7,2 (3.5) т.е (З.б) (3.7) - — 1 1 ~1( !31 е1В1)ыг)1 1 ~и (3.8) или в матричной форме: и=~Я к =(м((и~ 1'~ц ) )1'= — 111 + — 2" и = — (01 (1').
211 2 11 2 (3.9) (3.3) (3.10) (3.11) Матричная форма запали основных соотношений теории упругости для плоскоя (двумерной) задачи приведена в п. 1.3 главвя 1, В п,2.2.1 главы 2 было получено выражение двш матрицы жесткости стержневого элемента. Получим это жс выражение, нсполшуя так казыааемые «фунщии формы», й дальнейшем этот подход будет использоваться нами а других, более сложных, случаях.
рассмотрим стержневой элемент длиной Х, ололгадью поперечного сечения А, с моду. лем упругости матерншш Е. Элемент имеет но концам узлы 1„в (рнс. 2.5). Введем а рассмотрение слсдузолвие две лнвевные фунщиш где 9 — отвосительнгя коорднната точки элемента а локальной системе коордннат 9 ш х)Ь, 0 <~ <1. С учетом (2.9) смещение м (Х) молвно записать следующим образом: ливвейвые функции вхвв (и 1, Лв, (9 ) в (3.1) назыамотся функциями формы сп:ржке. в ного элемента (нх пыже называют ннмсрлолируювйимн влн аллрокснмируюи1ими). По су.
ти дела, они дсйставтелыю служат для шггерпощцни нскомой величины (а данном слу. чае — перемещений) в пределах элемента. Как видно вз (3.1), фунщии формы обладают следуювцимн свойствами: !) ~Л(, =1, (ЗА а) т. е. сумма функций формы по лссм узлам элемента тождественно равна 1; т. е. функция формы равна 1 а одном яз умов н 0 — а оствшьввьвх. Лншвогичньве функцнн используются и щш ннтерлоляцни координат произвольной точки а пределах элемента„бели швя интерполяции координат и перемещений использу. ются одни и те жс узльв и, следовательно, одни и те жс интерлолирующнс функции 1вв, тс таков элемент называется шоларамстрнчсскнм. Мзввпарамсврические элементы получала наибольшее распространенне а салу олредслевньвх удобств прв разработке программ.
С учетом введенных функций формы оввоснтсльвыс деформации можно записшь следующим образом: )евонные положения метода конечных элементов сй (1 Е = — = ~ — М (и1= (В)(и1, Ыд сй , г!с (В ( — матрица дифференцирования перемещении: (В1ш — ~ж,Ы) 1((1©)= — (1((,Ы) 1!'1Ы)1 —, (В (= (-1(Е 11Е 1 Напряжения запишем следующим образом: су = Ее = Е( В )(и 1. С учетом (3.5) и (3.7) энергия деформации стержневою элемента; т В 1((~„~т(В(т ( ((„в1) 21 21. В то же время работа, совершаемая силами / и у, приложенными в узлах / (рис.
2.1), составляет; Однако для консервативных систем должна выполняться: У= 6'. Подставляя (3 8) и (3 9) а (3.! О), получим: — (и1 1 ( (В~ Е(В( )Л' (и(= — (и1 (1'Д. 2 2 Таким образом: с !(! !'л! ! ) )! 1=!г1 - ! И 1-!У). и где ( 1с ~ — матрица жесткости элемента: ((у~т ( !) , где модуль упругости Е постоянен по всей длине элемента. Формула для матрицы жесткости в общем виде (ЗЛ!) может быть использована для Г ичных типов элементов.
В частности, для стержневого элемента после подстановки В ( по(3.6) а(3.11) получим: (1(ш(1 )Е(-11Е ЦЕ(А1 =~ . ( — 1!Е'( Елв 1 — 11в 0(И 1 т(асть 1 62 ()анониме положения метода конечных элементов Это выражение полностью совпадает с полученной ранее формулой (2.6).
Формула для матрацы яшсткостн в форме (3.11) может быть получена и др!тими не, тодами; например, используя пригщип мивнмума потевцвшгьнов зноргив. Заметим, что на основании (3.3) н (3.11) энергию деформации элемента можно запя, сать в виде: (1 = -(и1'(Ь 'й4 2 ,илн (и1=' ~1() $С1 1, (3.13) 0 1)г 0 1у" 2 здесь ~ Ж ) — мгшрвца функций формы, (и 1 — — вектор смещений в любой точке элемента, (41 1г — вектор перемен!сниц узлов. при этом, естественно, делается предположение, что перемегценнс в нааравлсвин и а произвольной точке внутри элемента зааясит только ат и-перемегцевнй улзоа.
Та жс считается всрнмм и для перемещений а ва. правлении У. Учитывая (1.14), вектор деформаций можно записать следуюгцнм образом: 1! Е 1) = ~ В )3( И !) ш ~ В !)! (М $ ых )Т, илн 1( Е )(= (1 В И!1 Г( )1. Здесь ~В ~ = (ь) )(1у ~ — матрица дифференцирования аоремегцеиий. Рассмотрим энергию деформации элемента. Аналогично (3.8) ма>хна зааисать: (1= — Цо1 Кй)х=- — ~р г +о е +г у )!и')х= 1 х х г г хг ху =-)" ((Вйе))'й (Р =- — 1й'И Р)' = 2!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
