Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. - Ansys в руках инженера (1050659), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Этот поливом, связанный с данным элементом, называют «функцией элемента». С этой точки зрения конструкцию можно рассматривать как некоторую совокупность конструкционных элементов, соединенных в конечном числе узловых точек. Если известНы соотношения между силами и перемещениями для каждого отдельного элемента, то, исполюуя известные приемы строительной механики, можно описать свойства и исследовать поведение конструкции в целом.

В сплошной среде число точек связи бесконечно, и именно это составляет >юновную труднссп* получения численных решений а теории упругости. Понятие кконечных элементов>> представляет собой попытку преодолеть эту трудность путем разбиения сплошного тела на отдельные элементы, взаимодействующие между собой только в узловых точках, в которых вводятся фиктивные силы, эквивалентные поверхностным напряжениям, распределенным по границам элементов. Если такая идеааизация допустима, то задача сводится к обычной задаче шроитеаьной механики, которая может быть решена численно. Таким образом, при использовании МКЭ рсшсиис краевой задачи для заданной области ищется в виде набора функдий, определенных на некоторых подобластях (конечных элементах). 1.4.2.

Основные этапы практической реализации Как было отмечено ранее, согласно МКЭ, модель конструкции сложной формы подразделяется на более мелкие части (конечные элементы) сравнительно простой формы, в пределах которых ищется приближенное решение. Результатом такого моделирования обычно является поле напряжений и сме>цений в целой конструкции. Таким образом, решение задачи с применением МКЭ состоит из следующих основных этапов (рис. 1.7): >г' ж 3 1) идентификация задачи, присвоение ей имени; с>адание чертежа коншрукции и нагрузок; 2) создание геометрии модели, пригодной для МКЭ; 3) разбиение модели на сетку конечных элементов; 22 т(асгь 1 Основные положенив метода конечных элементов 4) приложение к модели гравичиых условий (закрепление на границе или граничные нагрузки); 5) численное решение системы уравнений (автоматически); б) анализ результатоа.

Зтапы 1, 2, 3, 4 относятся к препроцессорной стадии, этап 5 — к процессорной ста. дии, этап 6 — к постпроцессорной стадии. Построенная модель делится на конечные элементы достаточно простой формы. Имеются несколько типичных форм конечных элементов, в которых поле смещений определяется по смещениям узлов с помощью некоторых интерполяционных функций. По вычисленным таким образом смещевням определяются поля напряжений и деформаций. Наиболее трудоемкий этап решения задач с помощью МКЗ вЂ” это создание конечно- элементной модели на стадии прспроззессорной подготовки (рз аргос«шаг), т.

к. автоматическое построение сетки элементов не гарантирует от появления ошибок. Правильное приложение нагрузок и граничных условий также представляет определенные трудности, Пятый из перечисленных Выше этапов (численное решение системы уравнений) выполняется автоматически и, как правило, особых трудностей не вызывает (за исключением систем с плохо обусловленной матрицей жесткости).

Шестой этап (анализ результатов) существенно облегчается имеющимися мощнымн инструментальными средствами визуализации результатов. Е а,н Ствлвлл свободы ' [(1 8, 'Ф Уравневке щ + ж 1 2 равлозвтзя Рис.1.8 Учитывая то, что в конечно-элементных задачах неизвестными являются перемещения в узлах, а также то, что в трехмерных задачах каждый узел тезрагонавьного элемента мажет имен персмегцеиия по трем направлениям (рис. 1.8), система уравнений равновесия, записанная в матричной форме, может иметь размерность, достигазощую 100000 и более. Однако для современных ЗВМ решение таких снсшм уравнений — вполне посильная задача.

При составлении уравнений равновесия учитывается, что сумма проекций всех сил на каждую из координатных осей равна нулю, а сумма внутренних сил равна внешней силе с обратным знаком. В трехмерных моделях число узлов обычно больше числа элементов, а число степеней свободы в 3 раза больше числа узлов (за исключением числа кинематических граничных условий). Матрица жесткости [К) связывает векторы узловых смещений [(р) и нагрузок [Р). Матрица жесткости является симметричной диагональной матрицей, что существенно облегчает се обработку. 1.4.3.

Конечные элементы Как следует из основной концепции МКЗ, вся модель конструкции (или отлельной ее части) делится на множество конечных элементов, соединенных между собой в вершинах (узлах) (рис. 1.9 а, б). Силы действуют в узлах. Конечный элемент не является «абсолютно жестким» телом. Рг а) Узлы Зввмент и / Рис.1. Р Конечно-элементная модель предполагает, что напряжения и деформации имеются и вне данного конечного элемента. Имеются несколько наиболее употребительных типов конечных элементов (рис. 1.9 в): брус (А), стержень (В), топкая пластина или оболочка (С), двумерное или трехмерное тело (П). Естественно, что при построении модели могут быть использованы не один, а несколько типов элементов. Достоверность расчетов по МКЗ зависит от многих факторов, в том числе н от количества конечных элементов.

Однако, если напряжения не меняются значительно в пределах модели, то количествО конечных элементов нЕсущественно влияет на точность вычисления 17орядок зшмвлтов напряжений. 1 11 111 Конечные элементы могут быть линейными (элементы первого порядка) или параболи- )( 8- ~~.:.з!![~' ческими (элементы второго порядка) (рис. 1.10). Линейные элементы имеют прямые стороны и узлы только в углах. Таким образом, минимальное число узлов трехмерного элемента равно 4.

Параболические элементы могут иметь промежуточный узел вдоль камшой из сторон. Рис.1.10 Именно благодаря этому стороны элемента могут быть криволинейными (параболическими). При равном количестве элементов параболические элементы дают большую точность вычислений, т. к. они более точно воспроизводят криволинейную геометрию модели и имеют более точные функции формы (аппроксимирующие функции). Одаако расчет с применением конечных элементов высокик порядков требует больших компьютерных ресурсов и большего машинного времени. Рассмотрим самый простой трехмерный линейный элемент с 8 узлами (рис. 1.! 1). Кшкдый из узлов имеет 3 степени свободы.

Зто означает, чта необходима рассмотреть 24 узловые смещения и столько же узловых сил. Таким образом, размерность матрипы жесткости [гь ), связывающей вектор узловых смещений с вектором узловых снл, будет [24 х 24). Компоненты матрицы жесткости обратно пропорциональны модулю упругости. Таким образом, нулевой модудь упругости означает отсутствие конечного элемента (рис. 1.12). В этом случае деление на нулевой модуль упругости приведет к значительным погрешностям. Бесконечно большой модуль упругости означает, что данный элемент является абсолютно жестким.

Кроме того, если теория упругости допускает бесконечные напряжения (например, в вершине трещины), то в МКЗ напряжения всегда конечны. Несколько замечаний относительно соотношения между сторонами элемента. «Длинные» элементы с соотношением сторон 2 и более (рис. 1.13) можно использовать, если не Часть 1 Основные положении метода конечных элементов Х ц Модуль упругаепьи В Я = ьз йШ, Вагыажпа Непраеипьпа )'ггс.1.

12 а) б) размер зпеьыюпа К мм 1ггс.1,15 Ьььа и 2 д а а Ь а Вагыажпа Нгаха Рис.1.13 Рис.1.14 е) г) д) е) Рис.1.17 ,тапуежиыа Нг дапуспьиыа Рис.1.19 чаевая егпька ожидаются большие градиенты смещений, деформаций и напряжений, т. е. вдми от зоны действия концентраторов напряжений. Схыи!ения Силы Если конструкция и ншрузки симметричны относительно оси, как показано, например, на рис.

1.14, задача может быть решена с помощью плоских симметричных коночных элементов. 1.4.4. Построение сетки конечных элементов Одним из наиболес важных этапов в конечно-элемевтвом анализе является построение на модели сетки из конечных элементов, т, е, разделение всей модели ва маленькие кусочки (конечиые элементы), связанные меящу собой в узлах. В программном комплексе АНВУВ имеется два основных метода построения сетки; построение произвольной сетки (рис.

1.15 а) и построение упорядоченной сетки (рис. 1.15 6). Произвольная сетка строится автоматически, при этом соседние элементы могут существенно отличаться по размерам (рис. 1.15 а). Упорядоченная сетка строится путем деления геометрических элементов модели на некоторое число частей (рис. 1.15 б). В автоматически построенных сетках с большим числом элементов число узлов преобладает над числом элементов.

Отношение между узлами и элементами, примерно, 2:1 для плоских произвольных сеток и 6;1 для произвольных трехмерных сеток с чегырехграивыми элементами. Очевидно, что чем меньше линейный размер конечного элемента й (рис. !.16), тем большее количество элементов в модел, при этом время вычислений экспоненциально возрастает, а ошибки анализа уменьшаются. Однако, ошибки уменьшаются не ло нуля, т. к, с увеличением числа элементов накапливаются ошибки округления в ЭВМ, Практика расчетов с применением МКЭ позволяет дать следующие рекоменлации (рис. 1.! 7): 1) ливейные элементы требуют более частой сетки, чем квадратичные элементы (с одним промежуточным узлом) или кубичныс (с двумя промежуточными умами); 2) упорядоченная сетка (б) являсгся более предпочтительной, чем произвольная сетка (а); 5) прямоугольная сетка с 4 узвами (е) более предпочтительна, чем сетка с треугольными элементами (б); 4) сетка треугольных элементов с промежуточными умами (г) имеет, по вредней мере, ту же самую точность, чго и сетка прямоугольных элементов с 4 узлами (а); 5) прямоугольная сетка с В узлами (д) является более предпочтительной, чем сетка тре,льльных элементов с промежуточными узлами (г), несмотря на больший размер прямоугоаьиых элементов; 6) аппроксимация смещений кубическим полиномом (е) не требует более мелкой сетки.

Характеристики

Список файлов книги