Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. - Ansys в руках инженера (1050659), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Существуют неоднородиыс материалы с размером неоднородности значительно большим, чем у металлов, например, бетон. Но и изделия из таких материалов имеют размеры, по сравнению с которыми размеры структурных элементов пренебрежимо малы. В ряде конструкций такая идеализация невозможна, т. к. она привела бы к неверным результатам расчета. Примером может служить пластинка из биметалла, в которой свойства меняются скачкообразно при переходе границы раздела материков.
Свойства неодноролного материала могут также меняться непрерывно по объему. Примером этого явля- ется неравномерно нагретое тело, в котором свойства материала зависят от температуры, распределенной по обьему непрерывным образом (или с конечным числом разрывов). Определенной идеализации подвергается также и понятие «внешние силыв. В механике предполагается, что сила полносгъю определена, если задан соответствующий вектор, при этом сила рассматривается как результат взаимодействия двух твердых тел, С этой точки зрения вектор силы, действующей на поверхность тела, означает сосредоточенную силу, т.
е, силу, приложенную в точке. Однако, в действительности, «сосредигоченныхв сил не существует. Идеализированное понятие о точечном контакте двух твердых тел неразрывно связано с идеализацией твердого тела как абсолютно жесткого. При контакте реальные твердые тела деформируются, образуя площадку контакта конечных размеров, по которой давление распределяется непрерывно и неравномерно. Однако у достаточно прочных материалов размеры площальи контакта значительно меньше остальных размеров конструкции, поэтому при расчете напряженно-деформированною состояния (НДС) элементов конструкции вдали от площадки контакта ввод идеализированной сосредоточенной силы вполне оправдан. Но при расчете НДС вблизи этой площадки замена распределенного давления сосредоточенной силой приводит к значительным погрешностям.
Таким образом, физическая модель может быть наделена лишь частью свойств реальной конструкции, а поэтому — проще ее математическое описание От того, насколько удачно выбрана физическая модель конструкции, зависит, в конечном итоге, трудоемкость расчета и точность сто результатов. Здесь многое зависит от опыта расчетчика, его понимания работы конструкции, умения выделить те характеристики, которые, в основном, и сир«делают ее работу, 1.1.2, Построение математической модели Следующим этапом расчета является математическое описание поиедения модели, или построение математической модели.
В самых общих чертах она включает в себя входные и выходные данные и математически сформулированный оператор перехода от первых ко вторым. При математическом описании поведения модели часто приходится вводить дополнительные упрощающие прелположения о характере отдельных свойств модели и ее материала. Этим объясняется, в частности, существование для одной и той же физической модели нескольких различных математических моделей. Так, ншгример, если задачей расчета балки из изотропного материала на изгиб является определение лишь нормааьных напряжений, в основу математической теории изгиба достаточно положить гипотезу плоских сечений, по которой плоские до деформации поперечные сечения балки остаются и после деформации плоскими и ортогонавьными к изогнутой оси (техническая теория, или теория Бернулли — Эйлера).
Однако точная теория, построенная Сон-Веианом для нагиба балки сосредоточенными силами, показывает, что, хотя гипотеза плоских сечений и не соблюдается, полученные на ее основе результаты весьма точны для балок, длина которых гораздо больше размеров ее сечения. В то же время, как известно из технической теории изгиба, введение гипотезы плоских сечений позволило описывать деформированное состоянне балки при помощи небольшого чнсла параметров. Для перехода к напряжениям в технической теории изгиба понадобилась еще сделать предположение сб отсутствии взаимодействия между слоями, параллельными оси балки. При математическом описании поведения изотропных пластин также используется ряд гипотез: прямых нормалей, прямой линии, о равномерном распределении касательных напрюкеннй по толщине гшастины и т, п.
1.1.3. Метод исследования математической модели и анализ полученных результатов Часто для математической модели может существовать несколько методов ее исслеДоваиия. Так, напрнмер, дифференциальное уравнение 14 т)леть 1 ()сновные положениа мегода конечных элементов при некоторых краевых условиях образует мате- О(х) магическую модель изгиба непризматнческой балки с изгибной жесзкосзью Е1(х), лежащей Т Т на упругом основании переменной жесткости Т х тг(х) и подверженной действию поперечной Е1(х) й(х) нагрузки интенсивностью гЗ(х) н осевык сил РисЛ.2 Т (рис.
1.2). Исследовать данную математическую модель, т. е. получить решение дифференциального уравнения (1.1) при заданных граничных условиях можно с помощью обобщенного метода начальных параметров, метода Ритца, метода сеток, метода коллокаций, метода конечных элементов и т. д. Выбор метода исследования математической модели может существенно сказатьса на устойчивости алгоритма — чувствительности результата решения к неизбежным погрешностям числовых операций. Например, при расчете достаточно длинной балки, лежащей на упругом основании, использование метода начальных параметров может привести к числовой неустойчивости и большим погрешностям результатов, В то же время использование метода прогонки приводит к устойчивому числовому алгоритму. 1.2.
Элементы матричной алгебры Основные соотношения метода конечных элементов записываются в матричном виде с привлечением ряда операций матричной аагебры. Ниже приводятся сведения, необходимые лля понимания дальнейшего изложения. Напомним, что линейная система алгебраических уравнений имеет вид: а1(Х1 + а(г х + аТЗ х + ... + а,„х„ш Ь, аг( Х1+ ага Хг+ агу ХЗ+ ... +аг„Х„ш Ьг О О ... 1 (1.2) где Ггг Л де~~ ~ = гзы' -лс 1с ы'г ып ып Йе! лп ыч ып ыз .] (1 3) "1 аппп ь "пызгпп ч лныэзып д а(1 а ...
а „ аг1 агг - агл — аол„ын — и„ынлп -ллапап =[.,.,]ш ;ь-(Ь, ~ш (1.4) Х и а а ... а л,1 л,г "' л,л ('ай( — Ьс) А называется квадратной матрицей размером П Х П, а х и Ь вЂ” векторамн размерно. сти П. ( Сложение н вычитание ллшрыл. Для двух матриц А н В олного н того же размера ПЗ Х П) справедливы соотношения: (Е1(х)аг (х)) -Та) (х)+х(х)са~х)шд(х) а„)х +ал х +а„х +...+а„„х„шЬ„ где ХРХг, ..., Х вЂ” неизвестные, « Ту же самую систему в матричной форме можно записать короче: Ах Ь С=АЭВ, при этом С.. =а +Ь..; 1/ 12 зР В=А-В, при этом а.. =а.. — Ь. 12 1/ 1/' Умножение матрицы ыы скалярную величину производится по правилу: Л А = (г(а, Умиожеыые двух лытриш Для двух матриц: А размером (1ХЗП) и В размером ( ПЗ Х П) справедливо следующее соотношение; С=АВ, призтом С..= 2 а.
Ь, 12 зй 1г' где 1 = 1,2,..., 12 1 = 1,2,..., П, Заметим, по в общем случае АВ а ВА, но (АВ)С = А(ВС). Трыислолироаылые матрицы. Транспоннрованной по отношению к матрице А = ! а.. ~ называется матрица А = 1а,!. Заметим, что(АВ) =В А . 12 ' ;33 сымиешричлыя,иытриыы. квадратная матрица А размером (и х и) называется симметричной,сели А=А, нли а.. =а ... 12 /1 Едю~ичлой мышрицей 1 иазыеаегся квадратная матрица вида: ! О ... О Заметим,что А 1=А, ! х =х.
Детерминант !определитель) квалратной матрицы А обозначается через асье, или ! А ~. В частных случаях, для матриц римером (2Х2) и (3Х3) детерминант определяется по формулам; Матрица, для которой бе!А = О, называется сингулярной. Инверсия (обратная матрица) А кеэл(эатиой и нс сингулярной матрицы А (деЬАт-О) ч определяется следующим образом: АА'=А А=1. Заметим, что (АВ) ' = В 'А'. Например: 16 Часть 1 ()евонные положения метода конечных элементов сс( сс( / 1 1с) — са сс1 01' Решение системы линейных уравнений (2.1) в предположении, что матрица А не сингулярная, может быть записано следующим образом: х=Алп Таким образом, основной задачей при решении системы линейнмх уравнений является нахождении инверсии матрицы коэффициентов.
полоясижвлъно определенные матрицы. квадратная матрица А размерности (и х и) называется положительно определенной, если для некоторого ненулевого вектора х размерности (и) выполняется условие: х Ах > О. Дифференцирование и иншевркроваяив матриц. Для матрицы А(1)= (а .. (1) ) диф- 11 ференцирование и интегрирование определены следующим образом: Г с(а„(г)) — А(1)=~ О ~, ) А(1) с(1 =() а, (1) с(1 ~ . 1З. Матричная форма записи основных соотношений теории упругости (и) = '1 и„,и,и, ), (1.5) где и,и,и (или соответственно и, П ж) — проекции вектора перемещений на каорх у динатные оси Х, у, г соответственно. Для двумерной задачи вектор перемещений имеет два компонента: (и)= ~и„,и ).
(1.б) Здесь и далее фигурными скобками ( ... ) будем обозначать вектор-столбец (для экономии места он будет иногда записываться в строчку). Квадратными скобками ( ... ) будем обозначать квадратные и прямоугольные матрицы. | У У Разность перемещений двух соседних точек вызывает деформации в материале и связанные с ними напряжения. В общем случае, деформации и напряжения в а материале конструкции состоят из шести компонентов (рис. 1.3); О,гг,сг, т, г, т — для напряжех' у' х' ху' уя' хх й и г ,г ,г ,у ,у ,у — дл дефорх у х ху ух хх маций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
