Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. - Ansys в руках инженера (1050659), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Рис.1.3 В результате воздействия на тело внешних нагрузок и температуры его точки могут переместиться относительно друг друга в новые положения. В этом случае вектор перемещения для трехмерной задачи можно записать следующим образом: 1.3.1. Плоские (двумерные) задачи Под плоским напряженным состоянием понимают случай; сг ют г р =0 (г,~О). Примером этого может служить плоское тонкое кольцо постоянной толщины, находпцееся под действием внутреннего давления (рис. 1А), Рмс.).4 Рис0.5 плоской деформации говорят в случае: г,=у,=у =О (су,~О). (1.8) Примером может служить длинный цилиндр с постоянной площадью сечения под действием постоянного вдоль оси з внутреннего давления (рис.
1.5). Возможен вариант, в о( г =сопл(~0. 1.3,2. Основные соотношения между напряжениями, деформациями и температурой Для упругих изот)юпных материалов имеем: г О 1/Š— р/Е О ,/Е 1/Е О 0 0 1/6 г х (1.9) г уо У ууо или (г )= [Е ) (гг )+ г где г — начальные деформации, Š— модуль упру- О" О гости, р — коэффициент Пуассона, ьг — модуль сдвига. Заметим, что: 6= Е (1.10) 2(1+1) Анализ (1.10) показывает, что для однородных изотропных материалов существуют две независимые константы, описывающие механическое состояние материала. Решив систему уравнений (1.9), получим зависимость напряжений от деформаций: 1З 1 Е У 2 1 — у о Е 0 1 0 0 (1 — у)/2 хо Е Ууо (1.12) 1З.5. Граничные условия Е х 1 — у у О 1 — у О на О, х х' у у У У (1.11 а) УО (1+ у)(1-2у) О О )1 — 2у)/2 Ууо ЕО аАТ уо (!.13) Ууо !,4,1, Основные понятия 1.3.3.
Соотношения Для малых деформаций и е =ди/дх, е =ау/ау, у х Е х а/а. — О а/ау Е У или г! гг )= ) е Це )+ т! гг ), где г! гг )= — ) е)г(е ) — начальные напряжения Принеденные выше формулы справедливы для случая плоского напряженного состояния. При плоской деформации выражения для постоянных материала в формулах необходимо заменить на следующие выражения: Е У Е вЂ” а, у — у —, ьг — эб. 1 — у 1 У 2 ' Например, связь между напряжениями и деформациями для случая плоской деформации: Начальные напряжения вследствие изменения температуры определяются по формуле где ц — коэффициент термического расширения, Гз Т вЂ” изменение температуры.
Заме- тим, что если температурные деформации не стеснены, то при изменении температуры в конструкции не возникают упругие термические напряжения. между деформациями и смещениями смещений имеют место следующие зависимости: = ди/аУ + дУ/дХ, или в матричной форме: д/ду, (е)=(Х>](и). (!И4) д/дх Согласно теории упругости, напряжения в элементе объема должны удовлепюрять Ледуюпгим уравнениям равновесна: дт д7 — '+- ху+/; =О, дх ду ар асс (1.15) 'У+ '+У =О, дх ду где /', 1' — объемная сила (наврнмер, сала тяжести) на единицу обьема.
х у Граница Я тела может быть разделена на две части (рис. 1.б): Я и Я . Тогда гра- н ничные условия можно записать как: и=и, Р=Д нала; у * и где 1, ! — заданные силы (нли напряжения) на учах у стке границы Я, и, У вЂ” заданныс смещения на учах стке границы О (кинсматическне граннчные условия).
Рмс0.6 и В МКЭ все виды нагрузок (распределенные повсрхносппле нагрузки, обьемные силы, сосредоточенныс силы и моменты н др.) приводятся к сосредоточенным силам, действующим в юлях. 1А. Идея и область применении методл конечных элементов. Основные этнпы црактичесиой ревлизвции Возникновение МКЭ связано с решением задач космических исследований (1950 г.). Этот метод возник из строительной механики н теории упругости, а уже потом бьш осмыслен математиками, которые часто называют данный метод вариационно-разнссгным, подчеРкивая тем самым его математическую природу.
Они заннмаются математическим обоснованием МКЭ, т. е. проводят теоретический анализ его сходнмости и точности результатов. Представители же инженерного направления решают давольно сложные технические задачи, часто нс задумываясь над строп~и обоснованием врименяемых ими приемов, а построенные алгоритмы и программы щюверяют на известных точных решениях. Существенный толчок в своем развитии МКЭ получил после того, как было доказано(1963 г.), что этот метод можно рассматривать как один нз вариантов известного в строительной механике метода Рэлея — Ритца, который пугсм минимизации потенциальной энергии позволяет свести задачу к системе линейных уравнений равновесия. Связь МКЭ с процедурой мнннмнзацнн позволнла широко использовать сто прн решении задач а других областях техники.
Мшод применялся к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона (например, электромагнитные поля). Решение этих Уравнений также связано с минимизацией некоторого функционала. Известны решения с 20 Часть 1 Основные положения метода конечных элементов помопгью этого метода задач Распространения теш>а, задач гидромеханики и, в часгностн, задач о течении жидкОсти в пористой среде. Область применения МКЭ существенна расширилась, котла было показано (1968 г.), что уравнения, опрсделяюп>ие элементы в задачах с>роительной механики, распростра. пения тепла, гидромеханики, могут быть легко получены с помощью таких вариантов ме. тода взвешенных невязок, как метод Галеркина или способ наименьших квадратов.
Установление этого факта сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, т, к. по. зволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, метод конечных элементов из численной п)юцедуры решения задач строитель. ной механики превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений. Этот прогресс был достигнут за довольно короткий срок, благодаря совершенствованию быстродействующих ЭВМ Более подробно история возникновения и прикладная теория МКЭ изложены в рабо-, тах (1-8).
Кратко изложим сущность МКЭ и основные этапы его практической реализации. Основная идея мшода конечных элементов состоит в том, что любую непрерывную величину (перемещение, температура, давление н т. п.) можно аппроксимировать моделью, состоящей из отдельных элементов (участков). На каждом нз этих элементов исследуемая непрерывная величина аппроксимируется кусочно-иепрерывней функцией, которая строится на значениях исследуемой непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемого элемента.
В общем случае непрерывная величина заранее неизвества, и нужно определить значения этой величины в некоторых внутренних точках области. Дискретную модель, однако, очень легко построить, если сначала предположить, что известны числовые значения этой величины в некоторых внутренних точках области (в дальнейшем эти точки мы назовем кузнями»). После этого можно перейти к общему случаю.
Чаще всего при построении дискретной модели непрерывной величины поступа>от следующим образом: 1. Область определения непрерывной величины разбивается на конечное числа подобластей, называемых элементами. Этн элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области. 2. В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узловыми точками или просто узламн. 3. Значение непрерывной величины в каждой узловой точке псрвоиачааы|о считается известным, однако необходимо помнить, что эти значения в действительности еще предстоит определить >тутси наложения ва них дополнительных ограничений а зависимости от физической сущности задачи.
4. Используя значения исследуемой непрерывной величины в узловых точках и ту или иную аппроксимирующую функцию, определяют значение исследуемой величины внутри области. Поясним сказанное выше иа примере исследования распределения температуры в стержне. В общем случае распределение температуры неизвестно, н мы хотим определить значения этой величины в некоторых точках, Методика построения дискретной модели остается точно такой же, как описано выше, но с добавлением одного дополнительного шага.
Первоначально считают значения температуры в некоторых точках в пределах стержня известными. Определяют множество узлов и значения температуры в этих узлах, которые теперь являются переменными, т. к. оии варавва неизвестны. Область (в нашем случае — длина стержня) разбивается на элементы, для каждого из которых определяется аппроксимирующая функция. Узловыс значения температуры должны быть теперь «выбраныв таким образом, чтобы с учетом граничных условий (например, значений температуры на концах стержни) обеспечить наилучшее приближение к истинному распределению температуры вдоль стержня. Этот «выбор» осуществляется путем минимизации некоторой величины, связанной с фязнчсской сущностью задачи.
Если рассматривается задача распросграиения тепла, то минимизирушся функция, связанная с соответствующим дифференциальным уравнением. Процесс минимизации сводится к решению систем динейных алгебраических уравнений относительно узловых значений температурм. В прочностных задачах, где определяются поля перемещений, деформаций и напряжений, Минимизируется потенциальная энергия деформированного тела. Аппроксимирующие функции чаще всего выбираются в виде лш>ейных, квадратичных или кубических полиномов. Длк каждого элемента можно подбирать свой полипом, но полиномы подбираются таким образом, чтобы сохранить непрерывность величины вдоль границ элемента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
