Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. - Ansys в руках инженера (1050659), страница 13
Текст из файла (страница 13)
3.7. (хластиньь и оболочки 3,7Л. Основные соотношения теории пластин и оболочек Элементы конструкций плоской формы, весьма широко распростра. иеииые а строительстве и технике, принято рассчитывать как пластины. Ау Пластиной называют плоское тщю любой формы в плане, толщина кото- А рого мала по сравнению с другими Ах линейными размсрамн. Расчетная схе- И~ М ма элеменш пластины приведена на ху рис. Зхд В нем выделяют срединную поверхность, параллельную внешним 0 поверхностям, делящую толщину пла- Средияяая стины пополам.
Координата я в иап- ху давлении толщины пластины, как правило, отсчитывается от срединной по- Рис.З. р верхности. Эпюры нормальных и касательных напряжений представлены на рис. 3.10. Имеют место следующие вполне очевидные соотношения между нагрузками и напряжениями: 1) изгибающий момент (на единицу длины): Часть 1, Основные положения метода конечных.шементов 75 74 у ~ О, у ч- О.
Это означает, что линия, перпендикулярная срединной поверхности тх ух пдастины до деформации, не остается перпендикулярной этой поверхности после дефор. мации (рис. 3.12). В этом случае новыми переменными являются (7 и  — углы на. х у клона линии, перпендикулярной с)юдиниой поверхности пластины до деформации, к осям Х и У соответственно. Основные соотношения: 1 б) И=к)7, р= — Лгг (3.5б) ад Е х а. (3.57) 3.7.4.1.
Тонкий четырехугольный элемент с четырьияузлами Схема элемента показана на рис. 3.13. Каждый узел имеет три степени свободы: Ог,ацэ)ах,аОЭг(ау.Смещение Оэ(х,у) точек внутри элемента можно записать следующим образом: Срединная влас 1 г со, —, — оз Рис. 3,13 (7 1= ДВ7(К$В)1(( . К 3.74.2. Толстостенный четырехугольный зханеит Схемы четырехугольных элементов с четырьмя и с восемью узлами показана нз рис.
3.14 а, 6. у х ав а = — +с71 у,= — -О. а ' ау 3.7.4. Конечные элементы для пластин н оболочек йз(Х,У)т 1.' )т!и;+)Є— 4)Ру!— где 157,,117, 1)г — функции формы. !' ш' у! Матрицу жесткоСти для элемента по-прежнему можно записать в форме: Каждый узел имеет три степени свободы: й), д, д .
Для каждого элемента линейх' ные и угловые смешения можно выразить через функции формы следуюшим образом; й)(х,у) = ,'г Лг,.й),.1 д„(х,у) = 3 Ф,.О„.; о (х,у) = 1.Л(,.б) 1=1 1=1 1=1 Как описано выше, для рассматриваемых элементов смешение й)(х,у) является линейной функцией для элемента с четырьмя узлами и квадратичной функцией — для элемента с восемью узлами. 77 =? Глава 4 Практические вопросы и ответы В данной главе, составленной по материалам [8], при рассмотрении ряда вопросов в ответов на них иллюстрируется практическое применение основных положений МКок Волоое 1.
На приведенном ниже чертеже модели имеется 520 узлов и 800 прямоугольных конечных элементов. Из них 50 узлов жестко закреплены, а в 100 узлах фиксированы пе. ремещения вдоль оси Х. Какое количество неизвестных имеет эта конечно-элементная мо- дель, если в каждом узле имеется по 3 степени свободы? Ошвель Число неизвестных степеней свободы О = 3 ]ьг — М, где дз — число узлов в модели; лу — количество известных степеней свободы.
В данном примере М = 3 50+ 100 = 250. Следовательно, .0 = 3 ° 520 — 250 = 1310. Волйое 2. Что преобладает в приведенной на чертеже конечно-элементной модели: число элементов, число узлов, число степеней свободы, число кинематических граничных усло- вий? Смен(еызя кузнях Сталь Стекю полимер Ь Ы Омвелп В данном примере: Эееыентыз ббо ° Узлы: 1095 мв Кинемамичесхие граииччьзе усегвия з 14 ° -з Число неизвестных (стеленеп свободыл 32?1 Число узлов обычно больше числа элементов; число степеней свободы в три рюз больше числа узлов минус количество кинематических граничных условий.
Таким обра. зом, в данной модели преобладает число степеней свободы, ()сновныс положеизш мшода конечных элементов Врлйос а В каком случае размер задачи (число стегвенсй свободы) максимальный (см приведенные схемы): о) задача теплопроводностн; б) частотный анализ конструкции (пло свая задача); в) п)ючностной анелзиз (трехмерная задача); з) прочностной анализ (оболо чечнью элементы)? Скмкем. Суммарное число степеней свободы опрсдезшется числом узлов и числом степе- ней свободы в каждом нз них. Таким образом, суммарное число степеней свободы по ва- риантам: а) 50'1 = 50; 6)25 2 = 50; е) 20 3 = 60; з)9 6 = 54.
Окончатель- ный ответ; максимальное числа степеней свободы в варианте в). Вевззос 4. решение МКЭ показало, что сила 1З. = — 10кИ вызывает смещение в узле 1, равное 1 мм. Какое смещение будет в узле з, если сила — 20 кН действует в уэлсу? йлмвемм. В соответствии с МКЭ нмеет место следующая схема вычислений: гдеК; =Р;зэка;К?=р з'ыг. 1 ~ — 20) — з 1-- Велйос с5. Па приведенном ниже рисунке ноказаиы четыре варианта моделей с сеткой конечных элементов: а) в одной и той же сетке присутствуют элементы первого и вто)юго лорядков; б) в одной и той же модели присутствуют линейные, балочные и оболочечные Злемснты; е) в модели присутствуют элементы с нулевой жесткостью,' ) в модели присутствуют элементы бесконечно болыпой жесткости.
78 Часть ( Основные положении метода конечных элементов 4Ью Фк ц) б) а) г) Какие из вариантов невозможны с точки зрения МКЭ? Огааееь Варианты консчно-элементных моделей (вариант а и б) вполне приемлемы и час. то используются на практике; бесконечный модуль упругости (вариант г) означает, что соответствующая часть модели является абсолютно жесткой (тоже часто используемая на практике идеализация); нулевой модуль упругости (вариант а) прежде всего означает, что конечный элемент на данном месте отсутствует (дырка), При применении МКЭ это прн.
водит к ошибке вычислений. Таким образом, вариант а неприемлем в МКЭ. Валдае с6. Какая из схем Ь-е трс)тальников, показанных на приводимом ниже рисунке, пригодна в качестве конечного элемента для модели твердого тела а, находящегося под действием внешней нагрузки? Абса«к«ио т««раиа им Оюаею.
Согласно МКЭ, элементы связаны друг с другом только в узлах. К узлам же при. ложены и нагрузки. Этому условию удовлетворяют только схемы в и е. Однако конечноэлсментная модель предполагает, что напряжения и деформации возникашг внутри элементов, поэтому материал элемента не может быть «абсолютно жесткима. Таким образом, всеми свойствами конечного элемента в модели обладает только схема г. Ваиаас 7. Какой размер имеет матрица жесткости 8-узлового прямоугольного элемента показанного на рисунке? 'Цд, е'к,' 1 2 Смел)алия Силы Ответ. Данный элемент имеет 8 узлов; в каждом узле 3 сте- К~г "и1м пени свободы.
Таким образом, применительно к данному элементу можно рассматривать 24 смещения в узлах и 24 сильг в узлах. Тогда размер матрицы жесткости, связывающей ктгю "тьи вектор смещений с вектором сил, составляет [24х24). Маюрица жесюкасжи Воющее 8. Какой из приведенных на рисунке элементов является наиболее удачным для генерации конечно-элементной модели симметричного тонкостенного сосуда давления: а) балочный элемент; б) трехмерный прямоупэльный элемент; е) трехмерный четырехгран ный элемент; г) 8-узловой прямоугольный двумерный элемент; д) оболочечный элемент? ~Л~)уп ~ Ожвеаь Вообще говоря, асе элементы, кроме балочного элемегпа а, могут быть нспользораны в данной задаче. Однако, учитывая, что конструкция и ию'рузки симметричны относительно оси, наиболее приемлемым в данном случае является двумерный 8-узловой элемент г.
Эскиз ковечно-элементной модели показан на правом рисунке. Ваяйас К При статическом анализе коисгрухции моста, показанного иа рисунке, увеличеНле количества каких из примененных элементов может максимально сказаться на повышении точности результатов расчетов: А — оболочечных элементов; Б — балочных элементов;  — стержневых элементов; à — трехмерных элементов? 0жа«В., Достоверность расчетов по МКЭ зависит от количества элементов н модели. Однако, КЛи внутренние силы или напряжения ие меняютсл значительно в какой-либо области модели, размер элементов нс оказывает значительного влияния на точнмть результатов.
Именно это наблюдается в областях Б, В и 1'. В то же время количество плоских оболочечных элементов А должно быть увеличено. Валдис 10. В какой из показанных на рисунке схем возможно использование «длинных» элементов (Ь/гэ 'г. 2): а) на границе, где приложены силы н граничные условия; 6) в зонах концентрации напряжений; «) в области посюянных напряжений; г) применение таких элементов всегда Вриаодит к значительным ошибкам? ~— = ~Щ~ Яг==,(Д-' зГ==ВЙ==Я Ойвеш.
«Длиниыса элементы можно использовать в случаях, когда не ожидавпся боль- ЮИС градиенты напряжений или деформаций (схема а). В зонах концентрации напряжений (б) и в области приложения нагрузок (а) градиенты напряжений болыпие и применять выпщутые элементы в этих областях не рекомендуется. Основные положения метода конечных элементов 80 вяйвййс 14. Какая из двух схем сеток, приведенных на рисунке, предпочтительнее с точки равна точности результатов? 2 Волйес 11, Какие из показанных на рисунке заементов неправильные? С282 Срг'нц М) Е- Ответ. Элемент! — правильный; элемент 2 — неправильный: внутренний угол при узле 3 больше 180'; элемент 3 — правильный: вполне допустимо, когда два узла (2 и 3) савла. дают; элемент 4 — неправильный: углы при узлах 2 и 4 больше !80'1 элемент !в правильный. Ощвйщ. Несмотря на то, что площади треугольных элементов в обеих схемах примерно одинаковые, элементы в схеме 2 менее вытянутые, чем в схеме !.
Следовательно, можно ожидать, что ошибка вычислений при применении схемы 2 меньше, чем схемы 1. Таким образом, схема 2 предпочтительнее, благодаря большей точности результатов. Волйес 12. Какая из приведенных на рисунке сеток нерациональна? А 1 Б В фелйос 1~. Все три показанные на рисунке модели имеют примерно одинаковое количест- во прямоугольных 20-узловых элементов. Для какой из моделей наиболее целесообразно сгущение сетки? а) б) а) ь)щвемш. Наибольшая концентрация напряжений будет в вершине надреза на схеме в, поэтому для детального взучения поля напряжений здесь рекомендуется организовать наибольшее сгущение сетки, Ошвевь Так как в точке 1 имеет место концентрация напряжений, то целесообразно в ок- рестности этой точки сделать сгущение сетки.
На схеме Б этого сгущение сетки нет, по. этому данную схему нельзя считать рациональной. На схеме В имеется некоторое сгуще- ние сетки на контуре отверстия. Венрос 13. Какие из приведенных на рисунке схем соответствуют произвольной сетке, а какие — упорядоченной? Ввллйзу !б. Как влижт размер Ь произвольной сетки на время счета и ошибку при вычислении напряжений? мпееш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
