Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. - Ansys в руках инженера (1050659), страница 12
Текст из файла (страница 12)
= — Ь ТЯВ1" ИВ1д)'К==-МЙЬ~4. 2 2 (3.14) Из этого выражения получаем формулу для матрицы жесткости ароизвольного плас. кого элемента: ~й ~ = ЯВ~'~В$~В1Л. (3.1!) Заметим, что в отлн ше от линейного элемента, в данном случае ~Е~ — матрица, ол. ределяемая формулами (1Л Ц и (!.11 а) для алосшяо напряженного состояния и плоско! деформации,соагвшствевво.
Рассмотрим использование функцвй формы для построоння матрацы жесткости более сложных элементов. Обобщая формулу (3.3) на число узлов бовыаес, чем 2, запнгпем: ~- ----)г)— ф, Кроме того, заметим, по для данного материала матрица жесткости ~ )г ~ зависит здько ат матрицы дифференцирования перемещений (В!. Матрица (В), в свою очередь, ааисит от функций формы Л' . Таким образом, то„насколько конечно-элементная модель будет отражать свойства реальной конструкции, зависит от функций формы или, в консчиоы итоге, от аида (формы) конечных элементов.
3.2. Линейный плоеный треугольный элемент Схема элемента показана на рис. 3.1. Элемент имеет три узла, перенумерованные против часовой стрелки. Каждый узел имеет две степени свободы, т. е. может иметь перемещения вдоль осей х в у, Предполагается, что смещелия и,р любой точки внутри элемента являются линейными функциями координат этой точки: и =Ь РЬ х+Ь ур 1 2 3 ушЬ +Ь х+Ь у, где Ь, 1 = 1,2,...„6 — константы. мл (хе* у21 (3.16) и =Ь +Ьх +Ьу 1 1 и =Ь+Ьх +Ьу 2 1 3 4 5 3 6 3 Решив эту систему уравнений, получим выражения для Ь,...,Ь в зависимости от 1' ' 6 перемещений узлов и нх координат. Окончательно для перемещеннй точек в пределах элемента получим: ! Из (3.16), учитывая (1.14), можно получить Рис.3.1 выражения для деформаций: Е =ди)'дХ=Ь, г =да)'душЬ, у ш ди,1ду '- ду,)дх = Ь + Ь .
ху 3 5 (3.17) Из (3Л 7) следует, что деформации здесь не зависят от координат точки, т. е. являются постоянными в пределах элемента. И связи с этим такой линейных трехузловой элемент получил название яэлемсита постоянных деформацийз. Заметим, что перемещения самих узлов также должны описываться уравнениями (3.16), при этом вместо Х и У должны быть подставлены соответствующие коордвнаты узлов (х„у,). Получим систему шести уравнений, из которой определим шесть искомых коэффициентов Ь: Час ь) д а~ дх д0 д~ ду дг) ди дх ди ди =(.
] д'„ (3 27) где Ь, (!' = гг,2,..., 12) — константы. Из (3.32) легка вычислить деформации: ди — =6 =Ь +2Ь х+Ь у дх з~ дг) Аналогично: (З.ЗО) " 23 ' 31 0 х 0 х 0 0 х (З.З)) 32 " 23 !3 3! 21 ' !2 [В] совладав~ с ранее гюлучепиыи г смещения и,г можно описать как функции координат глобальной (х,У) или з кальвой системы (ь,г)) координат. Известно, что перевод производных из локальной г глобальную систему коорлииат можно осуществить с помощью матрицы Якоби: где (2 ] — матрица Якоби.
Из (3.26) путем непосредственного дифференцирования получим Р ] 13 У!3 ( ]-1 1 У23 У13 где 2А = с(61 (.7 ] = х у — х у (А -- площадь треугольного элемента). !3 23 23 !3 Из (3.27), (3.28), (3.18) и (3.23) получим: Используя (3.29), (3 ЗО) и связь между векторами перемещений и деформаций (Зйл) получим выражение для матрицы дифференцирования перемещений ( В ]: Заметим, чго зто выражение для полностью использованием глобюгьпой системы координат (3.2)). ()еновные положения метода конечных элементов Иерейдем к рассмотреинго квадратнчного треугольного элемента, схема которого по- пана на рис.
3,4, В отличие от линейного треугольного элемента, элемент данного тющ имеет б узлов: 3 узла расположены по углам элемен- т г 3 Узла — по сейеднне стойои. Каждый Узел, как и в линейном треугольном элементе, кмест 2 степени свободы, В этом случае смещения ( И,Р ) точек элемента должны выражаться квадратнчвыми функцня- И ми их коордлнат (Х, У): и=Ь,+Ь х+Ь у+Ь х +Ь ху+Ь у 2 2 7 8 9У 1Р П У 12У 2 2 фй32) др Г Ьр + Ь1!х + 2Ь!2У ду У д" + ~' =у, ж(ЬЗ+Ь,)+(Ь3+2Ь„)Х4(2Ь, +Ь„) ду дх Легко видеть, что в пределах данного элемента деформации являнггся линейными функциями координат. Таким образом, щсстиузловой треугольным элемент позволяет более точко описывать поле ню~ряжений и деформаций, чем рассмогренный в л.
3.2 трехузловой треугольный элемент. В локальной коордвватной системе (~,7)), которая полностью совпадает с введенной раисе в п. 3,2 для линениого треугольного элемента, щссть функций формы для этого элемента можно записать следующим образом: Л', =Д2~-4)! Л', ж0(20-2)! Ь'3 =ДЛ;-2)! Л( =4й;Ь' =40~1 Лгб =40 к=1 — 1 — 77). (3.34) Каждая из п!ости функций формы ЛГ, в (3.34) является квадратичной фувкдиен локальных координат, но так же, как и в случае линейного трехуз- 5 левого элемента, тхг( = 1 в узле 1 и гзгг = 0 — в г;=1 остальных узлах (рис. 3.5).
1 Используя введенные в (3.34) фуикцнн формы, 2 смещения в любой точке элемента можно записать 1 '!срез смещения узлов следующем образом: Р З.5 6 ис. и= 2'Ф!и1, и= 2 зз()г). (335) ~=1 г=1 Часть ! 68 масть ат координат Х, )г. (3.34) 3.6. Преобразование нагрузки Рис.З. б ь-- 1 1 ь Матрицу жесткости для элемента по-прежнему можно записать в форме [й)= !г(В) (Е)(В)сР', но здесь (В) (Е)(В) будет иметь квадратичную зависн. )г 3.4. Линейный четырехугольный элемент Линейный четырехугольный элемент, схематично изображенный на рнс.
З.б, пред. ставляет собой в системе локальных координат (ьс,з)) прямоугольник с четырьмя ушамв в его вершинах. В системе локальных коорлинат (ь,э)) функции формы записываются следующим образом: )(' =-(1-й1- 7)! 142 =-(1+И - )) 1 ! 4 14 =-( ~~~1+Ч) =-( -б). + )) 1 ! 4 4 4 Заметим, что, как и для ранеерассмотренных элементов: ~Д! = 1, 1=1 Поле смещений задастая следующими уравнениями: Иш ~Ф,и,; рж ,'ГДгр. (3.37) 1=1 1=1 как следует нз (3.37), и и р являются билинейными функциями в пределах всего элемента.
3.5. )ьввдрвтичный четырехугольный элемент Квадратичный четырехугольный элемент (рис. 3.7) представляет собой прямоугольник с 8 узлами: 4 узла по углам и 4 узла по серединам сторон. В системе локальных координат (ь, !1) 8 функций формы записываются следующим образом; !Зсиовные положания метода конечных элементов )(! ш-(1-Д(-1)(~+1+1)! Л! = — (1-,7)(1-~2) ! 1 (338) Д! = — (1+Д)-1)(д-~+1)! л ж-(1+~)~1- 12) 2 6 Д! ж-Ы-1)()+1М-7+1)! Л( ш-(1-~)~1,1 ) 1 2) 4 в 8 Снова,~ 1(! = 1 в любой точке внутри элемента. 1=! Поле смещений определяется уравнениями: 8 8 и = 2.Л! и, Р = 2„ФУ, 1=1 которые представляют собой хна~третичные функции, Деформации и напряжения в точках в пределах четырехугольного 8-узлового элемента яшшются линейными функциями координат, что позволяет более точно рассчитать напряжения и деформации, чем с помощью 4-узловых элементов.
В заключение отметим, что применение квадратичных треугольных или четырехугольных элементов с шестью или восемью узлами соответственно позволяют моделировать тела с криволинейной границей, что повышает точность результатов моделирования. Помимо сил, которые в расчете можно трактовать как сосредоточенные, на элементы конструкции действуют также поверхностные силы (например, внутреннее давление) и объемные силы (например, вес). Как поверхноатные, так и объемныс силы являются примсрами распределенной нагрузки, которая в соответствии с принципами метода конечных элементов не может быть непосредственно приложена к элементу, а должна быть трансформирована к узлам.
Приведение распределенной нагрузки к узлам основано на сравнении энергии упругих деформаций. С использованием этого принципа в п. 2.2.2 сформулированы правила трансформации распределенных нагрузок для одномерных стержневых и балочных элементов. 70 Часть 1 71 =[Е с =(ЕЫ4. '! ) ху )з" =2/и (я)17(я)еЬ, 0 (3.40) (3.45) и(я)ж 1 — — и + — И ( (ЗАП , (,)=( --1, .', . л 1 г) вА г вй' (3.42) Таким образом, для работы 1)г получим: (3.43) б2 М = ) гг Яс(2 (нмгм)1 — 1/2 (3.44) (3.46) г/2 М = ) и яе(г(н гм)1 (3.47) 2) кругящин момент (на единнцу длины): (3.44 а) тху Рассмотрим правило трансформации поверхностной нагрузки, равномерно распреде.
ленной вдоль стороны четырехугольного элеменТа. Предположим, что линейно распреде. ленная поперечная ншрузка гу приложена к стороне АВ линейного четырехугольного элемента (рис. 3.8 а). Введя локальную координату Я вдоль стороны АВ, запишем выражение для работы )у нагрузки г7: где 1 — толщина элемента, ы — длина его стороны, вдоль которой приложена нагрузка г7, и — величина составляющей перемещения, нормальной к стороне АВ приложения л нагрузки. Для линейного четырехугольною элемента с учетом (2.5) имеем: Линейная поперечная нагрузка гу(е) также может быть описана аналогичной формулой: а' =~1[1 1( ()(9 — )ь )х)[ ()ж= ) 4(7-.(В ИЕФ-.~Ф И, ь(я "' ~м(-м м' ~ 1~, откуда находим вектор эквивалентной нагрузки в узлах (рис.
3,8 Ь) В частном случае, прн ь7 = Сопя1, получим: Ю-"[:[ 1)сновиыс положении метода конечных элементов Для квадратичных элементов (треугольных или четырехугольных) с промежуточным зяом посредине стороны распределенная нагрузка перераспределяется не по двум узлам, как а выше описанном слУчае, а по т(юм Узлам. Аналогичным же образом приводится к узлам и распределенная нагрузка, касательная г границе, и объемная на'рузка. Напряжения в точках элемента вычисляются по следующей формуле; здесь (В) — матрица дифференцирования перемещений; (гз) — вектор смещений узлов, которые должны быть извютиы для каждого из видов примененных элементов после решения глобальной системы уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
