Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

а71Oкомпоненты(В1^столбецматрицы=коорди-умножениярезультаткоординатныйнастолбецкоординатныйкотороговычисляютсяV,i=l,. .n,.коорди-натхпразмеромназывается).Bnj.поформуле:B.23)или(А\/Ь*\или/а>\B.24)иначеЬОпределениеАА\\..п-гонакоординатныйбилинейнуюСкалярноекоординатную2.10.порядкастолбеца=(скаляр):формуумножениеееможнозаписатьЬтстроку(а}.. ап)Ту>(Ь,а)ИначеB.25)А.а.==справаквадратной=матрицы(б1...6П)слеваибилиней-образуетB.26)Ьт.Л.а,образом:следующимB-27)ijaiV,илиАиАп1Еслисимметрична:Аматрицаv(b,а)-=тоЬ)(вернои\B.28)А„п..симметричная,(р(&,А1п..билинейнаяобратноеформаутверждение).такжесим-наГлава100ОпределениеB.26)АМатрицаеененулевогоспособом:рекуррентнымсостоящимизматрицыn-гоАа=аиз•^«А1,порядка>ппространстваАназовемназовемре-порядка,первогоэтосамовведемпорядкаn-гоматрицы1B.29)0>матрицаматрицычислаа.•определенной,AyaVдетерминантомодноговы-А•рассматриваемогообратная(определитель)Детерминантназываетсяат=положительновектораимойф(а)т.е.положительна:всегдаатДетерминант2.2.3.Ь,=называетсяформалюбогоаприпорядкаквадратичная=дляпространствахфорB,28)-n-голинейныхнаКвадратичной2.11.видавыражениееслиТензоры2.со-детерминантомчисло;числоа=1М\гдеАиздетерминант-Нетрудноубедиться,ФормулаB.30)г-ойстрокеилиДетерминантэлементыпо(см.матрицыдетерминантранее(см.столбцубытьАвычер-трехмернойпервойподетерминантапредставленбыть1..

п).=элементаB.30).определениюможетj-ому(аминоромразложениемможетполучаемойизназываетсяудовлетворяетдетерминант1),полученнойстолбцаназываетсяже—столбцавторогоматрицы,введенныйчтополностьювообщестроке,иM*jj-roистрокиA.8)матрицыстрокидетерминантг-ойвычеркиванием(празмерностипервойвычеркиваниемтакойВообще,поматрицыразложением2.2.1).упр.непосредственноэлемен-черезвыражен2.2.2):упр.(-lI'1-'-^1,-^^.. ^,гдеA.. П).суммаопределяетсяЧислоNобщемучислуместамидватождественной|z'i. .=пог„|элементарныхсоседнихA.. п).всем(ii. .in)подстановкамзнакомназываетсяперестановокчисла),B.31)приводящихизиперестановки(приподстановкукоторыхчиселпоб-равноменяютсяi\.

.inмесктож-§2.2.ЕслидетерминантАнадаетАобратнуюединичнуюпорядкаn-гоматрицыопределитьможноМатрицыототличенЛ,матрицурассматриватьлинейноДоказательствоДляматрицыотследующаялинейнойилистроккогдатогда,[4].вбольшойдляпорядок,называюткото-рангоммат-Рангвнапример,Аматрицы[4].приво-максимальномуравенстолбцовиликоторойдоказательствотеорема,строкБлочныевертикальныхко-сформули-можнотолькоиминоры,нуляалгебры,2.10а.ЛюбуютоA.rangкурсеменьшегоО,совокупностьтостолбцовтогданапример,самыйтхпразмеромнезависимыхэтойли-числуматрицы.матрицыматрицуАразмера(блоки)"перегородок",матрицынайти,отличныеТеорема2.2.4.какстрок,координатныхможноАместолинейнофумноженииB.32)порядкаn-гонезависимасуществуютиобозначаютвАСистема2.10.АИмеетпритеорему.ТеоремаприводитсяАЕп.координатныхилиследующуюматрицыкоторогоматрицыкоторая=матрицустолбцовкоординатныхсформулироватьdetнуля:матрицу:А-А-1=А-1-АЕсли_101тхпразмеромнаигоризонтальныхвсейвдольидущихразбитьможнопомощьюсматрицывертикаль-Например,матрицы.мат-для3x3:B.33)Aijблоки-матрицыгде-элементы(г, jматрицыменьшего=1,2,3),a(и,Autt=1,2)-ужеэторазмера:An*"=(?)•={Ац),М2*¦=(?={А12,Ai3),?)•B34)Глава102.ВообщеТензорызаписатьможнолинейныхнапространствахпроизвольнойразбиениеже.р)1..2.А(и.Л1Л1¦.:А,..A%tблокинаобразом:следующим(AnilАматрицыAnt=:1ml:|\Ар1¦A-pq/B.35)гдеA\qAut=B.35')="ranБлочнаяформазадаетсяматрицы(mi.гдеmi..mp^iблоков,Для(щэлементовриqаблоковчисло-рассмотренноговыше.B.36).ng.AtJ-,матрицы"перегородкам",горизонтальнымперегородки.mp_i|p),индексы-перегородок:двумящвпримера.столбце.ng_iисоответствующиевертикальные-в3x3матрицыперего-строке.имеем:ИНаиболееотдельныеэффективноееТаковы,например,единичныхматриц.блокиблокиблочнойвведениеимеютизсущественнонулевыхформыдляэлементов,когдаматрицы,Тако-элементы.различныеилиблокиввидеединич-=§формальнодействияА)ТСуммаформы,Аматриц1СматрицаАБ)Произведениемхкблочнойодинаковойпперегородок:в1я=;.B.37)Bpqxmразмеромn1вр1+:!Apq..блочныхВи+I••.формой:блочнойжеАи;:двухтойсВц+Др1птхразмеромв=\В+ичтоправилам,Apq=блочнымисжеАцАциВ;AplСумножениятемAlqiявляетсяимассивами.=ипоодинаковымисАцАсложения.103матрицами.двухт.е.порядкасовершаютсяобычнымисn-огоОперации2.11.ТеоремаматрицамиМатрицы2.2.Аматриц+кВB.38)•Bpqстхразмерамипсоответственно:|(An...АUpiблочнаякоторыхчислоBtv,столбцоватакже;:Apq..JимеетB.39)массивыперегородок:(т1..

титр-1\р)В(т.е.l>St.А:блоке;*..=формаA\q..Ant=.В1..:(пгвсовпадают..ntriq-xlq)(кгчисло.AutблокекаждомqB.40).nfng_i|g),(пг...kvks-i\s),блоковвстрокевстрокчислуравняетсяматрицыАГлава104.иблоковчислогразмеромстолбцевq=линейныхнапространствах?),матрицык:хгаТензоры2.(Си...является.;!!II:СматрицаCu\.•tB.41)\cplмассивомс:Cps)..перегородок(m1..

mump-i\p)каждыйпричем(кг(пСи1,блокJ.1»..р,=v!«**-i|e),B.42)s)1..=вычисляетсяпоформуле:9B.43)(Умножениематриц).блоковДоказательствоВА)утвержденияпоэлементноскладываютсяобычномупопроисходитправилутаккакоттойилиизнегосуммыочевидно,независимомат-умноженияАматрицыинойиблочнойформы.ДлядоказательствавыражениеБ)утвержденияэлементадляС,&,матрицыблокам:принадлележащихjBjk{АцВ1к=к-i+lдостаточновыделив++---+..расписатьAinlBnik)А{пВпк)+выраэлементов,+..=ЯB.44)t=lЕслиdkэлементыfcl. .mt ,будетвточностистоятьп01, nq=Если..Лрр,рУтверждениеАматрицаа=д,топоидтип.=имеетонавскобкахчислу—1..+rau-.i=выраженииAutблоковt.q.ЗдесьBtv,•aпринято,Адоказано.отличныминазываетсяблоков:iпоследнемвэлементовпроизведениебудетсуммированиечтоl. .nt;),то(т.е.Cuvблокусоответствуют+nt,_i=отквазидиагопальпой.нулевыхблокитолькоТакаяАцматрица..Матрицыn-огоглавнойдиагонали:§ 2.2.блокисодержитнатолько/Аипорядка00.1050Aii\000B.45)•\Приблоки,будетвобразованаLB.43)V^матрица.диагоналиjB.46)LООтреугольной,нижнейназываетсяэлементыглавнойвыше0рав-еслиL'jдиагонали:=0,0(ТеоремаопределеннаяединственнымB.46')=LТП2Холецкого).ВсякаяАматрицапредставленаобразом<г0L2.12вn-оговидесимметричная,порядкапроизведениябытьможетдвухмат-матриц:AгдеLнижняя-диагональнымиДоказательство71=матрица1aLTLтакжеимеетсостоитL-LT,верхняя-B.47)сматрица.математическойположительныйодиниздиагональ-положительнымитреугольнаяметодомпроведемАматрица=матрицатреугольнаяэлементами,Ў>..L\Теоремаг..т.е.положительно0,==матрицаееL\L\0\всееслиLxнулю:равнывид:LКвадратнаятреугольной,верхнейглавнойимеетматрицанулюслагаемому,одномупоназываетсяпорядканиже(L\равнысоответ-перемножаютсяимеетсяквазидиагональнаяn-огоэлементыТакаяj.Арр/0матрицыМатрицаее0суммахТреугольныевсеоПматрицт.е.снова2.2.5.0квазидиагональныхумножениисоответствующиеи0.одногоэлемента:Дляиндукции..Аи,элементЬц—у/Ац.поэтомуj,Глава106.Предположим,Тензоры2.чтовернатеоремап-гоЕепорядка.пространствах(пматрицдляположительносимметричную,рассмотримлинейныхнаможновсегда/ А22А22где,:АцАц=координатныйматрицаБлочнуюB.48)матрицублочныхновых(п(пдлиныопределенная——можно1),1)-гоАтп.Ai2=А22B.48):..bэлемент,столбецположительноАположительный-А2п•..\Ап2гдеформе:..I=(Ai2=.Ain)T.-положи-симметричная,-Аматрицублочнойвпредставитьипорядка,определенную\тiil1)-го—порядка.взаписатьпроизведениявидетрехматриц:=оEn-iгдеединичная-матрицаЯсимметричная-симметричная(пСправедливостьВыберем—атчто•форму:А-с=поb-скалярнемуb•bT-симмет-2.2.5).установитьнепосредственнымB.43).правилукоординатныйненулевойс(заметим,исимметрична(см.упр.поаB.50)легконекоторыйобразуемпорядка,квадратичную-матрицтеперь1)-гоB.49)1),Ацпорядкаблочных—-А22т.к.1)-го—соотношенияперемножением(пА22=матрица,матрица(ппорядкастолбецстолбецn-гоапорядка:B.51)=(см.упр.2.2.5)),азатемсоставимквад-[-B.52)ТакНбудетАкактакже-положительноположительноопределена,определенной.тоизТогдаB.52)следует,попредположениючтои§онаиндукциитреугольнаяПодставляяимеет(пматрица1)-го?#•?#,?#гдеположительнойсB.52),=-диагональю.получаем:=ткъТL-I?=B.53)Bn-in-гоматрицатреугольная-НпорядкавпредставлениеОL.107представление—л/АЦгдепорядкаn-готреугольноеэтоАМатрицы2.2.положительнойспорядкадиаго-диагональю:L-СуществованиеПредположим,чтосуществуютпредставлениюэлементномвB.47)представленияудовлетворяющиезаписаноB.54)ткъдоказано.дверазличныеB.47),котороеLматрицыбытьможетвиде:B.55)ДЛЯа=1а=1ВыразимэтойизL,матрицыV,изаписа-азатемформулыэлементыдиагональныеотдельноееостальныемат-элементы:/3-1а=11ЭтиформулыединственнымнайтипозволяютB.56)L/зр'a=lэлементыматрицыL,един-причемобразом:B.57)L31=4*LtАL32=^-(A32А,L33=ит.д.Глава108"Знак+"линейныхнавыбираемкорнемпередТензоры2.пространствахL$$положительностииз-запоусло-условию.ВединственностисилуаналогичноеB.56)L\^элементовеедляПриведенное?',найтипо2.2.1.2.2.B.30),оределение71-мернойдетерминантформулыА.§кИспользуячтодоказать,индукцииАматрицеУпражненияУпражнениевыраженияконструктивным:Lматрицуанало-проводясамыежетеорему.являетсядоказательствопозволяюттеполучимдоказываетичтоB.56),уравненийрешенияматрицыдляпостроениематематическойметодомможноматрицыпредставитьввиде:а=1C=1агде+Упражнение/31..=П.B.31).Упражнение71-мерных2.2.2.Методом2.2.3.Методомвыполненоматриц2.2.4.наматрицынаматематическойиндукциидоказать,AчтоДоказать,даетскаляр,aT-bB.25)изачтостолбца=Упражнение?V&°,также2.2.6.УпражнениекформуласледуетскалярноенаумноженияаЬт-71-гоматрицуМетодом(нижней):•...математическойиндукцииневырожденнойтреугольнойстро-порядка:аЧп..:=КаГЬ1(нижней)верхнейкоординатнойумножениястроку°=1обратнаяверхнейапЬп,являетсяматрице,Показать,чтодля71-гоматрицместоимеютпорядкасоотношения:(А-В)тфундаментальнойматрицы,=2.2.8.определенноймат-чтодоказать,треугольной.2.2.7.УпражнениедлячтоAT.det=/аЧ1матрица,формулустроку:2.2.5.столбецдоказатьПоказать,координатнуюУпражнениестрокииндукцииравенство:detУпражнениематематическойВТ-Ат,А-(ВИспользуязуявdet2.10,теоремуB.14)выполненовсегдаgijф0.доказать,чтосоотношение:дляфундамен-Линейные§ 2.3.§преобразованияn-мерныхЛинейные2.3.пространствпреобразованияЮ9п-мерныхпространствОпределение2.3.1.отображенияВернемсякЪAf,GМвидеМGтоAf,AfGА(а),=B.58)ОтображениеаМмножестваAf,—>илигдеGai,a2товМЕслиотображениетоAfтакой,С1B.58)изС—>Собразома,авектораЕсли2.13.этомдля(илиССиС.вчисел,B.58),удовлетворяетB.58)(илилюбогоиС,линейногоПустьлинейнымоператором).B.58)отображениебазислинейное-..Л(еп).пei.

.Л:единственныйЛ(е,)базисуei.Сп—>?п>надппринадлежаттакженемосуществ-базисувыбранномутоизвтогдаСпвекторов:?„,А(е\). .то.еп:Х-е,-,tnlЕслиеп.наборвекторыпо?п,пространствовекторов:преобразованиеПосколькуразложитьn-мерноеизсоответствоватьназываютпреобразованиялинейноеимеетсявыбрать(иливещественного1),линейноеGагai,Сстепенитосовпадают,Матрицабудет?попреобразованием.осуществляетсяотобраизЬ.любыхGaлинейнымназываютлинейнымможноопределяетслучаекомплексных)отображение=2.3.2.размерностиусловиям:=ЕслиС1B.58)Ь, определяемыйВекторпрообразом-Видействующимоператором,-f &2)+ A{a2)>A(ai^(ai)длялюбого3A(a),A(sa.i)s(однородностькомплексного)его?'.ввещественныхОпределениетотофункционалом.следующим2°Скомплексные,пространствапространствоназываютпространстваинъ-исюръективно(биективным).обаB.58)ф /(аг),/(ai)чтоследует,а2каждогодляОтображениеодновременнотакженазываютЬ.=взаимнооднозначнымилиС/(а)фaiлинейныхдва-называютестьB.58)отображениевещественныеЛ:отображениеЕслиназываютиобапит,ЕслиегоB.58)есличтоеслиАЛ.ЪеАГ.сюръективным,МGинъективным,ективно,можноЛ:как*еМ,называютсуществуетназывают1°обозначаюткотороеэлементЛотображениезависимости:Ьbединственныйимеетсякаждомукоторыйзакон,местосоответствиевчтоговорят,преобразованияпространств.имеетставитмножествовЕсли2.12.аэлементулинейныхрассмотрениюОпределениелинейногои;=1..

Характеристики

Список файлов книги