Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

.2.1.4.до-бытьявляетсянемвтольконетсистему< п,ra-flнесогласнозначит,которыйа,Снесистема2.3,теоремеЕслипокапор,которые,векторыупорядоченнаяможетвекторовпространствеn-мерное,-векторama.ai. .пЭтап).<согласнообразоватьможнотехв(mСтакойзначит<трассмотрими,найдется1°приводитвсякаяпространстве.awai.пространстволинейногобытьдолжны.апапредположениебазиса.векторов,векторовai.нашеизсистемасистемупдоп-мерномдоказательстванезависимуютаксистемаобразом,АТеоремаизпространствахиТакимлинейноЎлинейныхнаследовательно,а,зависимыми.противоречию.кТензоры2.изСп,будетЛинейное§2.1.линейнонезависимойсодержатьне(ввлюбой?,невозможно),чтоСбазиспространствеобразовывалибазисеэтомвВТЕслиехсамом,ап,он?'.принадлежитеслиei. .аеп,упр.2.1.6),в2.1.5.ПустьА(т^п-мерномпро-.ewвсе?.Сизвекторыат+1об-п)=ап=..иО=имееткомпонентынулевыеei.

.еслиазначитиem,при-?',принадлежиттоон.em:будутСумматобазисуобратное:aw+1будет=базисупоа(см.базисуа1..повекторавозможныелинейнаяторазложениемразложенияединственно0,=ап=..являтьсяединственностисилуэто?по^У!=1а%е*=?,вЕакомпонентыае\.компонентывекторei.ввестикомбинация?'ипотогдавекторыраскладываетсяОчевиднораскладываетсясei. .enчтобынулевыееслитосовпадает1 вектора+пвбазисуэтомуизеп...деле,am+1,.

.базиспостроитьиметьпобазис?'со-содержитразложитьчтоможетдействительнопостроитьозначает,образом,подпространстватакимбудутонитолькои?'вможнобыэто2.6.Теорема?смогли2.2,теоремебазисизвектор93согласноЕслимыслучаепротивномпространствозначит,авекторов.птовекторов,п?,вболееп-мерноекомпоненты.ап.АподпространствимеетсяСподпространствадва?.МножествоС"илинейногопростран-пространстваа,вектороввсехназывают?".Определениепредставляющих собойa'-fa",=подпространствТеорема2.7.иСПересечениеподпространств?',G?изсамиа"а,?",С1 Л-С11линейнымиОпределение2.7.?'подпространствпересечениеПрямуювиСиз?'элементвидесуммыаа=Пa'-fa",?"?'какЕдвухихф?/0?"можнонулевоеа'Е?',2.1.14.?",подпространство.+подпросвеслислучае?".а"обра-единственнымразложитьгделинейныхвлинейных?'сумму-двухупражнениясуммойназываютобозначаютсуммукачествевПрямойС"подпространствКаждыйобразомоставимтеоремысуммойС".+пространствами?.ДоказательствопредставляюСкаксуммаиявляются?'ПназываютобозначаютС"(ЛвекторовЕ?",иобозначаютивсехa!где?'одновременноподпространствМножество2.6.slсуммулинейныхпринадлежащихлинейныхпересечениемЕ?".Всамомделе,пустьГлаваНоа'Ь'?'П?"—посколькуЬ"=Дадимназовемскалярногоумножения,сопоставляетвещественное—а'Ь'==первойвранееглавепо-пространства.линейноееслиназо-пространствоопределенанемвлюбойобозначаемоекотораяскалярно-операцияа«Ьвекторовпареа-b,какисопоставля-обладаеткотораясвойствами:b•аЬ=a-b=местодостигаетсяравенстводействительноееслитолькоа|а|число:Коши-Буняковского:неравенство(а=аI/2.•a-b^|a| b|,доказательствокоторого(раЗдесьрри|6|2,9Ъ)+qqа—ВекторыСистемуаbиДляЎкачествеклюбыеЛюбаявыбрать:можноB.12).еслиаb•0.=называютпространствеэтойвекторадваB.13)^ 0.которыхнеравенствуевклидовомвq*\b\2Ь +•ортогональными,системыортогональны.системаортогональнаявекто-ненулевых+зависимая5maw+..вненулевой,ввсистема=чтофвсе0 и,0.=Такs%Этозависимости.а,какs%следовательно,коэффициентывсе=0,0.=чтопротиворе-Атеорему.|е,|наскалярно5*|а,|кромелинейнойоркото-для.em,ортогональности,|а,|тоB.1)ei.соотношениесилунуль,4°,произволен,условиюдоказываетдлинуэтоваксиомысилуi былиндексОртогональнаяУмножаяобращаютсясуммето,противоречит0.векторовполучим,а,-,существуетт.е.система=векторПосколькупротивное,предположимлинейнои2pqa+ват..доказательстваслагаемыеединичнуюприведетах2.8.которой sxaiпроизвольныйпротиворечиеисоотношения:независима.ортогональная-=называютеслилинейноР2\а\29Ъ)чтовекторовТеоремаизчисла,Ь,•ортогональной,векторов+произвольные-=B.12)следует(ра•0^;=число.называютавектораИмеетb-c;+в(а-Ь);(причем=^ Оа•а;•произвольное-Длиной=С".Ь".Па"и?".?одновременЬ' ? Сиа'т.е.тоВещественноечисло,(a + b)-c(*а)-Ьs?",Ь"?',??',использованного?п,агдеЬ'гдепространства2.8.следующимиЬ",+подпространство,нулевоеевклидоватрехмерногоЬ'принадлежащийпринадлежащийобобщениеОпределениеевклидовымпространствах=Ь;),—п-мерныетеперьпонятияа",—-Евклидовы2.1.6.(а'векторсилулинейныхнааразложениесуществуетодновременно, в1°2°3°4°одноещесуществуетТогдаТензоры2.ei.1,называется.еп,всевекторыортонормированной.которойимеютеди-§2.1,2.9.ТеоремаортонорсуществуетТогдаВмиро ваннаяэтутеоремуV Докажемненулевойвектормированныйоболочкалинейнаяортонормированныйап5ieiai.s,-системавекторовдоказана.АнаегоПустьимеетсясис-доканазываютдоказательстве,матрицуi,j=et-e,,ei.

.попарныхB.14)Грама.матрицейилифундаментальнаяепизgijl. .n,=втогдапространство,ввестииепфундаментальнойбазисадлявек-всемТогдаевклидовоei. .называетсяматрицаЕслиajj/|aj .=Теоремапри=покоортогоналенортонормированной.n-мерноебазисЯ,,этаа!пГрама-Шмидта.выбратьпроизведений:скалярныхenвекторон1)-—сущест-векторопределимнепосредственно.использованныйтеперьможнопостроимпроверяетсяортогонализациинемдалееsi. .sn_iи(п?/п_1вВведемосновебудетпостроения,тогдаап,каж-вортонорпространлиней-образуетиндукции.en_i.единице,.en_ienei.методомei.легкочтопоикоэффициентыравнаеп.en_i,Методие,-,•вектораei.векторамan=этогоai. .п.2.1.4,а/|а|.=чтотеперь,базис?^_i,гдененуесуществуетевклидовомусогласноan_i,.sn_ien_i,—..формулам:Длинаквыбравтодлины:пространствеn-мерномупроизвольныйнембазис—1,=Предположимпространствосуществует-векторперейдемипединичнойсправедлива.векторовмерноеЕслинегосуществу-векторов,пиндукции.евклидовомевклидовопространствеизизв95евклидовомпоВыберем•пространствосистемабазис?ппространству1)-мерном—п-мерноеп-мерномобразуембудета,теорема(пкаждомЛинейноеявляетсяматрицаеди-единичной:{?'такойтобазис*>=»\j3,Из2.8теорем?ппространстве2.9ичтоследует,линейнов.2.4,теоремеэлементУпражнениеимеютобладает(—а)2.1.2.месточтоGСтакже2.1.чтоСпространство0,векторомдлялюбогоавекторасоотношение:Оа=0,(-1)а=-а,аксиомамиспротивоположныйаэле-единственным.являетсяДоказать,§линейноенулевымaвсякогокДоказать,единственнымдлясистемаортонормирован-является?„.2.1.1..8простран-ортонормированнаяУпражненияУпражнениеn-мерный-евклидовомn-мерномвнезависимаясогласнокоторая,базисомным•<JtJ-гдеортонормированным,существуетвекторов,*¦B.15)l,.

.,n,=Кронекера.символпназывается%*hкО=0.ЕСилюбогокГлава96УпражнениерациональнойТензоры2.2.1.3.ФункцияфункциейотлинейныхнапространствахРт(х)TIOAUHOMOMназываетсяХуаргументацелойилибытьможетонаеслипредставленаввидеi=0Xхгдеозначает0, к{илинатуральноечтоi-уюстепеньвсехмножестволинейноеXчислаобластииз(х)Ртполиномовфункции,определениякомплексное)(илидействительное-нестепени771ф 0).(ктчислозаданнойвыше^771нату--Доказать,образует71пространство.Упражнение2.1.4.линейногоДоказать,?,пространствалюбаячтоaiсистемасебяввключающаянулевой.ап.ли-векторовлинейноявляетсявектор,зависимой.Упражнение2.1.5.системыСизУпражнениеet2.1.6.Упражнениечто2.1.8.Доказать,линейное71-мерноеУпражнение2.1.9.можнои?ЕавекторабазисеввсехформулевтороготензоровA.104)свсехквадратныхран-A.105),операциямичто71-мерныхчтоскалярноеЬаивекторовпроизведениевиде:компонентыих-мированный,множествопространство.Показать,впредставитьWмножествопоa-bа%независимойпространство.образуетматрицчтоспособомлинейноегдепгкомпонентыДоказать,геометрическимУпражнение?плинейноподсистеманезависимой.Показать,2.1.7.введенныхобразуетизкаждаячтолинейнооднозначно.определяютсяранга,Доказать,являетсясамав=базисенекоторомЕслие,-.жебазисэтотортонор-тоa=lУпражнение2.1.10.независимаясистемалинейноечто71-мерномвДоказать,переменнойчтоX,линейнолюбаяпространствебазисом.являетсявекторов2.1.11.независимоймножествовсехнаопределенныхфункцийнепрерывных[0, 1],отрезкелиней-образуетпространство.Упражнениефункций71изУпражнениеоднойДоказать,2.1.12.однойДоказать,переменной,чтовсехпространствонаопределенных[0, 1],отрезкефунк-непрерывныхбесконечномер-являетсябесконечномерным.Упражнение2.1.13.упорядоченныелинейным71-мерными771.являютсякоторого(жчиселДоказать,пространством.чтоупо,.IRn.,являетсяпространством.УпражнениеУпражнение71элементамидействительныхпроизвольныхарифметическимназываетсяразмерностиIRn,Множество71совокупности2.1.14.Доказать2.1.15.ПустьДоказать,dim2.7.теоремуС1иС11-линейныхдваразмер-пространствачто(?'+С")=dimС+dimС"-dim(СПС").Жп),§§Вi,jАх^введенияв,А\\АДалеебудемтхсА\тАхвектораизистрокА\А\..А2,12п-мернымисовокупностьтизА\толь-обозначенияразмерности.называетсяписпользовалидляДействиябольшейтаблицывидемынапример,2, 3.=1,тразмеромкоторыхглаве3x3,матрицрасположенныхпервойразмеромтензора:требуютМатрицейпорядкапорядкавматрицыкомпонентвекторамиn-гопространстветрехмерномпорядкаn-гоматрицквадратныетолькоп-гоМатрицы2.2.Определение2.2.1.Матрицы2.2..."тпчисел,столбцов:п'B.16)лт2рассматриватьвпквадратныеосновномдляматрицы,п:=B.17)БудемтакжеиспользоватьлибоДверавныA%j(сЗаметим,чтопорядкаструктуройдругойА11.Anl.Апп..(А/расположенияjЛо,ТензорноеB.18)Агисчисление-jравныкомпонентыизсоставлены=l(Alv..B.18)'¦=\ iAlA"..различны,матрицыi,jиндексовкогда)(Aij)/(верхниймеждутензоранижний),илиТак,собой.втрехмерномтоотзависитнематрицывсенапример,декартовомин-имеетсяеслиоднакоэлементовзначениячтотом,B.17),Рицыэтивсеговоря,бытьмогут.1оеслиравными,индексов:•Вообщеинформация1..

П,матрицы.называютписполь-буквы).элементамихтинежирнойназываютn-гоматрицысипробегаютзаглавнойпомощьюпзначенияэлементы.соответствующиеэлементовi,jгдеразмераодинаковогоматрицыихА%^порядокимеютматрицыматрицу,составляющие,этиАобозначениепростоЧислачтоговорить,обозначениенихдлярасмат-четыреобстоитде-базисе.ГлаваБудемдалее,информацияуСпространствахособо,оговоренооперацииn-гоматрицамичтооперации,линейныхнаполагать,чтотакаяинфор-самыеопера-имеется.насОсновные2.2.2.неэтоеслиТензоры2.исможнопорядкатрехмерными,сматрицамитеопределитьжетранспонированиенапример,Ат:матрицыB.19)Суммаn-гоматрицдвухНулеваяматрицаПротивоположная{sA%j).компонентамиПеречисленныемножествоАМатрицатранспонированной:АМатрицаЕдиничнаяидиагоналиsAобразует=Про-компонентами.(—А%сделатьn-говыводппорядкаявляютсяосамиеслипорядкачтомно-(см.проупр.том,матрицыонасовпадает).слинейноеобразует•своейсоАТ.кососимметричной,называетсяАеслиЕпматрицаостальныепо-n-гокомпонентамиматрицусимметричной,n-мернаянулевыематрицакоторогоАСматрицаспозволяютявляетсяестьнулевымиэтоматриц"векторами"?,2.1.8).свойстваквадратныхвсехпространствочислонаматрицыс-ВиBXj.+матрица(—А)матрицаУмножениеA*j=это-АпорядкаCljкомпонентами:спорядкаимеетнаединицу—Ат.=главнойдиаго-компоненты:B.20)МатрицаАортогональной,называетсяеслиАТматрицутранспонированнуюА-АтОпределениепростоСпо2.9.произведением)n-гопорядкакидетссуммирование.=компонентамиАиВнаумножениесвоюпроизведениемпорядкаn-гоCljB.21)Еп.СкалярнымматрицееЕп:дает=A1kBkj(илиназывается,гдеi^j,k—матрица1..прос.п,а§ 2.2.ПроизведениеМатрицыАматрицВи99порядкаn-гоможнозаписатьиобразом:такимА\А-В=ЛДп1А\В\,АпкВ\каждыйт.е.координатнойэлементстолбеца(б1—6т)т,=Ахп)..произведениемСкалярнымС"уматрицы(А\строкикоординатныйb..естьА(а1..

Характеристики

Список файлов книги