Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 9
Текст из файла (страница 9)
п,B.59)ихГлаваА%гдеТензоры2.коэффициенты-jпространствахЭтиразложения.квадратнуюмернуюлинейныхнаобразуюткоэффициентыматрицейназываемуюматрицу,п-линейногопре-преобразования.Таккакфиксированномприсказать,чтостолбцовкоординатныестолбцыВыберемобразbei. .еп,базисупреобразованияв-А(е,)bСогласноbоткудаА(в)=2°1°,свойствамabиB.60)преобразования,а{А{е{)=апреобра-а'е,-.=линейногоА(а{е{)=соответ-РазложимлинейногоматрицуVejy=будетемуСп.ввелимыска-столб-качествее,-.aG?n,А\:преобразованиявпринадлежащийкоторомкоордитакжеможнобазисевэлементтакжеобразуюттоимеетвекторовЛ(а),=Л(е,),векторовпроизвольныйтеперьсоответствоватьполинейногоматрица)Т.
.Ап{A3iкоэффициентыг(Аг{столбцыкоординатныеимеем:а*А'{е;=b*eif=B.61)получаем:Ь>т.е.любогокомпонентылинейноспомощьюB.62)авектораилинейногоматрицылинейноечтоговорят,А\а\=преобразованиеегоbобразапреобразования.полностьюсвязанывсегдаПоэтомуго-своейопределеномат-матрицей.Замена2.3.3.базисаОчевидно,чтовообщеговоря,будутимеетсяА^.общимибазисадваие,-базисаодногоможное(-вКомпонентыS\разложениябудемОднаковсево-получать,такиематрицыУкажемсвойствами.?п,пространствепоразложитьe^S^-ey,не-определенаB.59),вматрицынекоторымивекторовпреобразованиябазисыразличныеразличныеобладатьПустьизлинейногоматрицавыбираянеоднозначно:i=l.
.другомуих.каждыйтогдабазису:B.63)п.собойпредставляютn-гоматрицупоряд-порядка:(S\5=столбцыбазисенезависимыкоторойе,-.являютсяВсилуипо:•-.:2.1,2.10Jстолбцамистолбцыимеем:detB.64),координатнымитеоремытеоремеS\..5^0,такойвекторовматрицы5линейное(-вЛинейные§ 2.3.5матрицат.е.Тогдапреобразованияn-мерныхобратнаяejпроизвольныйбазисуимеетсяпокакаВединственностисилуЗаметим,чтоаналогичныебазиса(см.B.65),полученныеB.67),упр.1.1.8)такПустьВыберемкаклинейногоматрицуаха%а",ичастныйвообщеислучайвекторовсоотношенийговоря,неаСп?VА1%иЭтиуbобразаегоиба-предпола-Спдля6/<7имат-связываютматрицыB.62):согласноB.68)матрицейсвязаныВы-Сп.—>каждогоЬ'*=А''{ан.=А\а\такжеЛ:B.59)попостроимA%jвектораапространипреобразованиее(-ие,VНоB.67).п.евклидовасоотношения,преобразования:компоненты1..компонентлинейноебазисадва=получаемкоординат.имеетсятеперьраз-B.66)трехмерногособойэтисистемсновагпреобразованияпредставляютвведенияпредполагаютдляранееформулыможноегобазису,поE-1)>J',=тогдаа1'^)*^.=вектораа*S'y',=?п,?aа'^е*=S,наej:поразложенияа*пространстваиа"е{B.63)умножаяB.65)элемент=и,(S-1)'^.=таке,-,а'е,-=5",матрицаполучим:Еслищневырожденная.-существуетразложитьпространств5,переходатогдаполучаем:V>Сравниваяматрицы(S-1)'^=солинейноговторой=(S^YtA'to*формулойпреобразованияB.68),вa'1.{S^YiA^S^=получаемзаменеприA't^iS-iY.A1^формулуB.69)изменениябазиса:B.70)илиА'=S'1¦А¦S.B.71)Глава112.Тензоры2.Инвариантные2.3.4.Если2.14.С,называемоеОчевидно,чтонулевоеКаждоежетакжебудетПустьимеетсяД,преобразованиеСтподпространство771-мерноебазис?т,вei.
.emзатема?т,принадлежащимилинейногоЛ/АЛ1гА1Ал.em+i. .en,векторамитеперьматрицуматрицы:четыреА\¦выбратьможноРазделимСп.внанекотороеТогдаегобазисадолиней-заданоинвариантноп).^дополнитьпреобразования((mСпвтож-?п,пространствокоторогоотносительноявляют-относительноинвариантнымлинейноеп-мерноеСпреобразований.преобразования.тождественноголи-каждогоС!.самолинейныхлюбыхподпространствотакжеаподпространство,относительноинвариантнымине-А(а)образЛпреобразованиеподпространстА, дляпринадлежитвыделитьотносительноСЕакотороголинейноеможнолинейноевтоинвариантнымэлементаявляютсяСпространствахимеетсяС,пространстваподпространстволинейныхподпространстваОпределениелинейногона+ 1П1лт*'А\•Лтдтлmп=А"»А"»¦••"^дт+1т+1А"»¦дп+ 1171'А*дппB.72)АцгдеаимеетА22самомразмерность(п—столбцыСт(jнулю.(пвекторовA(ei).
.m,ТакимА21=m-fn)1..образом,матрицаАВернопреобразованияивобратноекаком-нибудьпобазиснымАB.59),СткаккоординатныетакжеAxjразложениявекторамимеетпод-принадлежиткомпонентыихВмат-инвариантное-А(ет)A(ei). .B.59)согласноiтакхгп,нулевая.-столбцамитпервыми(п—т)—А21согласноНотоA21матрицачтообразованысобой,?m,?ei. .em(n—m),тх—Покажем,A(em).следовательно,1..т).—Ац,представляетaи,=хкотораяподпространство,Аитхт,матрицыделе,А,матрицыт)—равныenem+i. .вид:B.73)=еслиутверждение:базисеei.Аматрица.епимеетвидлинейногоB.73),преобратолинейная§оболочкаЛинейные2.3.преобразованиявекторовизобразуетemei. .Действительно,n-мерныхпространствцдинвариантноеB.59)определенияподпространство.B.73)ичтоследует,А^е,-,B.74)t=iт.е.образыкомбинацияэтихА(ет)A(ei). .векторовжевекторов,ei.
.emТакимбудетобразом,видоболочкалинейнаясновавЕслие),егосилуСтподпространствоизсостоитвсякийаЛ.одного?i,инвариантностиА(е)дляС\изевыполненотораB.75),изобразвектораС\поэтомуа2.15.называетсячислоАвСппо-такжеВчисло.С\принадлежитА,числоB.75)еслибудетононекоторогодлявекторавыполненолюбогодляобразованноговекQоболочкойлинейнойНенулевойвектореннымве,удовлетворяющийе,Л,преобразованияомекторзначением.обазиснекоторыйе,-,вектореиегоА(е)образбазису:этомупоможнопB.76)*..ПодставляяB.76)и,чтоАе.=тособственнымВыбираяразложитьбетесо-а1гдеподпространство.инвариантноеОпределениеB.75),етакое?i,подпространстваахе,1,=(обозначимнулювидутверждение:условиеmразмерностьQсуществуетобратноеместоакогдаинвариант-равногоимеетА(е)Qимеетневекторааэлементследовательно,Имеетявляетсяп,векторыинвариантноебазисегото^имееттогда,толькоитотносительноСобственные2.3.5.тогда.ет,Лпреобразованиялинейногоei.подпространствоминвариантнымкомбинацией.ei.
.enвекторовкомбинациитеорема.Абазисекомбина-линейнойлинейнойихлинейнаяесть,emлюбойследующаяМатрицаB.73)ei.образидоказана2.13.ТеоремаблочныйвекторовзначитавB.75),получаемА\Уматричную=\е\записьэтогоусловия:B.77)ГлаваСлинейныхнаобозначенийиспользованием.еп)т(е1..=Тензоры2.можнопространствахтакжестолбцовкоординатныхдляB.77)переписатьвевиде:B.78)А-е=Ае.B.78)УсловиеТакжекаклинейнуюпприив3=совпадаетестественнотрехмерномлинейное-7,коэффициентаминетривиальнымиV{\)характеристическоезначений Л.Характеристическоестепениуравнение7>(А)Ь{коэффициенты-A%jне-получаем:B.79)собственныхзначе-собойп-ойполиномзаписываютвиде:вJ2(-l)%\\=B.80)11 =гделис0=нахожденияпредставляетобычноЛ, которыйотносительно2.10\ti))-какматрицытеоремыдляуравнение-из(A*;det=B.77)столбцовзависимыхA.162).условиямисрассматриваяпрстранстве,комбинацию=полинома,причемпЬпВтрехмерномD.156)первым&о,h{A),Вслучаепроизвольногоинвариантами-нееслиДействительно,аонизаписатьматрицунайтизатем6,базисалинейноговыбораот(см.изявляютсяV'{\){A'det==det{S-1-{A-XE)-S)=detS'Р'(А),значит2.3.6.являются•detСформулируем-ЛЕ)V(X)и.5базисеЛЕ)-получим=неегоP(A),=зависиткоэффициентыB.82)отвыбораЬ{.базиса,преобразованияматрицывидутеперьА•5det•полиномПриведениеблочномудальнейшем.(Aинвариантамик(Sdet=то=характеристическийт.е.ЛЕ)-Действуравнениехарактеристическоеинвари-?п.преобразованияпер-компонентпространствеB.71):согласноивторымтакжевформулудалеетретьим,построеннымиконстантып,зависятB.81)(Л1,.).hисh{A),h{A),det=&1Axj.матрицыаЬоА\,соответственно,совпадают,инвариантамиej,?=константыслучаегл.4)вЬп_!1,=теорему,котораяпотребуетсянамвдаль-§ 2.3.Линейные2.14.ТеоремасобственныхПустьвекторовпреобразованияневырожденногоА':А,преобразова-соответ-матрицубазисеSсоб-независимыхпреобразованияпроизвольномпреобразования.115линейнотогдаА,значениювпространствтлинейногоопределеннуюAlj,n-мерныхсуществуютei.
.emсобственномусоответствующихдупреобразованиясei. .en,можнопомощьюблочномукпривестией-/АА1Я"*—-/1tj—B.83)гдеAftjе(-аSJiej>=размерат).—ВсамомвыбратьвДополняяА1каквлинейно?п,вНайдембазисе.этомбазисадоA(h)=Ае,Ае{,=единственностисилуг=<\6},\•ОткудаизследуетB.83),Ное,-.Лпреобразованиячтоj0,jB.83)видполучаембазисом.т).координатнхтпервые1..матрицу^e'j.1.. т;разложениянкак=можноматрицы:1 =В(ге,-=запишемт)х—ихтое(-: е(базиса.е'пматрица(пматрица~независимы,векторове[., егп,базисевединичная-А'12т),—-е'т+1..Лэтой=.emгавекторамипреобразованиястолбцовЛ(е;.)ei.первыхкачествеихЕттх(пматрица~такделе,обозначены:такжеА'12тхт,(пТздесьЛпреобразованиялинейногоматрица-ивB.63),связантогда,базисахвдоказывает=l.
.m,=m+l. .n,А1матрицысилуитеорему.находим:B.85)вej.базисеневырожденнойнекоторойе,-базису,повектораB.84)1матрицыB.71),е(- действительноААисвязаныА1Этотбазис,5матрицейпреоб-линейногосоотношениемсГлаваП6_ТеоремабытьмогуттогожепервыхB.83)исовпадающимиАаматрицыАьиблочныйцелом5,преобразованием2.3.7.НосСвойствасобственный векторТеорематолькоКаждому2.16.ДляsблочномувидухарактеристическийB.83)V{\)=мыдля(А'по(празмеромиметь—ш)Ао,вообще(пиже(Ао-числоАматрицынели-можетпре-\q.=2.14,теоремой.е'п..кпривестиПосколькубазиса,(А!22егоЕп-.тB.86)формулойединичная-(А'22матрица—\Еп-т)общаячтобазисевA#n_m).-со-блоч-характерис-вычислимA)mdetразметакжеможет5кратностькорняAm.разделасобственныеВсесобственномугачисломожноследует,этогоконцесобствен-ААdetчемкото-средивоспользовалисьаB.86)больше,2.17.томуе^отПосколькуизвТеоремаодномут).говоря,Сформулируемихусловияхбазисе=Л,несколькодетерминантатожезначению.воспользуемсястолбцу,—совпатемизначениюэтомзависитХЕ)-п),сохраниводнимсоответствоватьданныхнепервомухкореньАо,ввычисленияразложениясобственномузначениянекоторомV(X)detА22,КаждыйодномуфактаАвмы1..ra-f=корнейпкорни.приматрицуполиномгаАимеетсобственногоэтогодоказательствакоторойсогласномож-полностьюе,-собственномувекторов,кратностие"икратныеможетнезависимыхпревышатьЗдесьB.80)икомплексные,преобразованияе(ивекторовсоответствуетлинейногоЎи(гиодногоЕслие,-.=А22доказать.полиномбытьмогутлинейнобазисомсобственныхХарактеристическийкоторыхбазисаисходнымтребовалосьи=онито2.14,Причем.п).е"е"=блокахвобатогдачто(г1..=е(е(толькосвязаныА,теоремее"соот-.em,помощьюсогласноивекторыизменятсявид.будутониисовпадают,ссовпадают:остальныеei.B,83)е(базисахпреоб-линейныхзначениюА",ибазисахвдвухвекторыА'матрицыэтихввекторовтоблочному5.видуА"исобственномувидужетомукобекпривестивыберемвиДействительно,ЎможноА1собственныеодномуприведеныпреобразованиясоответствующиепространствахматрицыодинаковыеимеютлинейныхнадвеЕсли2.15.преобразованийТензоры2.ещедвеодно-принадлежащиевекторы,значению,теоремы.свместевекторомнулевымообразуютЎаксиомылинейноеДействительно,линейногоподпространствоинвариантноенетруднопространствапроверить,выполняются,чтоС.длянапример,такихаксио-векторовеслиА•е,=Ае,Линейные§ 2.3.(г1,2),=Ато(ei•Инвариантностье2)+этогособственногообразпреобразованияA(Xei)A(ei=пространстве2),+А(Ае,).=АтакжеЛ(е,)Ле,-=цутакжеаподпространствавекторавекторомn-мерных(set)•такжеA(set).=такочевидна,об-каксобственнымявляетсяАоозисЕсли2.18.Теоремаоо'Слюбойсоставленнойизei.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
