Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

,п)].=базисныебазисом,Имеетгде[ein-1Oe2n-1T(l-2.. ln)e3n-1O],ранга.Определениефиксированных[ё1п-1Т(,-2.. ,п)ё2п-10ё3п-10],==®..-полиаднымпПё,п0®ё,п®....ё,-а®п"Т(,-2.. ,п)Здесьё,-а®называютранговранга:0..0ein)^^(ejl00..ejm)0etl=..к••®ejmSinjiSin-ij*••A.246)-un-n+iin+fc»l^k^nuk^m.причемЗаметим,чтопроизведениебыеслибы1.8.9).собоймыужетакже,объектовдлясначалапредставлялаупр.•теорему,какA.240),обобщающуюивп.то1.3.14,ввелискалярноеформулаA.246)теоремы1.8преди1.9(см.§ 1.8,1.32.Определениеадп-гот-гои(ё|Ч0ё,-п)0Поле1.8.2.Поn-го=0etlранга:A.247)ё,-п+т.0..поли-т)-го+точкехn-горангатрехмерногопространстваопреде-nfl(x).рангаопределениютензорегоё,п+т)0..базисных(прангакаждойвn-готогдаобъектом,075произведениемполиадубазисную(ё,-п+10теперьтензорранговТензорнымтензораПустьопределенвысшихназываютрангов..Тензорыможноявляетсяпредставитьобъек-инвариантнымразложениемпополи-локальномубазису:адномуППfl l###lnгдебазисеКомпоненты0компоненты-Rtlfl^-^R,-,=0координатR,n,0..n-гопПполиадномлокальномврангаA.248)? 1,nдекартовойпреобразуютсяизпереходеприкриволинейнуюв0тензораR,n.0..тензорах%R,-2Xхсистемуко-системыследующимобразом:акриволинейную XfxкриволинейнойизпереходеприXхсистемыкриволиней-другуювобразом:таким^•••\+,.

,„ПримеромтензораопределяемыйQik%+1•¦¦р%П=третьег¦Q\^jl-%,. uявляетсяранга(i-250)•Леви-Чивиты,тензоркак^Riу/9Заметим,чтоПримеромчетвертогоА,рангаА==-(R,-AijklRiопределяемый0R'®0R,-A.251)Rbе**кпоявляютсянезаконутензорномуединичныйявляетсярангачетвертоготензора0€,^,преобразуютсянет.к.тензора,A.250).R^-Леви-Чивитысимволысамикомпонентами0тензоркакR1'®0RjtR/+®R,.R,-0R'0R/0R1')=A-252)Глава76КомпонентыэтогоТензорная1.тензораалгебратетрадномковариантномвбазисеимеютвид:Aijkl-{gikgjl=Транспонирование1.8.3.операцииявляетсяранга(mi. .гдеrrin)my..указываетместеначтото,Такимобразом,транспонированныхдляПеренумеровавn-готензораиндексыэтивекторыальтернативное{1,2,3},i .

.»n€базисаR,m.этойвщпод-j-омнанаходитсяп!существуетрангатранспони-(w\..Wj.(поэтомуЧислот)..гуп)?длянееWjкомпоненты{1..Найтистолбцыпереставив/1j..\тгmjiЭлементы..\\и..j1..рядполучилсяmjистрокинижнюю..гпп\п^)Vобратнойподстановки,очевидно,со-связанысоотношениями:j=Wmjилиk=п:A.256)WnJ..исходнойподста-записавиnV'••Wk..iWjиндексчтото,т.е.месте,..1подста-переверну-настроке/mi.mn).похожуюверхнююверхнейтп)k'••вп....,щнапример,затемчтобыA.255)наj-омможно,поменявтак,..гу,ранга:R^,0.указываетнатак,альтер-n-го(mi.подстановкенаходитсявиде,.буквуподстановкуматричном0обратнаяк-используемпПобратнуюв.n}этойвтензораR,20A.254)получимтензораn^i-'-nR^=ввозрастающей,потранспонированногопп(т1..

тп)подстановкаR,m.векторовдиадныхунумеровалисьпредставлениеподстановкуA.254)fИндексвектортензоратензоров.чтобыперевернутуюR.n0_случайнаполиадевгде0^подстановка.некоторая-R0{l,. .n},GШ1.. т„подстановкеA.139)Qi^.in^^_рангатранспонированияобъектавведениепп(т1.. тп)A.253)n-готензораОбобщениемn-гоgilgik).+mWkVi,fce{l. .n}.A.257)Тензоры§ 1.8.Вообщеже(тп{1подстановокпроизведением(ii. .ifc. .»n).своейсоjWj=rrij)Дляran)(wi.подстановкойl.

.n=jилиортогональной.(mi.. га,п)=m,-..тп)еслионаисов-.wm):Vjmmj=A.255)формулуподстановкиназывают.ортогональной,называетсяобратной. .rriikэлементами:с(m-i. .ПодстановкасовпадаетранговэлементамисподстановкувысшихA.258)l. .n.записатьможноввиде:"fl mi-ra«)Например,дляввестиftD321)ПC142)итакВдалее.а1.8.4.воСредит.е.A.260)R,-4®тензоры:2A.261)=fl^.(iUR|.ieR.aeR.|gR.4jпервомC142)случае-тензорачетвертогоортого-рангатензоры,играютрольважнуюкомпонентявляетсянет.n-горангасимметриейA.262)D321)подстановкаслучаевторомтензороввида:следующегосоотношениям:удовлетворяющие4^A234)R,-sтранспонированные4СимметрированиеобладающиеA.259)R,n.0..4П:®=fi«i«2»V4R.80R.i0R.40R.2ортогональной,__4^B134)4^A234)=4^A234)4^A243)=4A.264)Такиеявляютсятензорыранга,четвертогоR,-,®обобщенныеnti."au.-4R.40рангаfi'—'R,=следующие=R.^четвертоготензора4ПможноП|>яч-¦'¦»•=иназываютсяпоэтомувтороготензорасимметричногоаналогомчетверто-тензорамисимметричнымиранга.ИзсимметричныйпроизвольноготензорТ=+А)Аможнообразоватьсим-симметрирования:операциипутем-(АтрангавтороготензораТ=~(А<21>+А<12>).A.265)Глава78Аналогичная4Сft<3412>Тензор4Cобладает3первыми4),итензор4Ф=полнойобладаетИногда4ftC214)симметриейбытьможет4Птензор(по4П<1432)+образовандву-1, 2,индексамтакжеа4П<4132>)+иобладаетсамA.268)A.263).компонентсимметричныйтакжеобладающийA.267)A.263).еслиA.266)R,4,®A.264)+применяется6П,рангатензораft<4321>).+рангасимметрииDft<2314>-..компонентнапример,условиямито®четвертогоперестановками,двумяft<4312>+C'218'4!^=тензордругимиft<3421>+симметриейСимметричныйпроизвольноговид:(=+очевидно,дляследующийимеет*Ф=алгебрасимметрированияоперациярангачетвертогоТензорная1.симметриейшестоготензориндексовран-каждойвнутрипоипарыпарам:6^A23456)6ПA23456)Из6^E63412)=шестоготензоратензор6^A24356)__6^A25634)=произвольногосимметричныйрангавведенияпутем6^A23465)==6Поперацииq6^C41256)ит269)добразоватьможносим-напри-симметрирования,образом:следующимнапример,6^B13456)__6С6П<->==—A.270)Здесь6П^'I2гз^Ч^Ч^воперацияиндексамчетыремстоящихнаТензорA.269).пятомвидаместахA.270)иобладаетA.266)видасимметрированиефиксированныхпришестоми6Созначаетi ,22»индексахпочестоя-т.п.симметриейкомпоненттипа§Тензоры1.8.ранговвысшихУпражнения1.8.1.УпражнениеПоказать,1'31'"'4!^®операциячтоСверткипо4П<2)R,4,®..умножениескалярноет.е.двухчет-тензороввсемnWi-i'R^=индексамчетырем®образованиюкприводитRi4,®..скаляра:следующего1.8.2.УпражнениеместоимеетПоказать,1.8.3.УпражнениечетвертогоДПоказать,ПрангаУпражнение(А=•имеютВ)•(В-(СD)•вт=тензорат®••Трангавторого-4п.•тензоровпроизвольныхдля•••В)<3214>®-(Свторогоранга®Показать,•А)=чтоквадрат•(D•-(СА)®В)<1432>®=•симметричного••-(А®тензораС)=Тможновиде:Т2Упражнение1.8.6.Упражнение1.8.7.хпПА•чторанга=—€ijilaiUji:iV9Д•••-Т®ftтензореслиТ.обладаетдвумяпервымитоПоказать,71-готензор=Показать,A.264),симметрииавсякогодлячто(D=1.8.5.представитьпроизвольныйрангасоотношения:D)<1432>®т•Показать,местоУпражнениеусловиямивторогосоотношение:-4п•1.8.4.13С,тензораТ2-Е.=чтоместоимееттВ,симметричногодлячтосоотношение:Т®ТА,1.8.рангачетвертогоТ§к___79чтоимеетпроизведениевекторноевид:{Rtl<векторанапро-иГлава80Упражнение1.8.8.Показать,множителейперестановкиТензорная1.валгебрачтоимеетместоформуласледующаяпере-произведении:скалярномa.Упражнение1.8.9.71-готензоровДатьрангаAj-кратногоопределениеA.240),формевзатемаскалярногопроизведенияA.246)формулувывестивкачествеследствия.§Общие1.9.1.ИззамечанияобщегооопределенияобъектвсякийсвойствомПсевдотензоры1.9.тензора,однойизсистемыобразомВышепоужевстречалиськаких-либоЧИВИТЫвтензоров,эточастности,преобразуютсянекомпонентамиявляютсяотноситсякЛеви-символам€ijk-Однако,оказывается,преобразуютсяиихобъектыиграютнескольконоклассотврольважнуюотдельныйвпреобра-которыеA.129),тензорномукТакиеобъединяютобъектов,рядсуществует"близкому"закону,поотличающемуся.исчислении,тензорномспециальнымкоторыенеследовательно,и,переходеприкоторогообъектами,сзакону,обладающийпреобразуютсядругуюA.129).законумытензорномунеговнечтоследует,толькоатензором,координатпо-1.7.1,п.компонентыт.е.инвариантности,вданногоявляетсяиндексамиспсевдотензорахтензор-псевдотензо--псевдотензоров.РассмотримобщийметрическойМетрические(см.матрицыупр.1.1.9),икриволинейнойсистемыматрицыg%iиgijявляютсяпреобразуютсяпоэтомуоб-сформулируемзатемкомпонент.ихОпределитель1.9.2.апсевдотензоров,примерыпреобразованиязаконкомпонентамиXхкоординатвтензораизпереходеприХ'хдругуюпооднойкриво-(см.законуупр.1.1.9):(fitВычислимопределительд'или,=вводяdet(^-)обозначение=(detA.271)д'^:матрицы=Plj9mi.Р™)Jdet(Pm{(gml)=якобиевойопределителядляД=det(det(Qmi),(Pmt)Jg,A.272)матрицы:A.273)§Псевдотензоры1.9.81чтополучаем,V?=±A\/7.ПосколькувсегдаA.274)должноимеетвыполнятьсяТакимбылобыявляетсяпроизвольныйвектордвухеслитак,тонарушаетсяпроизведениепреобразованиеосей,3видезаконуA.26)можеткоординатбытьт.е.Если1.рангаA.2)полученоориентациявек-иэто.покомпонентно:^д(аЧ3формулытакиетри=век-Покажем1.рангаA.276)е132а3Ь2)+жепреобразований,тензоромпроизведениевекторноеобщемтензорномунепрерывностьбытьперестает"истинныекакпреобразования.тождественногоменяется,A.276)векторыкоординатныхизскКк.=тольковек-помощьюсЬ:такиепреобразующиесяРаспишемВнеследовательно,и,образованныйиу/деика{Ь'Ккпоориентациивекторное=использовалидействительнонепрерывноосейдолж-инвариантову/д)=с,авекторовaxb=мыранеет.е.меняет(дляпроизведениеcнеинвариантомявляетсяне0.произведенияЭто\fg*равенстворангаРассмотримВсюдувекторы",у/дA.2)скалярвыполнятьсяВекторноевекторногоформулатоA-275)координаттензором1.9.3.0,>|A|\/7-=важнейшийобразом,преобразованияхлюбыхдолжноу/дусловиевид:VflприA.274)а3Ь2)-иследующимпредставитьможноA.277)т.д.образом:саиа,/3,7индексыПрипримета=образуютвпереходесистемуX",Х'%координатпри-выражениеэтовид:<4гдеA.278)1,2,3,подстановку.четнуюновую=с'а,которыеа'Р,Ь'~<-A.279)=векторовкомпонентысвязанысaа&,=ЬQl}ia\с,аиbвсистемекоординатсоотношениями:6'^=Q7^A.280)Главаg2(дляавекторовТогда,чтокомпонентывыполнениевскобках=ВЯ'ЖШ-исг,/>,приможнопред-<ГЪ%р,а,иэтот.е.j,A.282)1,2,3,=подстановку.величиныЧявляютсядополнительнымиякобиевойматрицы,(формуладлясwРраэлементов1.2,3;Р=аобратнойA.283)=1,2,3матрицы).обратнойкомпонентвид:принимаетA.278),формулына(тЧдляРра>=определенияучетомзаменитьЧи>минорамиA.282)Тогда(тЧпоэтому^@№и-0\Я*ш)или~четнуюнаA.281)Я\ОРЛ**Гобразуютсноватольконуляiтогдарфафифр,1,2,3;=индексыОднакоотзаменеприобразом:агдеотличнотензора,следующимс'«получаем:противоположныйназакона).тензорногоA.279),вкососимметричногопредставитьалгебраA.275)ивыражениезнакменяетиТензорнаяпредполагаеммыA.280)Очевидно,ф jгbиподставляя1.вкоторойиндексыа,/3,7за-следуетполучаемр,сг,а;,A.285)формулуискомую-"истинных"являетсякогдавекторногоA.285)Изпроизведения.векторов"истинным"Дпреобразованиядлячтоследует,(илиих>0.произведенияВобщемназываютещеслучаеотличаетсявекторногоприформулапроиз-произведениеполярнымитольковекторомкомпонентвекторноенепрерывныхпреобразованиякоэффициентом"истин-двухвекторами),являет-преобразованиях,век-компонентА/|А|,т.е.знаком§обычногоотСимволы1.9.4.Вышеужечтоупоминалось,Q'mQ^Q'i=фактическивкоторуюможноA.286)слеваdet=кипреобразо-законэтотзаконсовпадаетнеД.yjg,насправаA.274)учетомсполучаемy/geijk*компонентVFСовершенноможноаналогичноформулупреобразованиях,преобразуются1.9.5.тензорномупо0,>СмешанноеаДприпри^/ge^juи0<непрерывных{\/^/д)е%^кпре-нет.-=еговd-cсистеме4с"=ddic\компонент=щР{ЬС2\ска=Xхкоординатпреобразования=a,векторовbисможновиде:V?=(axb)-cдляистинныхтрехпроизведениеву'чтоследует,произведениепредставитьВычислимA-288)Pкомпонентызакону,СмешанноеA.285)A.289)иДкогдаформулу:(/)ikA.288)соотношенийР"Р1компонентдляA-287)обратнуюполучитьщИзяко-A.286)(Q1,.).какчтокоэффициентапреобразованиядлятакжеихдругую.применимрассматриватьОчевидно,наличияиз-заA*;*,Леви-Чивиты.символовтензорнымУмножаяаяв-QljiформулуформулунезаконкоординатA.42),формулойA*mn/ссистемыefJ*е,-^,Установимранга.однойизвоспользуемсяматрицепреобразованиятретьегопереходеприэтогоЭтуаксиаль-Леви-ЧивитысимволытензорапреобразованиябиевойназываютсявекторыЛеви-ЧивитыкомпонентамиявляютсяДляТакиезакона.тензорного53псевдовекторами.илиаксиальнымиПсевдотензоры1.9.иbхХ'\AdiC*d.R1'.используяA.290)формулупроизведения:векторного===jL9.A.291)ГлаваТаким"истинным"преобразованийобразом,Тензорная1.смешанноеA.2),координатУкажемнаba,его6 >когдаR2Ri,V?</=Нодлятакжеформулау/дпреобразованияНаA.274),жесамомФормулаA.274)векторовбазисапроизведениямиA-292)однихтехОбщее"близким"кОпределениеопределениетензорному.Ull-im=tm+1..

tnRtlкомпонентыкоторогоХ1хдругуювек-R3;втовремяпроиз-различныхвA.293)RJу/д*связидляпреобразующихся®имеющий..<g>переходеприпреобразуютсяповR,m<g>изтензоромполиадномRim+1однойп-гопред-базисе<g>..<g>RSA.294)координатсистемыXхзакону:х=Д/|А|.Такимчисла:яобразом,инекоторое-этомw,различаютячисло,четыреA.295)A.295)преобразованиязаконевпричемцелоеисовпадают.необъектов,дляпП,вида:пП•смешаннымиОтносительным1.33.объектназываетсяпредставлениеR2)xпсевдотензоровобщеетеперьФор-различныхвычисляемыхиA.291).нет.относительныхизаконам,рангабазисытолькотак-A.274)имеждуформулаR,-т.е.имеетсязаконаот(Ri=новекторов,X",определениетензоров^/дисвязьинасупроизведенийR3•жееслиДадимR'2)xХ1хвA.293)смешанныхXхнеприменима,XхмеждуустанавливаетиA-293)изочевидно,(R'x=координат1.9.5.ввекто-объем^=отличаетсяпротиворечиясвязьу/д*A.293)системахпокачествеполучимщл/9-=переходеприкоторая,деле,указываетформулау/дтоприA.291)согласнокактольковR3,иR3и0.Еслипротиворечие.базисавекторыпреобра-местоимеетA.2),являетсялюбыхинвариантностькажущеесяодновзятьсинеговоря,относительноинвариантомпреобразованияхвектороввообщепроизведение,скалярнымнепрерывныхалгебраможеткотороекласса:участвуютзначенияприниматьможетбытьтолькоиотрицательным.чис-два1или-1,aПриw§ 1.9.••еслиип-горангаеслих1,=aагиможетможетусскаляром)тензораистинногодля§вранга1.7.A.289)A.285),A.275),тензоромwвеса=идвухистинныхранга(т.е.произведениенулевогоетретьегоспсевдоскаляром);^/g€{jk(т.е.компонентамиявляетсяа-(Ьхс)вектороврангаЛеви-Чивитыbхавекторовпсевдовектором);истинныхтрехпсевдотензором(относитель-ранганулевого1;—первогоявляетсяпсевдотен-являетсяранга.Обратныесоотношенияимеюточевидно,w.п-гопреобразованияпроизведениепсевдотензоромназываетсяназываетсятензоразаконыпсевдотензоромтензорnflтовесавыше,определениемотносительнымвекторное•О,=чтополучаем,смешанноегирангаданноестеперь(относительнымп-гоопределение,является•а-1,аги^0,топГ1значениесовпадаетСравниваяA.291),у/g-1,(илирангаранга;приниматьчтоп-готензоромпсевдотензоромранга•называетсязначениеп-гоОчевидно,•nflтоприниматьотносительнымп-гоО,=псевдотензоромеслитензоромотносительнымназываетсятензором);если,**•пПто85w;1,=истинным•ф О,wвесаПсевдотензорытензоров,относительныхкомпонентдлявид:im+l—Jnя\А\-Р\•=ЕслимыистинныеЭтоЛеви-Чивиты.ВмыбазиселюбомотносительнымД=€detR'будет(Qlj),вистиннымприведемy/gtijk€,ивесаQ*jсогласноЕслижеформуле€,A€tJ-fe,равнымиизтойотноси-объектввестиеслибазисежеe%jkравнымиявляетсяНаконец,любомпреобразованиятотензором.1.вматрицапроизвольный,объекттакой=прикомпонентыопределимкоторогоA.286)согласнопоказательныйкоторогоупсевдотензором.являетсяопределитьa€,привышеодинещеобъектчтокомпонентыпсевдотензоромкоторогокомпонентыбазисаглавывидтоотно-кактензорамиипроизведениямипоказано,имеютбазисе,wиспользовалосьвсюдусмешаннымиобъектвесапсевдотензорыфактическибыловведемпсевдотензорыко-какw.этойп.1.9.41,иA-296)преобразованияпреобразуютсянепрерывные=относительныевесазаключенииВхвекторными,спример.в любом0,>атензорыобстоятельствооперацияхвДтотензоры,относительные-<?'"i.nWW"-+..

Характеристики

Список файлов книги