Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 3
Текст из файла (страница 3)
R.-(=чтосчитается,объектприменяютсяВR*A.6)связииндексов(см.,матрицыР<кР{.=находимнапримерпеременыправилоиндексовга,междуP\Pik=отиспользовано,самоеобозначения(г, j, Aj, /,Согласиравныgijиндексомобратнойвзятиясим-различныхматрицотличаетсяверхнимправилоДляве-значениековариантныеметрическихдифференцированияжеин-нижниеодинаковы.ej.ссичисленноекоторыхопределитьpimpkn>QJk%.=операцияхТозначенияQkj,иочевидно,объектунаоборот:чтокоторыхдляянR,-объектами,всемиверхниевиде:вкоторая,базисавводимТ.Д.).Ивыражениязаписатьсопоступатьиспользования<Jj-,компонентQ\=дляA.20).формулуиспользоватьпонимая,длябудемматрицы:значенияQl2Однакоиндексов,изменяется.неКронекерасимволов3.согласносовпадают.расстановкибудембазису:Л,ё,ивекторовдальнейшемвквеличиныё1АправилотакжеиндексыэтовычислитьможноA.20)тогдат.д.,равенстваТочноВисохранитьотносящимисяЖ.ei=обозначенияQ\,ё,-,к23ei=gi^j=Si^j,т.е.Согласнобазисавекторыне1, 2,особо,3.A.18).буквылатинскиеоговореновоперациипред-на-Глава24Иногдавкачественапример:i,многоярусныеиндексныеобъекты:однако,какиизг*1,г2Еслихотятв2,иточасточтоозначает,1, 2, 3.пробегаютиндексынихмногоярус-записьтакаязначениядляобъек-индексныеполучаютсяслучаеслучае,что1такжеэтомпробегаетдр.подчеркнуть,например,значения,В*з?предыдущемиалгебраиспользуютиндексов^2»объекты,каждыйТензорная1.зна-дватолькола-заглавныеиспользуютбуквы:латинские&',a,,ГреческиечтобыбуквывприменятьQ7,,качествеJ,Jчастоиндексовповторяющиеся1,2.=используютпоиндексы,длячто-того,неткоторымсуммирова-суммирования:Qaa>Крометого,индексыиспользуютввместонапример,можно73;=aименяются=2,втеперьэтом3,=7каждой1;=аггдеВввидебазисекомпонентысилуR,-,а3,1отесли=то/3=a=1,73,ното/3до1,все=2,2.=чтоавекторинвариантностиопределенномввектора=а,другойа(х).полепоВдекар-A.22)ё,.точкеa^a'R,-,кхаа"ё,аданнойточкиразложениембазисевектороднойвекторноепредставитьA.1):вотопределеноможновекторопределенпространствапереходеприа-еслихточкеговорят,хбазисузначенияобразом:говоря,случаеточкетову/3вообщеВиндексов,полеменяющийся,х'.каждойпробегаютциклическимтоВекторноеПустьа,/3,7чтоесли1.1.6.ин-греческиеоднупредполагается,неравныгдеформуламперестановкойциклическойсформултрехприменитьониформулахв1, 2, 3.=компактностиприданияцеляхa9aa,можнопредставитьвлокальномх:A.23)Локальные§1.1.авыполненыэтомприa'e,-=ofgaK1=х'a'R,=связьполучаемкоординатa'Rt=a/R/,=A.24)соотношения:аОтсюда.25базисе:взаимномвотакжеабазисавекторы=a,R'компонентa'Q'^e,.=векторааA.25)системахразличныхвXх:иа1'а?Q>-\=Р>.=а1.A.26)Величиныatантнымикомпонентамиввекторасвязаныковаривек-ОниR*.базисеа\сназываютназываемымисвяза-контравкомпонентамивариантнымибазисе(рис.R,1.3),соотноше-соотношениями:щA.27)дцаг.=Очевидныобратныеисоотно-соотношения:Рис.1.3.КовариантныеикомпонентыантныеA.14)Подставляякомпонентиа,Заметим,преобразуютсячтоA.27),в=Qkiak,ивТеоремаоднойсх,аДоказательство-этопросто+двух=очевидно,векторы,A.6),полейвекторныхполе,векторноеЪввекторов(формулыбази-этихA.26)иA.21),полямивекторнымиСуммаобразует1.1.точкеA.28)компонентыобразомразличнымОперацииковариантных=A.28)).1.1.7.A.27')связьполучаемakбазисоввекторы</%.=базисах:различныхiбазисаха'A.26)ива*контравариавектораa'Rt-b*Ri+кактаккоторыеможно(a1"=вкаждойскладывать.аЬ,иопределенныхпричем+b'")R,-.точкеA.29)хвекторныеполяГлава26ЎВсуммесамом•Ъa'R,=Таккака1и(а=аI/2тосовпадают,а,-ПифагоратакжеA.30)АсамогосебянаA.31)двукратногоа%щчтоа(а'а,I/2.=помощьюсубеждаемся,Ь,иполучаем<цЬ\=вектора(а'«цI/а=аД,\а\:вектора•а'Ь{=произведениедлину\а\а'Ь%-=СкалярноесобойтеоремыVRj•дляправилоавзаимномиA.24)иполейвекторныхосновномвA.14)матрицы1.3.ТеоремапредставляетдвухкомпонентпредставлениеметрическойаЎихиспользуяделе,определениеалгебрапроизведениеСкалярноепроизведений1.2.ТеоремаЪ равнобазисах:Тензорная1.\а\2.=примененияНоизA.26)A.28)иполучаем:а*<цКосинусвычисляемфугла=PikakQjiajмеждуa%=авекторами\а\2.=bиАчерезвычис-координатыобразом:следующимA32)™+=УпражненияУпражнение1.1.1.§кПоказать,1.1.что=gij.УпражнениеУпражнение1.1.2.1.1.3.ДоказатьформулыПоказатьистинностьУпражнениеУпражнениеУпражнение1.1.4.Доказатьформулу1.1.5.Доказать,произвольных1.1.6.матрицdetBXj{А';В\)иA.18).формулыR1чтоИспользуяА%j,A.15)•A.18).Rfcопределение=6%к.A.8;),выполнено:=det(A'^det(В\).показать,чтодлядвухиЛокальные§ 1.1.^_____1.1.7.УпражнениеQXjматрицыдляИспользуяирезультатыPXjобратнойее1.1.8.системыводнойизпереходеприсистемучтокриволинейнойXкоординат•*,опреде-Q.гдеiIдХгага!хиглгпУпражнениеXft,Щ¦Показать,УпражнениеЩчтопреобразуютсяиз_вXfJ.Р.1^,а=убазисах:a^R".=системыизпереходеg'ijR"=Q'=1.1.8системы1.1.9,икомпонентыковариантныекриволинейнойоднойR°•упражненийрезультатыR*,Хгкоординатобразом:следующимбазисапереходеприприИспользуявзаимноговекторыXхс»-0ja.R1=P'jgmi,РТ=ртпразличныхпреобразуются1.1.10.чтопоказать,вa"R;=матрицы=произвольногоизm?Ч~аa'R,-=1.1.9.метрические9'{js)i_jвектораавкомпонентыматрица:компоненты-ипреобразованияматрицаР» тУЗдесьdx/dXfJ=соотношениями:-обратная-R{исвязаныдХ'Э—/дХ1тЭХ1R,-базисахэтихвi)(базисоввекторыавекторапо-A{векторавкоординатдругуюобразом:следующимR"R'"Q'raRTO,=Упралснение1.1.11.Ж1X(полярныйV=Мточкиугол7*COS=радиуснаимеютQ'jVsin^МточкиОх000X"),показать,0—гътфгсойфсистемы=Р\пщ.1.4)(см.рис.координатX3X2=rsil <^,<^>,координаты;/соъфIа'т<У^,=цилиндрическойвид:=сцвидаплоскостикриволинейныецилиндрическиеP';'R",=ДляA.2)соотношенияопределеныгдечто'<"локальные(полярныйпоказать,(Р)).криволинейнуюновуюA.9),икакопределенную=Показать,Xхкоординат1.1.6упр.1/det=27формула:справедлива(Q'j)detУпражнениебазисавекторы1ОхплоскостинаX=:Z"=¦что(осеваяякобиевыZ,Х~Х~)укоордината)матрицыф (поляр-=цилинд--QXjиР%:Глава28.Ц.Рис.ЦилиндрическаяТензорная1.алгебра1.1.12.УпражнениеДляXГ=(азимутальныйякобиевы=sinгд(радиусугол)J=sinA/r)$=¦ж3ф,i9 sinXугол),вид:^фrcostfrcos—^<?фcosд sinsinrдsinфд sinIфcos01.1.13.Показать,базисачтоR2сферическойсистемыRiR2,/^цилиндрическойсистемыsinrcosддcos—rsin^ei=cos^ei<^>ei4-$ sinsin++координатвид:rcos0ёг,cos#ё"з,R3координат:==дляследующийимеютrcos# sinфё2^ёг+—rsin?9ёз,ф=чтопоказать,координаты;—rsini9cosд,cos(меридиональныйкриволинейныеимеютг=cos#cos<^>локального1.5)рис.0Упражнениедля(см.координатд sinsinг=cos?9дsinсистемыXМ),сферическиеиР*\=х2ф,точкиQ*Q%jако-системавидаcos-матрицыР)сферическойA.2)соотношениях1векторыСферическаяординатопределеныгде1.5.Рис.системакоординат=Векторное§1.2.R.31.1.14.УпражнениеПоказать,матрицыметрические00Ог20001Aасферическойдляg%j,д%^системы29si(—=произведениечтоицилиндрическойдляддетерминантсистемыимеюткоординатвид:координат:оо0дУпражнение1.1.15.взаимногоадля^-R2=сферическойR2==—R2=dфёх+-фё\cosdcos-§Символы2+фёгcosг1векторыsin+cosфё2,sind sinфё2<>R3R3==ёз;+г1„2'sinvqR3=—Г—«гВекторное1.2.d sincos-фё2sin(v+cosдёз,siфё2COSпроизведениеЛеви-ЧивитыОпределениеЬ,фё\cos=sinsin=r21.2.1.системыкоординат:Ri=Ri--цилиндрическойдлявид:=системыR1чтоимеютR1R2г4 sin2=Показать,базисалокальногоl/(r2sin2tf)01.4.обозначаемоекакaxbaxb,=Векторноепроизведениепредставляету/^е^ка1ЫКк=а.векторовсобой^р€^ка^Кк.у/9следующийвектор:A.33)иГлава30Здесь€%зк€ijk,e'jnUiksалгебраЛеви-Чивиты:символы-Тензорная1.0,еслиесть1,еслииндексыеслииндексыиндексы,совпадающиеразличныиразличныи{—образуютчетнуюподстановку,1,—образуютнечетнуюподстановку,адA.34)det—|</,j|.ВажнуюНапример,ролькомбинациииграютA.33)изНепосредственноможноеу*«У*=в,A.35):€gmignjgik.проверить,чтоe^1eijkei"n=6lj6?-6lkS?,2S\,=A.36)также€ijkTijTijгдекоторой-TijTj{.A.35)—Умножаяб'-7*,наматрицыA.38)Формулуможнометрической,за(А',-)A.39)=поанетолько=i{k{Alj)A.8'),формулуврасписываянепосредственно,индексам.впредставить^€ijk(A{AiAlA.39)detубедитьсятолько^{lAlj,матрице^*€-»'А'гаА'„А*,.всемможно(A'j)A.38)любойдетерминантапокомпонентноdetкможносуммыФормулурасписатьдполучим:A.39)справедливостидетерминантавыражение\^kemnlgmignjykl.=ко-длякомпоненты:ееопределениепокомпонентноматрицы,явноеполучаемприменитьтогдаdetПринимаясимметричнойчерезУA.37)О,=произвольнойкомпонентыметрическойку/д.сследует:у/9аЛеви-Чивитысимволоводиниз-несколькоиномсимволовЛеви-Чивиты:А[А{Ак2Й.виде,если+A.40)Векторное§ 1.2.Посколькупочастимеждуравныdet(Aij)€ijkAiaAjpAk1,=/3,7а,гдег, j, к справаубеждаемся,собой,поэтомуиндексаминдексов,парыместамилюбуюЕщеВегоилиподнятиеужене€ijkПокажемA.42)убедитьсялегконепосредственнораспи-затемпроизведения.произведенияПоследовательноедляумноженияЪ)хоперацийприменениескалярногос•с=(а•трехвек-векторовA.44)Ь)хпроизведением.смешаннымСмешанноеиA.43)т.п.векторноговекторные(аназываетсяисвойствадвойное1.5.а€{\=ъткдт*€4mgmk,иel<;fc, е?кобъектамкприводитконстантами:важныеОпределениепроизведение,очевидно,образованиюкприводитска-(р:(рОпределениеd,образом:Используяd=(а•Ь)хобразованныйизdA.33),вd=(-6i,6lm+6im6?)aib'cmB.k(-а,Ь'сккхиссле-d:компоненты{^к€1т]а{Ь1ст)КкA.36),bс).х=dkRk.A.46)преобразуемambkcm)Rk+приходимаa,векторовкA.46)виду:==образом,трехнаходим=формулу(Ьха=-±-&kai(y/gelmjbl<r]B.kу/9вторуюA-45)произведениемвекторнымопределениеИспользуяy/geijkdVc*.=Двойнымвекторследующимс=1.6.называетсяТакимeijkA*mA?nAlиндексов=Смешанноескалярапод-таков:=являютсянекоторыевекторного,нечетнойПриформулытакжекоторые1.2.2.A.41)1,2,3,т,п,1.индексамОпусканиет.п.,мес-правойва,0,7=(Л'>шп/справедливостипоменяяслагаемыхподстановку.этойзаписиdetрасписавшестьвсезнак.способодинтосумирование,идетчточетнуюпоменятьследует31афрфчфа,образуютподстановкепроизведение(Ьх(а=•с)Ь-(а•Ь)с.A.47)формуле:с)=(а•с)Ь-(а¦Ь)с.A.48)Глава32.ТеоремаалгебраахЬсаиЬОртогональность1.2.3.Тензорная1.axbВектор1.4.ВЎ(рис.ка«Ьортогоналенсамом1.6).деле,axb(аЬ)х=а•ax€2j3a2a3+e2jia1a2+e3j2a3a2)b>+=e2ji)a1a2+e3ji)a1a3+Puc.1.6.КвекторногоТ.К.свойстввыводупроизведения€ij2=И~€2ji|аДлина1.2.4.ТеоремаЎДлинанаВыберемSfr>•=A.49)0,=а|з.| Ъ|sinVплощадиравна(рис.Ъи=скалярнымсистемыспециальнуюЬ||ахвекторах=являетсявыбораот0векторапостроенногоПоскольку=e3j2)a2a3jy+b|хSзависитF2i3АТ.Д.1.5.параллелограмма,+|авсистемукоординатпараллело-1.6):A.50)Ь|.хтоинвариантом,координат,SкоторойR{,вегонезначениерассчитывается.онкоторой:Тогда|а|2SВычислимA.32):=9ija}a?gnala\=^b2\y/l=cos^изопределенияскалярногоа-b=произведения|а.| Ь|cos-0-Отсюда/911922|ax62|-cos2V'.Jgng22векторов§Векторное1.2.произведение___33011022Здесьиспользованозз9ТогдаSдлявыражение5=обратнойкоэффициентаопределение011022уматрицы1/-@11022-=0вид:принимает-011022ВычислимхаbвоахобразомтакимЕсливведеннойЬ=A.50)утверждениеобозначитьппредставитьвбудемп=1)кможнопло-пред-A.51)виспользоватьГеометрическийсмыслдальнейшем.векторовбазисаРассмотримвекторноеA.33),RnxRwвакоторомy/g€ijk8ijtnRk=RnбазисавекторовпроизведениеопределениемвоспользуемсяR^R,-=RmxуД€пткКк,=иbиA.52)частностиОтсюдаRa:нагеометрическийследуетвекторыэтонатянутойR^,Тензорное•(К„исчислениевзаимноговекторовкоординатнойплоскости,базисанатяну-объеманаскалярноR,-(a ф /3 ф 7).R-^ВычислениеУмножимсмыслкортогональныевекторы1.2.6.2•axb.=частовзаимноговивиде:соотношение1.2.5.A.49)соотношениято(пA.50)нормаливекторn5ЭтоАдоказано.единичный-S параллелограмма,площадкекоординат:системехRm)=R,y/genmkRkобечастиA.52):уравнения•R,-=y/genmi=y/g€inm.A.54)=Глава34частныйРассмотримПокажем,у/дчтосвойства(R2R3)x=|V|,объемэтоискалярного(R2R3)xSплощадь-параллелепипеда,ТакимR,что|Ri| R2|Ri| costs'==detобразом,tin)имеем=gij(QkQk)det=иxhQ*Qjk,Упражнения(Qk)1.2.1.Доказать1.2.2.Доказать,чтоУпражнение1.2.3.Доказать,чтоЫхДоказать,чтоУпражнение1.2.5.Показать,чтоR,-R1'хДоказать,хЬ)•чтосвысота.l^rl2-=A-57)A-58)1та1-A.37).и0.=неперестановкациклическаяпроизведения:(аего=1.2.4.1.2.6.~1.2.A.36)формулыУпражнениесмешанного§кУпражнениеУпражнениерезультатапаралле-cos^имеем--Упражнениеосновании|R,|—A.56)соотношения:равноправныеR'|V|,hS==(Qf)detdet=aИс-R,.векторахполучаем:вR,-,векторахQ\ej=напроизведений,лежащегонаA.55)y/g.=построенныйпараллелограмма,построенногоУчитывая,д^6123векторного=здесьалгебраслучай:Rx.ИспользуяТензорная1.=(сха)•b=(bxс)•а.меняетре-Геометрическое§ 1.3.1.2.7.УпражнениеопределениеПоказать,Показать,хе,1.2.9.УпражнениеA.38)из§1.3.1.ООперации-векторампозволяетграфическиё,акаксa-bавектораaR,*,наВекторывекторомбазиса.основногоR2-R1=0,(см.Ri-R2-наRaa-плоскости),наа1векторавкотороебазисеавекторавнеор-Для=0,проекцииащaRoi\Ra\.A.60)изобразитьможноихслучаяRi-R^l,графическиспроизведенияскалярногодвумерного=ортогональныеR,-:длинуRa1.1.5)упр.этоA.59)|а| Ла|со8^а=базисавзаимногосвойствапомощью=(см.числоортонорми-al-R>a.=а,-умноженныеаанагляднонавекторабазиснымкомпонентыal'R,-=компонентыанаR,-:базисеКовариантныенауказываетможнокомпонентыё,-.графическинаповекторовиизобразитьтонормированномадляизображенпараллелограм-такжевектора1.7правилуумножениюизобразитьтакжевекторак(рис.е,-проекцииМожнорис.0.2и"по|a| 6|cosy>и0.4).=сущест-конечная.-a-fb=МточкевМточкаранга,ОиМ,точкиразложениюкпервогострелкиначальная,относитсярованнымтензорамиНаличие(см.такжеитензорамивектороввекторовсамоеанепосредствен-тензорассоединяющийа,графическижепоказатьнимиумноженияизобразитьA.34),такжесложенияпараллелограмма"и скалярногоТовектораi.=изображение.векторрис.0.3),ортогональныхопределениеВведение).точкакоперацииназываемых(см.чтотри-определениеграфическоеГрафическито,0.=ф j фгизображениесвекторов,0.1ае,если=efc,е,Геометрическоеалгебраические1.3.наглядноерис.чтоИспользуяГрафическоеоперацийДляхаа,A.16).следуетисуществуетхтодлины,непосредственно,что—b=1.2.8.единичной35чтоaxbУпражнениетензорасвекто-имеем:R2•R2=1,A.61)по-Глава36.Тензорная1.алгебраатi/а/>а2е2Аа1г-aR,RiРис.ние1.7.Графическоекомпонентт.е.R1поR.2,кортогонален|Д|длинамR2a-кRi,а=плоскости(рлевыйтакаяугол-RiмеждубазисжепоориентацияПослеапостроения(ртг).^дляR',вектороввекторовA.62)Напомним,плоскос-вчточасовойпротивиграфическиэтихдлины1,2,направлениюсохраняетсяизобразитьможно@ ^R2инумеруетсябазисеортонормированномв1гдепредкомпонентковариантныхвекторавекторвычислимГеометрическоеставлениеортонорми-базисерованном1,8.Рис.изображеввекторастрелки,базиса.взаимноговекторовортогональныминихнапроекциямиа%компонентыковариантныевектораа:аагдефаугол-1.3.2.а=междуДадим-наглядностиаподобноечетырех(индивидуальнывторогоназовемдлядлякаждогоизвсехновогодлянагляд-длярассмотримпространстве.Тензоромвыпущенных(одинаковыопределениеВначалепространствевекторов,фиксированытензораевклидовом1.7.A.63)Raиранга.двумерном\a\ cos4>Q=геометрическоевтороговевклидовом|Да|,определениетеперьтензоратензорыaRa=векторамиОпределениепроизвольныRaГеометрическоеобъектадвумерном•однойтензоров),тензора).Трангаупорядоченнуюдваточки,адвадругихдвумер-всовокупностьизкоторыхпроизволь-Геометрическое§ 1.3.1.9.Рис.ГеометрическоепредставлениетензораРис.пред-ба-взаимноговекторовопределение1.10.представлениеГеометрическоеизображенииграфическомфиксированные(рис.стрелкамиУпорядочениечетырехобразующихследующимобразом:считаютсядваез,1.11.тензораТииeiинди-Ь.образомтакимТдва-[eiae2b].=тен-обозначение:специальноевторогосчи-третьимвекторачетвертымивведемГеометрическоетензораследу-первымаопределенногообра-производитсяфиксированныхвторымДля1.11).векторов,Т,тензориндивидуальныхРис.выделяютсявекторыжирнымипредставлениеконтравариантныхвектораПриипредставлеиковариантныхкомпонентбазиса.37A.64)рангаВвыбрать1.3.3.ОперацииВведемправилаА.впространствеевклидовомудобнобазисавекторыссвычисленияСложениеОпределениеA.64),видатензорамиисуммыдвухе/векторовтензорамиоперациитеперьфиксированныхкачествеё/.т.е.графическиепроизведения.скалярноготензоров1.8.ТСуммой=[eiae2b]двухитензоровВ=[eice2d]A.65)Глава38.Рис.1.12.ГрафическоеS,тензорсуммойявляютсяалгебравычислениесуммытензоровдвухназываетсяТензорная1.индивидуальныеу которогосоответствующихявляют-векторыТтензоровотвекторов«В:A.66)Такимобразом,графическоевзаключаетсяповБ.СкалярноеОпределение1.9.свекторпредставляетфиксированныхсправадвухсложениянапредварительноaub;векторамис•Графическийопределенияпредварительнофиксированнымирис.наeiсГрафическое•Тпостроениесег,индивидуальными•напутемпред-умноженныхвекто-+с)=вектораdвытекаетA.67)d.изопре-Тнаслевасвекторскалярноеаспроизведениеf,вектордаетвекторовиЬ,пред-фиксирован-сёг:и=синдивидуальныхсуммуумноженныхс)такоготензорасобой•Тобразуемый1.13.умножениевекторамиei(a=ие\спостроениянаСкалярноес1.12).(рис.тензораd,векторвекторов•показанпредставляющийумножениесобой=способиA.64)видавекторпроизведенияскалярныеТнаСкалярноефиксированныхдвухобъекттензораумножениеза-тензороввекторовнеизменностииобразуетсясноварезультатедвухиндивидуальныхсоответствующихпараллелограммаправилувекторов,сложенияправилосложении[eiae2b]=вектора(с•fei)aпоказано+(с•ё2)Ъна=рис.A.68)f.1.14.Геометрическое§ 1.3.Рис.1.13.Графическоескалярноговычисление1.15.УмножениенатензораОпределениена1.10.собойпредставляетполучаютсянаГрафическоетензоравекторавычислениепроиз-скалярскаляр(рТ,умножениемвычисле-произведениятензорУмножениетензорГрафическоескалярногонаРис.-391.Ц.ниетензорапроизведенияВ.тензораРис.вычисле-произведениявекторнаТопределениеТтензораиндивидуальныепо-которогоа«Ьвекторовсоответствующихпред-(рскалярнавекторытензора<р:ipTГрафическоепросто=p[eiae2b]изображениеумножитьоба=тензораиндивидуальныхA.69)[ei(pa)e2(pb)].(рТнадоочевидным:становитсявекторааиbначисло(р1.15).1.3.4.КомпонентыОпределениетензора1.11.КомпонентамитензораТназывают(рис.Глава40.двойныеТензорная¦произведенияскалярныебазисавекторы1ё/алгебраТтензораислеванасправавек-:е/=•Т•ejе/=[eiae2b]•ВычислимA.70)ej.•сначалаA.67),затемаA.68),слеваТивei=произве-скалярноепользуясьсправа,произведениескалярноепроизведениерезультатеполучаем:(ei(а•правиломei)•bie2)++ё2(Ь=ai.•ei))=A.71)Т12а2ЗдесьdjbиbjиРи1.16,С,тензора второготензо-чтотодекартов,Аналогично12—ei•i.•е2ei—[(ех(аС]•е2=образом,•Т1.6.соответствующимие2)•ei•доказанаТеоремае2(Ь+6i,=T22следующаяTjjКомпонентывычислимЬ1ё1.A.72)базиса1вё/-совпадают).R/•ТТ•Rj=е2•Ь2е2)+а2>=A.73)Ь2.совпадают=стензораe'jсвязанныйсе'ТякобиевойA.74)базисеэтомвR/ajкомпонентыR/,соот-векторов0J/ej,=тензора=ТбазисебазисA.6)):компоненты•(а2ех•Тновомпроизвольныйтеперье2изобразитьтензора(см.=ег=индивидуальныхграфическипозволяетR/и=иа/тензораего1.16).Выберемматрицейa/eJтеорема.КомпонентыкомпонентамиТеорема1.3.5.=посколькувсее2))•h(рис.аполучаемTfeiТакимЬ1ё1=(Напомним,рангаaJe/=ЪГеометрическоекомпонентвекторовё/:апредставлениекомпоненты-базисев•[ёдеЬ]по•RjправиламA.70);=A.75)и§Геометрическое1.3.определениетензора-41е2=ЬРис.1.17.базисныхЗдесьмыR/тогдасбазисе•RjA.75)компоненты1.3.6.БазисныесуммыТакиевекторовRjкомпонентдекартовомвтензора=QuQKjdK=QliQKjQ2iQKjbK+f1KТ=Q2jQKj+A.70)T2K=QLi QKjподобнопреобразуютсяпреобразованияправилоA.77)компонентамназываюткомпонентзаконом.тензорыПроизвольныйвиде•A.73)тензораТакоеA.28).векторатензорнымa*eK=A.76)=получаем:Тит.е.eL•определенияучетомизбазис-изображениесвойства:используемаГрафическоетензоровтензор(аиЬ)тензоровТ(и)тензоры[eiOe2e2],выбираябазисныйкакой-либои,=-образуем,0нуль-векторбытьможетрангавторогофиксированныхнекоторыхбазисныеTBi)T(i2)=[ei0e2ei],=[eie2e20].впредставленбазисныхтензоров.вкачествевекторпарыё/:A.78)ви-Глава42.Тензорная1.алгебраа,Рис.1.18,1?которыхаТ(ц),тензор"двойнуюкак"жирной"век-разложениевекторамстрелку"линией,общемуследуяизаестест-правилу,ei,вектороводнаизсоответствующаявторая,кото-векторупростой.-ДействиежеТогдат.е.ё2,ё2=ва.ТензорслучаеbTBi)иёг,ёггдеввыступаетролистрелкойдвухжирнойёга-двухстрелкой,ёхапростой,векторавекторовиндивидуальногосовокупностьюпоказанeiвекторовстрелкой,жирнойизображаетсятакжедвойнойтолькоизоб-даетслева,изображенсовокупностью-онстоящийвектор,изображаетсяёхданном=ТB2)ТA2)тензорнаизображается.будетнетензорпричема,т.к.eiникакбазисныйвекторов0нуль-вектора"нуль",изображениеитензорамГрафическоебазиснымпобазисныйпроведенаб.1.18,Рис.Графическиизобразитьтен-разложениебазиснымпоранга1вектораестественноГрафическоеа.второготензораI(рис.простой-1.17).1.3.7.РазложениеТеорема1.7.введенныхчисло,каксуммуСпомощьювп.1.3.3,тензорамоперацийсложениявсякийможнобазисныхчетырехбазиснымпотензораинаумноженияпредставитьТтензортензоров:A.79)).ЎВсамомиспользуяделе,[ei'(aiei)e20]=[ei(aiex[ei(a2e2)e20]o2e2)e2(bieiA.66)правила++++62ё2)]и[ei0e2(Mi)]=A.69),получаем:[ёхОё2(Ь2ё2)]+[§iae2b]=Т.=АA.80)Геометрическое§ 1.3.СA.79)формулыпомощьюТтензораразложениевописанныхЭтобазиснымбазисныхпо1.3.6п.изображениеразложенияИспользуя(рис.тензоров1.6,теоремукак1.3.8.Единичныйидлязаписатьможнопомо-сA.81)системеTIJкоординат,совпадаюттензорЕслиаиндивидуальныхбазисныекачествевbивыбратьединичныйполучимЕГрафическоеесть1.19.ёхможновсегда1.19).(рис.A.80),ё2тензорастрелок"единичныйпредставитьтензоров:базисныхдвухединичногоисвойствотензорГрафическоеизображениеэтого"двойныхдвухвекторовтоA.82)изображениеУчитываяё2,иЕ:[eieie2e2].=совокупностьизвекторовeiвекторытензорё2=ьРис.опи-f/JT(/J).=декартовойввсегдачетырехизображения1.18,б).(рис.A.79)TЗдесь,а).графическогоразложениеразложе-суммавекторамTIJ:тензораесть1.18,аналогомбазиснымпо-43представитьэтотензорам:акомпоненттензораграфическиможноявляетсявекторапомощьюопределениевтен-видесуммытензора,ЕаскалярноесноваЕс•Еумножениедает[eieie2e2]с•скакибытьдолжно1*9.12.Е=дляшорытензораторовкоторого(сс)A.67)согласнос,ё2(с+ei)eiпредставляетобразованыслеваумноженныхтензораТиA.68),S=Т•ciei=ё2)ё2=-fс2ё2=с,A.84)с,тензораумножениетензорсобойS,индивидуальныхсуммойпредварительно=ё2)тензора.СкалярноеВ•тензоровбазиснымис•(с+единичного1.12.В••умножениеОпределениеВ,ei(ei=•СкалярноешензорвекторA.83)B2),с:вектор=всякийна=наТнаиндивидуальныевекторовпроизведениескалярноевектенвек-ё/:[eiae2b]•[eice2d]=[eia'e2b'],A.85)Глава44.fTi.iJO.а'Этоис,•b'e2)d,A.85)формулаиа'г=Есливполучим,Та'Ь'иei)cспособ•e2)d.изоб-графическогоегонаприведенпримеркомпонентамиссвязаны(b-fа,векторовA.86)а=•качестветензорасогласноA.82)Е•+6'2=Ви[eiae2b][ei(uiei==A.85),(илиТ)единичныйвыбратьтотензор,В):(илиТтензор[eieie2e2]a2e2)e2(biei==Ь2ё2)]+[eiae2b]=Т,A.87)произведениемследующимобра-d.A.88)=быть.должноОпределение1.13.Ттензоров•тензоров,-fи(b=соотношениями:5цкакска-даютпроизведениявекторовdизображениетензоров(a-fскалярного1.20.Компонентырис.ei)c•Графическоепроизведенияопределениеизображенияb(а=алгебраe2IскалярногоТензорная1.ВиДвойнымназываютскалярнымчисло(р,вычисляемоеобразом:(рДвойное1.3.10.=Т--Вскалярное=[eiae2b]=обозначаютпроизведениеТранспонированныйРассмотрим-[eice2d]•a•с+двумятензортеперьнекоторыеважныетипытензоров.b•точками.§Геометрическое1.3.определениетензора.45а2Рис.1.21.ГрафическоетранспонированногоОпределение1.14.Т",тензоризображениетензоравтороготранспо-рангаТранспонированнымкоторыйимеетТкбазисекаком-либовназывают"перевернутые"ё/компоненты:Т'иТранспонированныйДлявзятьследуетсизображениязначениеполучима2компонентузнакомегоДалееобозначаюттензорграфическогос\истроятсяТ\2сиЗатемТ21.=отложитьсdис-построения1.3.11.СимметричныйОпределениетранспонированныйДлятогоГ==d\.=A.90)транспонированно-A.91)[eice2d].Т'напоказанСимметричнымпритакойназываютсовпадаеткоторомусрис.A.92)Т'изображенииграфическому исходноготен-исходным:ПП-^1потребоватьтензоравыполнялосьравенствоэтоком-компонент:Т12=Т21,Ъ2=Т[2b2,=тензоракчтобыёх,_-тензор1.15.необходимоd2векторамилп/свойство,а.2,транспонированного1.21.тензор,компонентусле-осикомпонентами:=ТтПримерзначение_Т21получиминдивидуальнымиТ":тензораТ"поотложитьвзятьследуетё2осипоявляютсятранспонированногоТт.=тензораизнакомегоc2которыеТ'кактранспонированного=векторыA.89)ТЛ.=A.93)Глава46.Рис.1.22.чтобыт.е.изображениетензорапроекциязнакувторогонаавекторапроекциейссовпадалатакого1.3.12.Обратныйсимметричноговектор1.16.вабсолютнойвеличинеA.94)на1.22.рис.A.85)собойвекторыТ•тензор,Изd.исТ-1обратнымкТ,еслиТакойтензор.SявляетсяобратныйA.85)A.95)=Е.тензортоединичным,Т.кНайдемегоВтензориндивидуаль-имеем:[eiae2b]=единичныйдаетТ:какформулепредставляетиндивидуальныеei:называютТнаТТЕслипонаизображенВТензоробозначаютВё2h.=тензорапроизведениескалярноетензорbтензорОпределениеегосим-рангавектораa2ПримералгебраГрафическоесимметричногоиТензорная1.•[eice2d][eieie2e2]==Е,A.96)=ё2.A.97)или(аПереходянахождения•ei)c(а+кci,•e2)dкомпонентам,с2иdi,=J2:(Ьёьполучаем•ёх)с+d2d2++•e2)dчетырехсистему+(ЬО,=b2di=0,b2d2=1уравненийдляA.98)§ 1.3.Геометрическоеопределениетензора.47Э2=а1/Ас1=Ь2/ДPliC.1.25.обратногоci62/А,=с2=-а2/А,diA.97)A.96),ФормулыТ.ДляегоОртогональным1.17.ПустьТимееткомпонентысовпадаетci,судовлетворятьA.90),уравнениямТ,тензор«цa>i[elCe2d],компонентжевыполнятьсяа2=ai,a2имеет02и6i,62.следующий—Sil=еслионудовле-соотношения:-bi/A,ai/ДA.101)вид:<pНодолжныкомпонентыдолжныЬ2/А,системыA.99).поэтит.е.=A.100)6гэтойнеобхо-графическоготранспонированнымсвычисляемтоГРешениеendтакогопримерсовпадает=d2di,иc2транспонированным,относительнотензорвид:1гдеA.99)изобразитьназываютТтензоркоторомуг1.23.рис.ai62-a26i.=тензорОпределениеобратныйAвекторовA.99),поОртогональныйкai/A,=индивидуальныхнаприведенd2графическивыбратьизображения1.3.13.~&i/A,=позволяютпостроениякомпонентыихнеобходимооб-изображениенаходимкоторую,решаяГрафическоетензораJсов-Глава48.1.24»Рис,ниеГрафическое(рТакимаbиТкомпоненты|а|единичная:-тензоримеютесливекторывекторовЭтисвойстваbитензортоA.102),=вэтихA.103)0.изображениеёх,векторапопарноиндивидудлинаортогональны:графическоечетыреегот.е.взаимноониа262еговсеявляютсяикруге1,=датьТ:ортогональный,-=позволяюттензораединичном|Ь|=•ортогональногоТрехмерныйизображенииграфическомчисло.образом,индивидуальные1.25.Рис.изображе-произвольное-алгебратензораортогональногогдеТензорная1.ортого-ё2а,b_Lиeiортогональными:лежатнаё2,b_La(рис.1.24).Геометрическое1.3.14.вопределениетрехмерномВернемсяктеперьОпределениетрехмерному1.18.евклидовомпространству.ТензоромТпредставляющийиаздляиндивидуальны-Графическоеумножениеобъектамишестификсированы,атрехмерноготакоговекто-другие:триа2ai,тензора.Ттензораизображеныпоказанонажирными1.25,рис.астрелками,+можноочевидно,сложениеввеститакиедвухтензоровжеопераиумно-числонаТ-тензорами:двумернымитензоратрехмерномA.104)совокупностьёзкаждогоA.107),видасвпростыми.-какивекторыиндивидуальныеСё2изображениефиксированныегдеоперации,ё±,трикоторыхТранга[eiaie2a2e3a3],=упорядоченнуюсобойизвторогообъект:назовемпространствевекторов,тензорапространствеВ+=bi)ea(a3[eibie2b2e3b3]+ Ь2)ё3(а3=+b3)],A.105)ин-§1.3.(рТскалярноеГеометрическоеp[eiaie2a2e3a3]=умножениетензораопределение[ei(?>ai)e2(v?a2)e3(pa3)],=Ттензора49A.67)аналогичновекторнаA.68):изТс•[eiaie2a2e3a3]=•с]Р=ёа(аа•с),а=1зсТ•с=[ё1а1ё2а2ёзаз]•]>^(с=•A.106)ёа)аа,а=1скалярноеумножениеТВ•Ттензоров[eiaie2a2e3a3]=Ви[eibie2b2e3b3]•A.85):аналогичноA.107)[eiCie2c2e3c3],=где?(ae-e/,)b/5;=CeA.108)/3=1адвойноетакжетензоров:прозведениескалярноез*рТ=•В=[eiaie2a2e3a3]-[ёх^ёгЬгёзЬз]•=^(аа•ё/3)(Ь/3•ёа).а,/3=1КомпонентыТтензорабазисевё,-аналогиипосA.70)A.109)вводимобразом:следующимA.110)ЗЬ=в,--Т.ё;,тогдаизA.104)иA.110)получаемA.111)2;,-=а,--ё,-.ЕдиничныйвтензорвводимЕ1.3.15.саналогииA.82)A.112)[ё1ё1ё2ё2ёзёз].=ДиадыПоаналогиистрехмерномЗнакпопространстветрехмерномобразом:следующимA.78)Введемпространстве.0называютё20ejё30ё^-знакомбазисныеопределитьможно==тензорногоT{2j)TCj)дляних=[ё10ё2ёуё30],=[ёхОёгОёзё^].специальныепроизведения.T(tJ)тензорыиобозначения:A.113)вГлава50отдельностивбазисуA.113),называютбудетэтомновыйё20Рассмотримсамоманалогичноё,(ёх•2и=31.9.Теоремадиадныхгё»)Для•<Jj*e,-,=Skiej.A.67),гдляefc)ё*обобщенной1:==ё3@+ска-A.114)формулыи•efc)A.115)ei(Jjfc,==(ё,-+•+'(ё,-ё2H••ej)0•(ё*ej)•0.(ё*ei)0=ё|)Sjkei=0ei)==[eieje20e30][eia^e20e30]двухA.И7)ё/,A.118)SjkSu.используемслучай,A.116)Snej.образом:соотношениятрехмерный(ё20=произведенияскалярноеследующим0ё3HАдвойноеипервогоej)=аналогично.на0•доказательстводоказательства(eiej0•вычисляютсяобобщенноеё,-)•ё2@+[eieje20e30](ё,- ei)ejё,-=(ё,-A.85),•иместами:получаем:(ё,-Ў(ё*в*)•например,Скалярноебазисов=(ej0[eieje20e30]=•==ё,тензорногоменятьможноA.113)ё*•ej)0ej)=следует,A.68)изefc•определенияej)ei(ej0операцийбазиса0случай,=гприкакой-тодиад.умноженияскалярногоej)(ё.•изделе,(eiДляадиада,[ёхОёз^ё^ёзО].выполнения0ё*иновая[ё1ё2ё2ё2ёз0],==векторов(eiтрехмерныйТ"=ПорядокпроизведенийТ"=операции1.8.Ўё20ё;)0теперьТеоремаё2+р(ё2нанеужеспециоднакочисло,например:eiВнаумножатьговоря,векторов.тольконотензорами,искладыватьможноформулампобазисныхявляютсявообщетензор,вектор-определенныйej,произведениемполучаться,скалярного0е,-диадыихвида,сопоставляеткотораябазистензорнымПосколькуe,-0ejтензордиадой.Операцию,базисныеспециальногокаждыйаба-наборназываютA.113)fбазисной1.20.диадныйе,-видевназываютОпределениевекторномубазисомзаписанныйтензоров,алгебраДиадным1.19.ОпределениебазисныхТензорная1.определениедлянапример,•=[ei0e2e/e30]S2je1г=1, к=0ё/,A.119)=2:§1.3.Геометрическоеопределениетензора___51_гдеДля(ei=aj/inkостальныхСоотношение®+(ejej)-(ei•<g>аналогичнодляТеоремапредставить(ej+•ё3)@1.10.ink.ВсякийTIJЎУчитывая,совпадаютA.113),ТтензорA.121)обобщениеиA.121)@.4),понятияПустьимеетсядваA.122)знака1.9,оДействительно,следующимбазисеитен-называетсякоэффициентамисA.122)авекторовивынесения(а%)=bбазисукоэффициен-ё,-,посA.104).A.123)ПриимеетсяТ,тензорпредставленныйСгруппируемкомпонентами.A.121)формыотэтомвозмож-открываютформевтензорамиA.104).A.123)(Vej).®A.122),формулыпустьсвоимиЬej.®об-ранга.Ь*ё».=ивозможностиej<g>видакиЬсравэто-произведения:1.10явноговторогоаа'У'ё.=тензоровдиадразложенияоперацийвернутьсяномb®базиса'ё,=базисныхследствиевыполненияможноабазиса:диадноговекторовтензорногоТеоремыихдлядиадныйслучайнаДиадойподставитьважноеиспользованиятензорыприведенномучтовекторааФ"ё,возможностьбазисныесутьвведениясуммированиемполучимиз-подej®аналогичнобазисаaкоэффициентовё,-смысл1.21.впредста-можнорангазаметить,векторноготеперьЕслиei)+A.120)A.121)диадынетруднообразованныйтовтороготеоремыпоясняетОпределениетензор,1,=АРазложениесравнивая•Г'ё,®ё,-,=этой1.7.ei)(e/•базису:базисныедоказательствотеоремы(ej=гTij.счтодляАдиадномупоТгдеёх)=A.109)определениенапример,[ёхё/ёгОёзО]iyiu,••остальныхразложениемS2jeh=используятензоров,[ёхё^ёгОёзО]=ё3H•аналогично.доказываем,ё/)ei)•(ej+произведенияё2)@•ёг)ё/*доказательствоскалярного(ei(ei+A.118)двойногоиei)°•безисполь-A.121)всегдавдиад-представлениеA.121)а3,A.124)образом:Т=ei®ai+ё2®а2+ё3®Глава52га,-,векторыгдеaiТпё!=Т12ё2+Сравниваясамузаписьсимволическуюупорядоченную совокупностьшестипоследовательноНесложночтопроверить,A.105)A.66),ПолетеперьрангаТ,Из•этомслучаенапример,Вчтоследует,любомдекартовомкаждойбазисехточкиТ(х).полеТ(х):тензорлюбыхотносительноA.4),уравнениямикомпоненты,двухиндексныенапри-A.121)).(см.TIJобразованыбытьмогутхизменяетсябазиседиадномточкеточкепорождаемыхдиадномоднойтензорноекаждойнет.е.второ-тензоротпереходеприопределеновкоординат,ввимеетсяпространствачтоинвариантным,имеетправиламполейговоря,говорят,1.18определенияхточкевообщепреобразований•тензорыпоперемножаютсярангакаждойвявляетсяA.124)представлениятензорныхвторогоменяющийся,Вдругой.ксвязанныхаз,0.скалярноАлгебра1.4.тензораПусть+,упорядочен-ё3,а2,аA.108).и§1.4.1.A.125),какё2,аьинди-чтопониматьтакогоизаключаем,формуламиei,0,+,дляскладываютсяA.125)A.104),можно0,Т23ё3,+Т33ё3.+иТ22ё2+определяютсявекторовоперациями:действительновтороговТ21ёх=Т32ё2+A.124)A.104)A.104)представленияа,-а2t31ei=векторыкакТ13ё3,+а3индивидуальныеалгебра3, определим1,2,=Тензорная1.следующиеба-диадныебазисы:R'eiy,ё,-®ёу,Например,диадныйлокальныйсуммированиемсогласно1.21ИзтензорсвойстваТизменяется,локальномупоэтомудиадному0ё&=кRyссум-якобиевымиматри-A.6):Q\ Q'jek®ТA.127)ё».чтовытекает,припереходеXхкриволинейнымпрозвольнымегообразоватьможноё/0соотношениютензорахгкоординатнеR;®инвариантностидекартовыхR,-иA.126)R,-®Rj.базисаопределениюR,отбазисдиадногодекартоваматрицамиR'<g>R;,можнопредставитьпобазису:A.128)Ri,гдеTtJназываютсятен-разложениемконтравариантнымикомпонентамитензораТ.Алгебра§ 1.4.A.121),ИзA.127)тензоракомпонентR,*®локальный(т.е.fijвкомпонентыследуетдекартоваизпереходеRyКовариантнымиA.128)иприприTklонисвязаныматрицы:следующимЕё*=образом:ё,0R'=Действительно,базисаё,-получаемпервоеравенстворавенстваA.19)силуназываютегокомпонен-метрической-мат-чтокомпонентывнулевымилюбойобозначаютИздругойкомпонентэтихСпомощьюgijснулевымиТакойтензоркомиком-называютполямиA.128){Tij=1.9A.132)Rj.0A.127)соотношенийискалярногобазисе:Bij)Ri+суммакомпо-суммеравныдиадномжетомчтоследует,которогои1.8,теоремправилаконтрава-нулевыебудуттензорнымипредставленияодномВануль-тензор.-компоненты+RJ,0координаткоординат.итензор,вравенстваметрическогоR'чтоследует,0A.105)тензороввыраженияОстальныебазисевоперацииестьR1идх*.системеТследующиеA.18).легкодиадныхлокальныхумножениядоказатьбази-базисов:(R,-0R,)(R,-0(R,-•R*Ry)0•Ry)R,-=(Rfc•0-(Rjb(Ry0R|)=0Rf)gjkRi=0gjkga.R/,ира-второгоR,-системекакопределениятензоровЕдлятензоровкомпонентыA.130)иАлгебраическиедвухA.113)исложениявместокакой-либоA.129)изA.131)справедливостиковариантныематрицейматрицейвимееттоВRj,0A.112)A.J.05)формулойстензоркомпоненты,A.131).0,-yR1'=пред-можноАобратнойсR,0подставитьA.19).Етензорправилавсовпадаютриантные1.4.2.ввA.130)gijRiеслиследует,ЕЕслиёу,изA.131)Из=воспользоватьсяиследуюттензораR,ёуI1):вA.129)помощьюопределения0убедиться,легкоA.131)0используядиадногоA.6),Р).(метрический)Единичный1.11.Теоремавсж11представитьTTJ-yТ1-*сё,- 0координатТ>Р*\=ком-базисасистемытензораW,0преобразованиядиадногопереходекомпонентамиR*базисе.53правилоизTklQiQjn=полейтензорныхA.133)Глава54ПустьимеетсякаждойточкисогласноA.133)операциюможноаТ•Этаa'R,=TjkRj•образуетоперациябазисеВA.134)Т*ктензораиможноперенестиR,•Ryкакими-либоСкалярноеA.134)с*агТк=вдвойноеилокаль-В•TijKi=R,0СкалярноеR,0•R;связанныхнельзя.двухR/вTlBklRi=TijR{•илиполейтензорныхпредставить=векторовиспользоватьсявекторов,менять0случаескалярноебудетширокоможно0данномвпоявилосьумножение-BHRfcумножениеоперациейместо,говоря,Bk!Rk•скалярнымиследованияA.133)иТ'В*=приемпорядоккомпо-самиявляютсяобразомскалярноеA.109)килюбоевчточтотем,явнымвообщеA.107),Твиде:A.135)R/,0gjkBklRiTlkBkl.=называюттензоровA.136)опе-такжесвертки.Имеютместоумноженияследующиетрех(АТ)•В•А=второгоТхTa,R'=xа==TjmRjиRm0Rw0ATВ.A.137)А.x=-L€^kaiTjmRk/9a,-R"АТ=называ-0трехмерномA.138)Rm,4=€w'*Tiwol-Ri=ввекторасоответственно)справа0евклидовомRk.прост-1.14:определениюR,,•произведением(слеваTjmWТ=скалярного1.4.3):упр.Т•вида:x0А•ВекторныманалогичноAijRiВ=тензорвводятпорядка(см.рангаВ)•рангаТранспонированныйпространствеА.(Т•следующеготензорыперестановкивторого1.22.тензораправилатензоровОпределениеназываютсо-=скомпонентамиjЭтотg^.операциями,согласнона=Заметим,ВR*0=воспользовалисьмыпереставлятьаг, чтобыкдальнейшем.•R,•c*R*фиксированныхприихпроизведениеТa'T^R,-дляТнаR*.объектами,ихудобновобразом:=ссаследующим=тогдаполя,умноженияa'TfRk=а(х)векторноескалярногоR*0векторсоотношенияхкомпонентыипредставитьkлокальномалгебраТ(х)A.106)тензорноехТензорная1.AijRj0R,-=AjiR{0R^A.139)§1.4.A.134)СледствиемАлгебраA.139)исоотношенияиспользуемыеКвадратомназываютА-АA.122)Изb0а%=Vej0Детерминант1.4.3.п-ойА-..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
