00-1 Программа Введение Геометрические методы (1044894), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Пример 6. Имеются два смещенных во времени экспоненциальных импульса напряжения:

,

Найти скалярное произведение данных сигналов, а также угол  между ними.

Энергии этих двух сигналов одинаковы:

.

Скалярное произведение

Отсюда cos()=0.819 и =35

Ортогональные сигналы и обобщенные ряды Фурье. Два сигнала u и v называются ортогональными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю:

(2.17)

Пусть H - гильбертово пространство сигналов с конечным значением энергии. Эти сигналы определены на отрезке времени
[t₁, t₂], конечном или бесконечном.
Предположим, что на этом же отрезке задана бесконечная система ортогональных друг другу функций {u₀, u₁, u₂, ..., u_n, ...}, которые обладают единичными нормами:

(2.18)

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис.

Разложим произвольный сигнал s(t)H в ряд:

(2.19)

Представление Error: Reference source not found называется обобщенным рядом Фурье сигнала s(t) в выбранном базисе.

Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмем базисную функцию u_k с произвольным номером k, умножим на нее обе части равенства Error: Reference source not found и затем проинтегрируем результаты по времени:

(2.20)

Ввиду ортонормированности базиса в правой части (1.28) останется только член суммы
с номером i=k, поэтому

(2.21)

На геометрическом языке интерпретация формулы Error: Reference source not found такова: коэффициент обобщенного ряда Фурье есть проекция вектора на базисное направление.

Возможность представления сигналов посредством обобщенных рядов Фурье является фактом большого принципиального значения. Вместо того чтобы изучать функциональную зависимость в несчетном множестве точек, мы получаем возможность характеризовать эти сигналы в счетной (но, вообще говоря, бесконечной) системой коэффициентов обобщенного ряда Фурье c_k.

Напомним, что гильбертово пространство сигналов, по определению, обладает важным свойством полноты:

- если предельное значение суммы

существует, то этот предел сам является некоторым элементом гильбертова пространства.

В полном функциональном пространстве норма ошибки аппроксимации монотонно убывает с ростом N - числом учитываемых членов ряда. Выбирая N достаточно большим, всегда можно снизить норму ошибки до любой приемлемо малой величины.

Примеры ортогональных базисов.

1. Ортонормированная система комплексных и вещественных гармони­чес­ких функций.

2. Функции Уолша.

3. Кусочно-постоянные функции Хаара.

4. Ортогональные полиномы Лежандра, Чебышева,Лагерра, Эрмита.

2

Программа курса "Анализ биосигналов", 2002 г.

Характеристики

Список файлов лекций