00-1 Программа Введение Геометрические методы (1044894), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Частота _o входного сигнала совпадает с частотой выходного сигнала, а в системе передачи не возникли гармоники с новыми частотами, поэтому изменение сигнала является
линейным.

2) Подставляя в Error: Reference source not found входной сигнал Error: Reference source not found и выражение К(t) из Error: Reference source not found, получим выходной сигнал

U_вых = К_oUm_вхcos(_ot) +

+ KUm_вх cos(_ot)cos(₁t);

Заменив здесь произведение косинусов
полусуммой косинусов соответствующих аргументов, получим

U_вых = Um_ocos(_ot) + Um cos[(_o-₁)t] +

+ Um cos[(_o+₁)t]; (2.5)

где Um_o = К_oUm_вх;

Um = КUm_вх/2 - амплитуды соответствующих гармонических колебаний.

В спектре выходного сигнала Error: Reference source not found появились гармоники с новыми частотами _o₁, которые отсутствовали во входном сигнале. Таким образом, в системе с переменным коэффициентом передачи сигнал претерпевает нелинейные
изменения.

Если изменение К(t) обусловлено какими-либо нежелательными (паразит­ными) возмущениями, то показанные изменения сигнала являются нелинейными искажениями.

Таким образом, линейные цепи с
переменным во времени коэффициентом передачи приводят к нелинейному преобразованию сигналов.

Однако эти изменения могут производиться целенаправленно, и в этом случае их относят к нелинейным преобразованиям сигнала.

Например, в радиосвязи существует необходимость преобразования частот - а именно повышения частоты передатчиком и понижения частоты приемником для приведения принятого сигнала к некоторой единой промежуточной частоте. Для такого преобразования гетеродинные приемники используют вспомогательные колебания от специального генератора - гетеродина.

Гетеродин управляет коэффициентом передачи преобразователя частоты приемника (смесителя). Тогда, согласно Error: Reference source not found, после преобразователя частоты будут получены колебания разностной (или промежуточной) частоты
_пр=_o-_гет (получение этой частоты и является целью рассмотренного нелинейного преобразования сигнала), а гармоники суммарной и даже входной _o частот, которые входят в спектр выходного сигнала, в данном случае являются паразитными, то есть помехами. Эти помехи должны быть подавлены, что можно сделать с помощью резонансных цепей (то есть фильтров). Получение новой частоты _пр с помощью переменного параметра К(t) называется параметричес­ким преобразованием частоты.

Возможно и другое применение рассмотренного параметрического преобразования сигнала. Если коэффициент передачи изменяется с частотой ₁=, то выражение Error: Reference source not found в новых обозначениях описывает АМ-сигнал. Это показывает один из возможных способов осуществления АМ, в этом случае ее называют параметрической АМ.

3) Рассмотрим теперь последний случай (пример нелинейного преобразования),
когда коэффициент передачи зависит от входного сигнала. Подставив в Error: Reference source not found значения U_вх из Error: Reference source not found и К(U_вх) из Error: Reference source not found, получим:

U_выx=К_oUm_вхcos(_ot)+аU²m_вхcos²(_ot) (2.6)

Воспользовавшись формулой для косинуса половинного угла:

перепишем выражение Error: Reference source not found в виде:

U_вых=U_о+Um_ocos(_ot)+Um cos(2_ot) (2.7)

где U_о = aU²m_вх/2 - постоянная составляющая, а

Um_o = К_oUm_вх ; Um = аU²m_вх/2

- амплитуды соответствующих гармони­чес­ких колебаний.

Таким образом, выражение Error: Reference source not found описывает в спектральной форме сигнал, содержащий:

- постоянную составляющую U_о (с нулевой частотой =0),

- два гармонических колебания с часто­та­ми _o, 2_o.

Следовательно, при рассмотренном изменении сигнала возникли спектральные составляющие с новыми частотами =0 и =2_o.

По определению это изменение является нелинейным. Если оно возникло из-за нежелательного воздействия входного сигнала на коэффициент передачи, то такое изменение следует считать нелинейным искажением сигнала.

Рассмотренный эффект может быть использован и для целенаправленного нелинейного преобразования сигналов:

- появление постоянной составляющей используют выпрямители переменного напряжения в постоянное;

- появление в спектре частоты с =2_o используется в удвоителях (умножителях частоты).

В общем случае зависимость К(U_вх) может существенно отличаться от приведенной в Error: Reference source not found. Однако, эффект выпрямления при этом сохраняется. Что касается возникновения новых гармонических составляющих в спектре, то в общем случае существование функциональной зависимости К(U_вх) приводит к появлению составляющих не только удвоенной часто­ты 2_o, но и с кратными частотами 3_o, 4_o и т.д.,
возможно появление комбинационных частот – так возникают интермодуляционные искажения.

Спектральные составляющие сигнала, имеющие кратные частоты k_o (k=1,2,3...) называют гармониками этого сигнала (первой, второй, третьей и т.д.).

1.8.Гармоническая амплитудная модуляция

В общем случае АМ-сигнал при гармони-ческой модуляции выражается следующим
образом:

U(t) = Um(t) cos(_ot+_o)

Um(t) - закон изменения амплитуды, который определяется передаваемой информацией, заключенной в u_m(t). Измене­ние модулирующего параметра происходит пропорционально модулирующему сигналу:

Um(t) = Um_o + au_m(t)

Здесь a -коэффициент пропорционально­сти, является параметром модуляционного устройства - модулятора. Пусть модуляция осуществляется по гармони­чес­кому закону с частотой модуляции F = /2, при этом модулирующий сигнал:

u_m(t) = Um_м cos(t+_м)

Из последних двух выражений находится закон изменения амплитуды АМ-сигнала при гармонической модуляции:

Um(t) = Um_o + aUm_м сos(t+_м),

или

Um(t)=Um_o[1 + m cos(t+_м)]

где

aUm_м = Um - максимальное прира­щение амплитуды АМ-сигнала;

m=Um/Um_o- коэффициент или глубина модуляции, иногда выражаемый в процентах; при m=1 говорят о 100% модуляции, если m>1, то происходит перемодуляция.

Окончательно АМ-сигнал записывается в виде:

U(t) = Um_o[1+m cos(t+_м)] cos(_ot+_o),

здесь _o - несущая (модулируемая) частота,

 - модулирующая частота.

1.9.Искажения сигналов в линейных системах

Система называется линейной, если реакция системы на сумму входных воздействий равна сумме реакций системы на каждое отдельное входное воздействие (т.н. принцип суперпозиции):

L[as₁(t) + bs₂(t)] = aL[s₁(t)] + bL[s₂(t)]

Искажения сигналов, обусловленные изменением амплитуд спектральных составляющих разных частот, называются амплитудно-частотными. Искажения сигналов, обусловленные изменением начальных фаз спектральных составляю­щих разных частот, называются фазо-частотными, или фазовыми искажениями. Оба этих вида искажений являются линейными.

Амплитудные и фазовые искажения в линейных цепях практически неизбежны, так как всегда некоторые параметры линейных цепей зависят от частоты.

При обработке сигналов часто сознательно сокращают их спектр. Это обусловлено тем, что аппаратура и линии связи имеют ограниченную полосу пропускаемых частот.

В практике обработки биомедицинских сигналов линейные частотные искажения возникают достаточно часто, как амплитудные, так и фазовые. Причиной искажений являются аппаратные фильтры, через которые проходят сигналы. Например, для фильтров первого порядка на частоте среза f_ср имеется фазовый сдвиг в 45 градусов и завал амплитуды на 3 дБ – почти в 1.5 раза. Через частотную декаду, т.е. на частоте 10·f_ср или 0.1· f_ср, фазовый сдвиг уже не превышает 6 градусов, поэтому в области частоты среза происходит дисперсия фаз гармоник сигнала почти в 40 градусов, что способно привести к существенным искажениям формы регистрируемых сигналов. Для фильтров более высокого порядка эта ситуация еще более осложняется. Достаточно наглядной для оценки степени фазовых искажений является характеристика группового времени запаздывания (задержания) – ГВЗ, которая определяется через производную от фазо-частотной характеристики устройства:

Класс линейно-фазовых фильтров не вносит временных (т.е. фазовых) искажений в сигналы и имеет, по крайней мере, в полосе пропускания постоянное ГВЗ.

Среди аналоговых фильтров такими свойствами обладают фильтры Бесселя, для который полоса пропускания нормируется необычно – по частоте, на которой достигается половинный от максимально возможного фазовый сдвиг. За хорошие временные характеристики фильтры Бесселя «расплачиваются» низкой скоростью перехода от полосы пропускания к полосе подавления. Следует внимательно использовать фильтры Бесселя, так как свойство близости ФЧХ к линейной соблюдаются только в низкочастотном диапазоне от 0 до частоты среза для фильтров Бесселя любого типа.

Поэтому, для уменьшения линейных частотных искажений целесообразно расширять полосу пропускания фильтров, однако при этом соответственно увеличивается амплитуда шума и в целом снижается помехозащищенность. Часто возможно применение апостериорных методов обработки искаженных сигналов с целью коррекции внесенных искажений, при этом требуется знание передаточных характеристик искажающих звеньев. Возможно построение соответствующих алгоритмов с использованием методов синтеза цифровых фильтров.

Степень частотных и фазовых искажений сигнала практически тем больше, чем шире спектр сигнала, поскольку в большем диапазоне частот параметры системы изменяются сильнее. Поэтому существует предельно допустимая полоса частот, в которой должен находиться сигнал, чтобы искажения сигнала в системе не превышали допустимую норму. Эта полоса частот называется полосой пропускания канала связи.

Для передачи разборчивой речи стандартный телефонный канал имеет полосу пропускания от 300 Гц до 3.4 кГц. Требования к четкости изображения определяют ширину спектра телевизионного сигнала, которая при стандарте 625 строк разложения кадра достигает 6 МГц.

1.10.Геометрические методы в теории сигналов

При решении многих теоретических и прикладных задач радиотехники возникают такие вопросы:

1. в каком смысле можно говорить о величине сигнала, утверждая, например, что один сигнал значительно превосходит другой;

2. можно ли объективно оценивать, насколько два неодинаковых сигнала "похожи" друг на друга?

В XX в. был создан функциональный анализ - раздел математики, обобщающий наши интуитивные представления о геометрической структуре пространства.

Оказалось, что идеи функционального
анализа дают возможность создать стройную теорию сигналов, в основе которой лежит концепция сигнала как вектора в специальном образом сконструированном бесконечномерном пространстве.

Линейное пространство сигналов. Пусть M={s₁(t), s₂(t), ...} - множество сигналов. Причина объединения этих объектов - наличие некоторых свойств, общих для всех элементов множества M.

Пример 1. Множество M образовано
всевозможными аналоговыми сигналами, отличными от нуля лишь на интервале времени (0, 15 мкс) и равными нулю вне этого интервала.

Пример 2. Множество M состоит из сигналов вида s_n(t) = A_ncos(_nt+_n) -гар­монических колебаний, отличающихся своими амплитудами, частотами и начальными фазами.

Исследование свойств сигналов, образующих такие множества, становится особенно плодотворным тогда, когда удается выражать одни элементы множества через другие элементы. Принято говорить, что множество сигналов наделено при этом определенной структурой. Выбор той или иной структуры должен быть продиктован физическими соображениями. Так, применительно к электрическим колебаниям известно, что они могут складываться, а также умножаться на произвольный масштабный коэффициент. Это дает возможность
ввести в множествах сигналов структуру линейного пространства.

Характеристики

Список файлов лекций