06-1 Дискретные сигналы Корреляционный анализ (1044898)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

3.20.Дискретизированные сигналы и их спектры

Под дискретизацией сигнала до сих пор подразумевалось его аналитическое представление с помощью совокупности отсчетов в дискретные моменты времени nT. Выбор шага или темпа дискретизации T производился на основании теоремы отсчетов.

Процедуру дискретизации (взятие выборок), осуществляемую техническим средством (электронным ключом), удобно рассматривать как умножение сигнала s(t) на вспомогательную периодическую последовательность y_т(t) достаточно коротких тактовых импульсов. В качестве таких импульсов обычно рассматривают прямоугольные импульсы с длительностью _o, малой по сравнению с T. Таким образом,
дискретизированный с шагом T сигнал определяется как s_т(t)=s(t) y_т(t).

Для выявления требования к "малости" величины _o/T рассмотрим сначала структуру спектра дискретизированного сигнала s_т(t), при этом спектральную плотность S() исходного сигнала s(t) будем считать известной.

Запишем вспомогательную производную функцию y_т(t) в виде ряда Фурье по формуле (3.42), в которой под _и будем понимать _o, а под ₁ - частоту дискретизации ₁=2/T:

Учитывая, что n₁_o/2=n_o/T и имея в виду равенство:

получаем:

Тогда для s_т(t)=s(t)y_т(t) можно записать:

Первому слагаемому в правой части соответствует спектральная плотность S() исходного континуального сигнала, а каждому из произведений s(t)cos(n₁t) по теореме о смещении спектра соответствует спектральная плотность:

¹/₂S(-n₁) + ¹/₂S(+n₁)

Следовательно, искомая спектральная плотность:

Поскольку sinc(0)=1, последнее выражение окончательно принимает вид:

(3.115)

Итак, спектр S_т() дискретизированного с частотой f_d=1/T, или ₁=2/T сигнала представляет собой последовательность спектров S() исходного сигнала s(t), сдвинутых один относительно другого на частоту ₁ и убывающих по закону

sin(n_o/T)/(n_o/T).

Если шаг выборок выбран в соответствии с теоремой отсчетов из условия T<1/2f_m=/_m, то периодически продолженные спектры исходного сигнала S() получаются отдельными, т.е. не перекрываются, и очевидно, могут быть разделены с помощью фильтров. Спектр основного сигнала S() называется основным спектром, а его бесконечное множество повторений - дублирующими спектрами.

Очевидно, что если имеет место наложение основного и дублирующего сигналов, то по спектру дискретизированного сигнала S_т() невозможно однозначно восстановить спектр непрерывного сигнала S(). На практике величину T берут в несколько раз меньшей чем ½f_m, что необходимо для повышения точности воспроизведения сигнала и облегчает реализацию восстанавливающих фильтров.

С уменьшением отношения _o/T лепестки спектра тактовой функции убывают медленнее, и в пределе, при _o/T0, спектр приобретает строго периодическую структуру (естественно, уровень лепестков стремится к нулю).

Если одновременно с уменьшением _o увеличивать амплитуду так, чтобы площадь импульса оставалась неизменной, например U_o_o=1, приходим к следующему определению тактовой функции Ш(t):

Тогда для дискретизированной функции s_т(t) справедливо:

(3.116)

Последовательность временных отсчетов приобретает вид последовательности -функций с весовыми коэффициентами, равными значениям сигнала s(t) в точках kT.

При этом выражение Error: Reference source not found принимает вид:

(3.117)

Отметим, что энергия сигнала s(t), выраженного через -функции, бесконечно велика, соответственно и энергия спектра S_т(), определенного в Error: Reference source not found бесконечно велика. При использовании же реальных тактовых импульсов с конечной энергией спектр S_т() при  убывает.

Представление s(t) в форме Error: Reference source not found существенно упрощает спектральный анализ дискретных сигналов. Например, спектральную плотность S_т() можно определить непосредственно из совокупности временных отсчетов {s(kT)}, без обращения к спектру S() исходного континуального сигнала. Действительно, применив обычное преобразование Фурье (3.50)
к сигналу Error: Reference source not found для k=0,1,2... получим:

(3.118)

По своей размерности S() и S_т() неодинаковы - первая имеет размерность [^сигнал/_{частота}], а вторая - просто [_сигнал].

Переходя к комплексной частоте p=+j, получаем:

(3.119)

Оригинал, т.е. сигнал s_т(t) можно определить по заданному изображению S_т(p) с помощью обратного преобразования Лапласа, записываемого в обычной форме:

(3.120)

Выражение Error: Reference source not found определяет всю последовательность {s(kT)} в форме, совпадающей с Error: Reference source not found. Для определения только k-го отсчета s(kT) без множителя (t-kT) можно применить более простое выражение, в котором интегрирование ведется в пределах одного частного интервала от p=-/T до /T.

(3.121)

3.21. Корреляционный анализ детерминированных сигналов

Наряду со спектральным подходом описания сигналов часто бывает необходима
характеристика, дающая представление о
некоторых свойствах сигнала, в частности о скорости изменения во времени, а также о длительности сигнала без разложения его на гармонические составляющие. В качестве такой временной характеристики широко исполь­зу­ется корреляционная функция сигнала.

3.21.1. Корреляционная функция детерминированных сигналов конечной длительности

Для детерминированного сигнала конечной длительности s(t) корреляционная функция определяется следующим выражением:

(3.122)

где  - временной сдвиг сигнала.

Для вещественных функций времени обозначение комплексного сопряжения можно опустить:

(3.123)

Из этого выражения видно, что B_s() характеризует степень связи (корреляции) сигнала s(t) со своей копией, сдвинутой на величину  по оси времени, поэтому встречается название «автокорреляционная функция». Ясно, что функция B_s() достигает максимума при =0, т.к. любой сигнал полностью коррелирован с самим собой. При этом

(3.124)

т.е. максимальное значение корреляционной функции равно полной энергии сигнала. С увеличением  функция B_s() убывает (не обязательно монотонно) и при относительном сдвиге сигналов s(t) и s(t+) на время, превышающее длительность сигнала, обращается в нуль.

Из общего определения корреляционной функции и из приведенного примера видно, что безразлично, вправо или влево относительно своей копии сдвигать сигнал на величину . Поэтому выражение Error: Reference source not found можно обобщить следующим образом:

(3.125)

Это равносильно утверждению, что B_s() является четной функцией .

На Рис. 3 .1 представлены пояснения построения корреляционной функции на примере прямоугольного импульса.

Рис. 3.1. Построение корреляционной функции

а) простейший сигнал в виде прямоугольного импульса;

б) сдвинутый на  в сторону опережения сигнал s(t+);

в) график произведения s(t)s(t+);

г) график результата - функции B_s().

Каждому значению  соответствует свое произведение s(t) s(t+) и, соответственно, площадь под графиком функции произведения. Величины таких площадей для соответствующих  и дают ординаты функции B_s().

Рис. 3.2. Корреляционная функция четырех прямоугольных импульсов

На Рис. 3 .2 показан сигнал в виде пачки из 4-х одинаковых импульсов и соответствующая ему корреляционная функция.

Вблизи t=0; t=T₁; t=2T₁; t=3T₁, эта
функция имеет такой же вид как и для одиночного импульса. Максимальное значение корреляционной функции (при =0) равно учетверенной энергии одного импульса.

3.21.2. Корреляционная функция периодического сигнала

Для периодического сигнала, энергия которого бесконечно велика, определение корреляционной функции по , неприемлемо. В этом случае пользуются определением:

(3.126)

При таком определении корреляционная функция приобретает размерность мощности, причем B_sпер(0) равна средней мощности сигнала. В виду периодичности сигнала s(t) усреднение произведения s(t)s(t+) или s(t)s(t-) по бесконечно большому отрезку T должно совпадать с усреднением по периоду T₁. Поэтому
выражение Error: Reference source not found можно заменить выражением:

(3.127)

Входящие в это выражение интегралы суть не что иное, как корреляционная функция сигнала на интервале T₁. Обозначая её через B_sт1(), приходим к соотношению:

B_sпер()=B_sТ1()/T₁.

Очевидно также, что периодическому сигналу s(t) соответствует и периодическая корреляционная функция B_sпер(). Период функции B_sпер() совпадает с периодом T₁ исходного сигнала s(t).

Например, для гармонического колебания s(t)=A_ocos(_ot+_o) корреляционная функция

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций