Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

3.10.Примеры определения спектров простейших непериодических сигналов

3.10.1.Прямоугольный импульс

(3.69)

Рис. 3.1. Прямоугольный импульс

Рис. 3.2. Спектральная плотность

Применяя формулу Error: Reference source not found, находим спектральную плотность:

(3.70)

Заметим, что произведение A_u равно площади импульса и определяет значение спектральной плотности для =0, т.е. . Отсюда Error: Reference source not found по-другому:

(3.71)

Здесь через sinc(_u/2) обозначена функция sin(x)/x, причем известно, что

(3.72)

При расширении импульса П(t,_u) по времени расстояние между нулями функции S₁() сокращается, что равносильно сужению спектра.

Значение S₁(0) при этом возрастает. При уменьшении длительности импульса спектр расширяется, а его амплитуда (масштаб) S₁(0) уменьшается.

В пределе, при _u0 (и при A=const) точки ₁=2/_и, соответствующие двум первым нулям функции , удаляются в бесконечность, а спектральная плотность, беско­нечно малая по величине, становится равномерной в полосе частот [-; ].

Покажем на рисунках отдельно модуль S₁(), отнесенный к величине S₁(0) (Рис. 3 .3), и аргумент () (Рис. 3 .4) спектральной плотности импульса для _и=1. Первый график можно рассматривать как АЧХ, второй - как ФЧХ спектра прямоугольного импульса.

Рис. 3.3. Модуль спектра

Р

ис. 3.4. Фазовая характеристика

Каждая перемена знака S₁() учитывает­ся на ФЧХ приращением фазы на .

При отсчете времени не от середины импульса, а от его фронта, ФЧХ спектра должна быть дополнена слагаемым _u/2, которое учитывает сдвиг фаз на время _u/2 в сторону запаздывания.

3.10.2.Треугольный импульс

Треугольный импульс в виде четной функции s₂(t) определим как:

(3.73)

Рис. 3.5. Треугольный импульс

Прямое вычисление спектра по формуле Error: Reference source not found хотя и не сложно, но все же несколько громоздко. Для иллюстрации применения теорем о спектрах, приведенных ранее, найдем сначала спектраль­ную плотность для функции, явля­ющейся производной от заданного сигнала s₂(t):

Рис. 3.6. Производная сигнала

Спектральная плотность положительного прямоугольного импульса c длительностью _u/2 и амплитудой 2A/_и, по аналогии с формулой Error: Reference source not found и с учетом сдвига середины импульса на время _u/4 отно­сительно t=0:

Спектральная плотность отрицательного импульса, соответственно:

Суммарная спектральная плотность двух импульсов:

(3.74)

Спектральная плотность треугольного импульса, являющегося интегралом от функции s'₂(t) получается делением преды­дущего выражения на j по Error: Reference source not found:

(3.75)

Амплитуда A_и/2=S₂(0) является площадью прямоугольного импульса.

Р

ис. 3.7. АЧХ треугольного импульса

Полезно отметить, что уровень боковых лепестков спектра треугольного импульса убывает пропорционально 1/², а не 1/, как это было для прямоугольного импульса.

Большая скорость убывания спектра объясняется отсутствием разрывов в рассматриваемой функции.

Аналогичная картина была отмечена при рассмотрении линейчатого спектра периодической последовательности треугольных импульсов. Обобщение этого вопро­са основывается на использовании аппарата дельта-функций.

3.10.3.Колоколообразный - гауссовский импульс

Представленный на импульс определяется выражением:

(3.76)

Рис. 3.8. Гауссовский импульс

Этот импульс по форме совпадает с графиком нормального (гауссовского) закона распределение вероятностей.

Постоянная a имеет смысл половины длительности импульса, определяемой на уровне e^-1/2 от амплитуды импульса. Таким образом, полная длительность импульса равна 2a.

Подставляя Error: Reference source not found, получим:

(3.77)

Для вычисления интеграла удобно в подынтегральной функции дополнить показатель степени до квадрата суммы:

где величина d определяется из условия:

, откуда (3.78)

Таким образом, выражение Error: Reference source not found можно привести к виду:

Переходя к новой переменной , получаем:

Учитывая, что входящий в это выражение интеграл равен , окончательно получим:

(3.79)

где .

Полученный результат имеет важное значение для теории сигналов. Оказывается, что гаусcовский импульс и его спектр выражаются одинаковыми функциями и обладают свойством симмет­рии: для получения одной из них по задан­ной другой достаточно заменить t на  или наоборот. При этом спектральная полоса, определяемая на уровне e^-1/2 от максимального значения равна:

Гауссовскому спектру:

(3.80)

соответствует Гауссовский импульс:

(3.81)

c длительностью 2/b и амплитудой .

Очевидно, что чем меньше дли­тель­ность импульса _u, тем шире спектральная полоса 2b.

3.10.4.Импульс вида sinc(_m t)

Этот сигнал определяется выражением:

(3.82)

Вместо вычисления спектральной плот­ности воспользуемся свойством взаимо­заменя­е­мости  и t в преобразованиях Фурье для четных функций времени.

Рис. 3.9. Прямоугольный импульс П(t,_и)

Рис. 3.10. Спектральная плотность П(t,_и)

Очевидно, что после замены  на t и t на , заданной функции s₄(t) будет соответствовать спектр прямоугольной формы. Останется лишь найти площадь этого спектра и его уровень.

Рис. 3.11. Импульс вида sinc(_mt)

Рис. 3.12. Спектр импульса вида sinc(_mt)

Уровень спектра, равномерный в полосе ||_m, проще всего определить по его значению в точке =0, для которой значение S₄(0) равно площади импульса:

3.83

Очевидно (см. Рис. 3 .3), при замене t на  (или наоборот) в данном примере надо сопоставить абсциссу _и=/_m с аналогичной абсциссой _m=2/_и, т.е. _u соответствует 2_m, откуда следует, что 2_m и есть искомая ширина спектра S₄().

Итак, окончательно,

3.84

3.10.5.Группа одинаковых и равноотстоящих импульсов

Рис. 3.13. Группа равноотстоящих импульсов

Спектральную плотность первого импульса в пачке обозначим . Тогда для второго импульса, сдвинутого относительно первого на время Т в сторону запаздывания, спектральную плотность (на основании (3.59)) можно предста­вить выражением:

для третьего импульса:

и так далее.

Для группы из N импульсов, в соответствии с принципом линейного суммирования спектров, при сложении сигналов спектральная плотность:

(3.85)

На частотах =2k/T, где k -целое число, каждое из слагаемых равно единице и, следовательно,

(3.86)

- для четных k равно единице.

Таким образом, при частотах =k2/T модуль спектральной плотности пачки в N раз больше модуля спектра одиночного импульса. Это объясняется тем, что спектраль­ные составляющие различных импульсов с указанными выше частотами складываются с фазовыми сдвигами, кратными 2.

При частотах же , а также при некоторых других частотах, для которых сумма векторов e^-jkT обращается в нуль, суммарная спектральная плотность равна нулю.

При промежуточных значениях частоты спектр S() определяется как геометрическая сумма спектральных плотностей отдельных импульсов.

В качестве примера (Рис. 3 .14) изобразим модуль спектра пачки из трех прямоугольных импульсов при интервале между соседними импульсами T=3_u.

Рис. 3.14. Спектр группы импульсов

Штриховыми линиями показан спектр одиночного импульса. С увеличением числа импульсов в пачке, спектральная плотность все более расщепляется, и в пределе, при N принимает линей­чатую структуру спектра периодической функции.

Примечание: спектральная плотность сигнала является результатом интерференции спектров одиночных импульсов.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций