02-1 Продолжение главы 3 (1044896)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

3.6.Гармонический анализ непериодических сигналов

Гармонический анализ периодических сигналов, рассмотренный ранее, можно распространить на непериодические сигна­лы. Пусть непериодический сигнал s(t) задан в виде некоторой функции, отличной от нуля в промежутке [t₁; t₂].

Рис. 3.1. Непериодический импульс

Выделив произвольный отрезок времени
[0; Т], включающий в себя [t₁; t₂], мы можем представить заданный сигнал в виде ряда Фурье:

(3.45)

где ₁=2/T, а коэффициенты C_n в соответствии с Error: Reference source not found:

(3.46)

Подставив Error: Reference source not found в Error: Reference source not found и учитывая, что T=2/₁, получим для 0<t<T:

(3.47)

Вне отрезка [0; Т] ряд Error: Reference source not found определяет функцию s(t)=s(tkT), где k - целое число;
то есть периодическую функцию, полу­чен­ную повторением s(t) вправо и влево с периодом Т.

Для того чтобы вне отрезка [0; Т] функ­ция равнялась нулю, величина Т должна быть бесконечно большой. Но чем больше отрезок Т, выбранный в качестве периода, тем меньше коэффициенты C_n.

Устремляя T, в пределе получаем бесконечно малые амплитуды гармонических составляющих, сумма которых изображает исходную непериодическую функцию s(t), заданную на интервале t₁<t<t₂. Число гармонических составляю­щих становится бесконечно большим, так как при T основная частота функции ₁=2/T0.

Иными словами, расстояние между спектральными линиями, равное основной частоте ₁, становится бесконечно малым, а спектр - непрерывным, или сплошным.

Поэтому в выражении Error: Reference source not found можно заменить ₁ на d, n₁ - на текущую частоту , а операцию суммирования - операцией интегрирования.

В результате получаем двойной интеграл Фурье:

(3.48)

Внутренний интеграл является функцией :

(3.49)

и называется спектральной плотностью, или спектральной характеристикой функ­ции s(t). В общем случае, когда пределы t₁ и t₂ не уточнены, спектральная плотность записывается в форме:

(3.50)

После подстановки Error: Reference source not found в Error: Reference source not found получаем:

(3.51)

Выражения Error: Reference source not found и Error: Reference source not found называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Выражение Error: Reference source not found отличается от Error: Reference source not found только отсутствием множителя 1/Т, следовательно, спектральная плотность S() обладает всеми основными свойствами коэффициентов C_n комплексного ряда Фурье.

Для комплексной функции спектральной плотности S(), по аналогии с Error: Reference source not found, Error: Reference source not found и Error: Reference source not found:

(3.52)

где (3.53)

Модуль и аргумент спектральной плотности определяются выражениями:

(3.54)

(3.55)

Первое из этих выражений можно рассматривать как амплитудно-частотную характеристику (АЧХ), а второе как фазо-частотную характеристику (ФЧХ) сплошного спектра
непериодического сигнала s(t).

Как и в случае ряда Фурье, модуль S() является четной, а () - нечетной функцией частоты  для вещественных s(t).

На основании формулы Error: Reference source not found нетрудно провести интегральное преобразование Error: Reference source not found к тригонометрической форме:

Из четности модуля и нечетности фазы следует, что подынтегральная функция в первом интеграле является четной, а во втором - нечетной относительно .

Следовательно, второй интеграл равен нулю:

,

и окончательно:

(3.56)

Заметим, что для =0 выражение Error: Reference source not found переходит в следующее:

= площадь под s(t) (3.57)

Следовательно, для любого сигнала s(t) спектральная плотность S() на нулевой частоте равна "площади сигнала". Это свойство бывает полезным для быстрого выявления структуры спектра некоторых сигналов.

3.7.Соотношение между спектрами одиночного импульса и периодической последовательности импульсов

Пусть задан () импульс s₁(t) и ему соответствует спектральная плотность S₁().

Рис. 3.2. Одиночный импульс

Рис. 3.3. Спектральная плотность

На Рис. 3 .3 изображен модуль сплошного спектра S₁() в виде функции, четной относительно .

При повторении импульсов с периодом Т получается последовательность, представленная на Рис. 3 .4. Линейча­тый (дискретный) спектр этой последовательности изображен на Рис. 3 .5.

Для периода Т интервал между соседними гармониками дискретного спектра равен 2/Т.

Рис. 3.4. Повторение импульсов

Рис. 3.5. Дискретный спектр

Для n-й гармоники, в соответствии с Error: Reference source not found:

где ₁=2/T, t₁=0, t₂=_и .

Спектральная плотность одиночного импульса на той же частоте =n₁ равна:

Как ранее отмечалось, спектральная плотность S₁(=n₁) отличается от коэф­фициента C_n ряда Фурье периодической последовательности только отсутствием множителя 1/Т. Следовательно, имеет место простое соотношение:

(3.58)

Соответственно, комплексная амплитуда n-й гармоники:

Модуль спектральной плотности одиночного импульса и огибающая линей­чатого спектра периодической последовательности, полученной путем повторения заданного импульса, совпадают по форме и отличаются только масштабом.

С увеличением Т спектральные линии сближаются и коэффициенты C_n уменьшаются, но так, что отношение |C_n|/f₁ остается неизменным. В пределе, при T, приходим к одиночному импульсу со спектральной плотностью:

Из этого выражения становится ясен смысл "спектральной плотности": S() есть амплитуда напряжения (тока), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту .

3.8.Основные положения теории спектров, операции над спектрами

Между сигналом s(t) и его спектром S() существует однозначное соответствие. Для практических приложений важно установить связь между преобразованием сигнала и соответствующим этому преобразованию изменением спектра.

3.8.1.Линейность преобразования Фурье. Сложение сигналов

Так как преобразование Фурье, опреде­ля-ющее спектральную плотность задан­ного
сигнала, является линей­ным, то очевидно, что при сложении сигналов s₁(t), s₂(t), s₃(t).., обладающих спектрами S₁(), S₂(), S₃()..,
суммарному сигналу:

соответствует сумма спектров:

Для взвешенной суммы сигналов (или спектров) выполняется принцип суперпозиции:

здесь a_n - произвольные коэффициенты.

Для доказательства теоремы следует подставить сумму сигналов в преобразование Фурье Error: Reference source not found.

3.8.2.Свойства действительной и мнимой части спектральной плотности вещественных сигналов

Пусть s(t) - сигнал, принимающий вещественные значения. Его спектральная плотность S() в общем случае является комплексной:

Подставим это выражение в обратное преобразование Фурье:

Для того, чтобы результат s(t) оказался вещественным, необходимо чтобы одновременно выполнялись условия:

Поскольку интеграл от нечетных функций в симметричных пределах всегда равен нулю, то выполнение условий возможно лишь тогда, когда вещественная часть спектральной плотности A() является четной, а мнимая часть B() - нечетной функцией частоты, т.е.:

A() = A(-) B() = -B()

Упражнение. Показать, что для чисто мнимых сигналов свойства симметрии изменяются на обратные.

3.8.3.Сдвиг сигналов во времени. Теорема запаздывания

Пусть сигнал s₁(t) произвольной формы существует на интервале времени от t₁ до t₂ и обладает спектральной плотностью S₁(). При задержке этого сигнала на время t₀ (при сохранении его формы) получим новую функцию времени:

s₂(t) = s₁(t-t₀)

Новый сигнал s₂(t) существует на интервале от t₁+t₀ до t₂+t₀. Спектральная плотность S₂(), в соответствии с Error: Reference source not found,

Производя замену переменных интегрирования  = t-t₀, получим:

(3.59)

Из этого соотношения видно, что сдвиг во времени функции s(t) на t₀ приводит к изменению фазовой характеристики спектра S() на величину t₀.

Очевидно и обратное положение: если всем составляющим спектра функции s(t) дать фазовый сдвиг () = t₀, линейно связанный с частотой , то функция сдви­га­ется во времени на t₀.

Модуль комплексного числа e^jto при любых t₀ равен единице, поэтому амплитуды гармонических составляющих сигнала не зависят от его положения во времени. Таким образом, амплитудно-частотная характеристика спектра (то есть модуль спектральной плотности) не зависит от положения сигнала на оси времени.

3.8.4.Изменение масштаба времени (аргумента функции)

Пусть сигнал s₂(t) получен () путем изменения масштаба времени s₁(t):

s₂(t) = s₁(nt)

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций