02-1 Продолжение главы 3 (1044896), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Рис. 3.6. Изменение масштаба времени

Если n>1, то происходит "сжатие" сигнала (когда 0<n<1, то сигнал "растя­ги­вается" во времени).

Длительность сигнала s₂(t) в n раз мень­ше исходного и равна _u/n. Спектральная плотность сжатого импуль­са:

Вводя новую переменную интегрирования  = nt, получаем:

Замечая, что правая часть равенства есть ни что иное, как спектральная плотность исходного сигнала s₁(t) при частоте /n, то есть S₁(/n), получим:

Итак, при сжатии по временной оси сигнала в n раз, модуль спектральной плотности уменьшается во столько же раз, и в n раз увеличивается ширина спектра на оси частот. Очевидно, что при растягивании сигнала во времени (т.е. при n<1) имеют место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

Рис. 3.7. Зеркальное отражение сигнала

К этой теореме близка следующая задача. Пусть дан импульс s(t), отличный от нуля на отрезке [0,_и] со спектральной плотностью S().

Требуется найти спектральную плотность "обращенного" во времени сигнала s_обр(t), который представляет собой "зеркальную копию" исходного (см. Рис. 3 .7).

Поскольку очевидно, что s_обр(t) = s(-t), то, делая замену x=-t получаем:

Упражнение: Покажите, что при изменении сигнала s(t) как показано на Рис. 3 .8 спектр "зеркально отраженного" от половины длительности сигнала, будет иметь вид:

Рис. 3.8. Сигнал для упражнения

3.8.5.Смещение спектра сигнала

Применим преобразование Фурье к произведению s(t)cos(₀t+₀):

Первый интеграл в правой части есть не что иное, как спектральная плотность функции s(t) при частоте -₀, а второй интеграл - при частоте +₀.

Поэтому полученное выше соотношение можно записать в форме:

(3.60)

где S()- спектральная плотность сигнала s(t).

Из полученного выражения Error: Reference source not found вытекает, что расщепление спектра S() на две части, смещенные соответственно на ₀, эквивалентно умножению функции s(t) на гармоническое колебание cos(₀t) (при ₀=0). Более подробно это положение рассматривается при изучении модулированных колебаний.

3.8.6.Дифференцирование и интегрирование сигнала

Дифференцирование сложного сигнала s₁(t) можно трактовать как почленное дифференцирование всех гармонических составляющих, входящих в его спектр. Но производная от e^jt равна je^jt, из чего непосредственно вытекают следующие соответствия:

s₁(t) S₁()

(3.61)

К этому результату можно прийти также из общего преобразования Фурье:

Первое слагаемое обращается в нуль, поскольку для t  s₁(t)0 (условие интегрируемости сигнала).

Итак, дифференцирование сигнала во времени эквивалентно простой алгебраи­ческой операции умножения спектральной плотности на множитель j. Поэто­му принято говорить, что мнимое число j является оператором дифференци­ро­вания, действующим в частотной области.

При дифференцировании скорость изменения сигнала во времени возрастает. Как следствие модуль спектра производной имеет большие значения в области высоких частот по сравнению с модулем спектра исходного сигнала. В области низких частот (<1) спектральная плотность сигнала при дифференцировании уменьшается.

Аналогичным образом можно показать, что сигналу:

соответствует спектральная плотность:

(3.62)

Следует отметить, что в отличие от операции дифференцирования, операция интегрирования законна только для сигналов, отвечающих условию S(0)=0, т.е. для сигналов c нулевой площадью

Теорема дифференцирования и интегрирования сигналов оказывается полезной в задачах исследования частотных характеристик линейных измерительных преобразователей. В этом случае, теоретически, подавая на вход бесконечно короткий δ-импульс, следует регистрировать отклик устройства – т.е. его импульсную функцию h(t).

Прямое преобразование Фурье для импульсной функции по определению является передаточной характеристикой устройства.

Однако далеко не во всех случаях можно предложить достойную практическую замену обобщенному идеализированному испытательному сигналу. Здесь способна помочь переходная функция и теорема о преобразовании спектров при дифференцировании.

Для целей испытаний часто более пригодна в качестве входного тестового сигнала линейно масштабированная функция Хевисайда 1(t), которая является интегралом от δ-функции.

Измеряя отклик устройства на входное ступенчатое воздействие (т.е. переходную функцию g(t) устройства), ограниченный разумными длительностями наблюдения, переходя затем в частотную область при помощи прямого преобразования Фурье и применяя теорему о дифференцировании сигнала возможно получить практически пригодную оценку частотных свойств устройства.

Следует отметить, что, как и обычно, при дифференцировании сигналов, осложненных широкополосными шумами, устойчивость оценок снижается с ростом частоты так как в большинстве случаев спектральная плотность мощности сигнала уменьшается с ростом частоты, а шум обычно имеет некоторый постоянный уровень.

3.8.7.Произведение двух сигналов

Пусть s(t) = f(t) g(t). Используя общую формулу , определим спектр сигнала s(t):

(3.63)

Каждую функцию f(t) и g(t) можно представить интегралом Фурье:

Подставляя в Error: Reference source not found второй из этих интегралов, получаем:

Заключенный в квадратные скобки интеграл по переменной t, представляет собой спектральную плотность F(-x) функции f(t) при частоте -x.

Следовательно:

(3.64)

Отсюда: спектр произведения двух функций f(t) и g(t) равен (с коэффициентом 1/2) свертке их спектров F() и G(). Из последних выражений в частном случае при =0, вытекает следующее равенство:

Заменяя в последнем выражении x на , получаем:

(3.65)

где F^*() = F(-) - комплексно-сопря­жен­ная спектральная функция.

Выражение Error: Reference source not found представляет собой обобщенную формулу Рэлея, называемую в математике также равенством Парсеваля или теоремой Планшереля.

Легко запоминается смысл этой формулы: скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей.

Аналогич­но можно показать, что произведению двух спектров F()G() соответствует функция s(t), являющаяся сверткой функций f(t) и g(t):

(3.66)

Последнее выражение особенно широко используется при анализе передачи сигналов через линейные цепи. В этом случае функции f(t) и g(t) имеют смысл соответственно входного сигнала и импульсной характеристики цепи, а F() и G() - спектральной плотности сигнала и передаточной функции цепи.

3.8.8.Спектральная плотность сигнала на выходе интегратора

В различных устройствах находят применение так называемые интеграторы, выходной сигнал которых пропорционален интегралу от входного воздействия. Рассмотрим интегратор, функционирующий по закону:

Здесь T>0 – “фиксированное окно” интегрирования. Определенный интеграл равен, очевидно, разности двух значений первообразной сигнала s_вх(t), одно из которых вычисляется при аргументе t, а другое – при t-T.

Тогда, используя теоремы об интегрировании сигнала и о запаздывании, получим:

Сомножитель в скобках ограничен при любых частотах, в то же время модуль знаменателя неограниченно растет с ростом частоты. Это свидетельствует о том, что рассмотренный интегратор действует подобно фильтру нижних частот, ослабляя высокочастотные спектральные составляющие сигнала.

3.8.9.Взаимная заменяемость частоты и времени в преобразованиях Фурье

Преобразование Фурье обратимо с точностью до знака аргумента. Нетрудно видеть, что формулы прямого и обратного преобразования Фурье очень похожи друг на друга, особенно когда они записаны для аргумента не круговой, а циклической частоты f=/2:

Производя в этих формулах замену переменных f'=t и t'=f, получим, что если s(t)  S(f), то

S(t)  s(-f) и S(-t)  s(f).

Для четно-симметричных функций, для которых s(-t) = s(t), преобразование Фурье будет четно-симметричным, то есть S(-f) = S(f). Следовательно, для таких функций преобразование Фурье полностью обратимо.

Рис. 3.9. Прямоугольный импульс П(t,T_и)

Рис. 3.10. Спектральная плотность AП(t,T_и)

Например, преобразование Фурье прямоугольного импульса представляет собой функцию sinc(f/T_и), а преобразование Фурье импульса вида sinc(f_иt) имеет вид прямоугольного импульса в частотной области.

Рис. 3.11. Импульс вида sinc(f_иt) во временной области

Характеристики

Список файлов лекций