00-1 Программа Введение Геометрические методы (1044894), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Множество сигналов M образует вещественное линейное пространство, если справедливы следующие аксиомы:

1. Любой сигнал u M при любых t принимает лишь вещественные значения.

2. Для любых сигналов u M и v M существует их сумма s = u+v, причем s также содержится в M. Операция суммирования коммутативна: u+v = v+u и ассоциативна: u+(v+x)= (u+v)+x.

3. Для любого сигнала s M и любого вещественного числа  определен сигнал f = s  M.

4. Множество M содержит особый нулевой элемент , такой, что s+=s для всех s M.

Если математические модели сигналов принимают комплексные значения, то, допуская в аксиоме 3 умножение на комплексное число, приходим к понятию комплексного линейного пространства.

Введение структуры линейного пространства является первым шагом на пути к геометрической трактовке сигналов. Элементы линейных пространств часто называют векторами, подчеркивая аналогию свойств этих объектов и обычных трехмерных векторов.

Ограничения, накладываемые аксиомами линейного пространства, достаточно жестки. Далеко не каждое множество сигналов оказывается линейным пространством.

Пример 3. Множество M состоит из всевозможных прямоугольных видеоимпуль­сов напряжения, существующих на интервале времени (0, 20 мкс), причем амплитуды импульсов не превышают 10В.

Сложив, например, импульсы с амплитудами 6В и 8В, получаем импульс, не принадлежащий множеству M. Поэтому множество M не является линейным пространством

Понятие координатного базиса. Как и в обычном трехмерном пространстве, в линейном пространстве сигналов можно выделить специальное подмножество, играющее роль координатных осей.

Говорят, что совокупность векторов
{e₁, e₂, e₃, ...}, принадлежащих M, является
линейно независимой, если равенство

_i e_i=

возможно лишь в случае одновремен­ного
обращения в нуль всех числовых коэффициентов _i.

Система линейно независимых векторов образует координатный базис в линейном пространстве.

Если дано разложение некоторого сигнала s(t) в виде

то числа {c₁, c₂, c₃, ...} являются проекциями сигнала s(t) относительно выбранного базиса. Какой либо элемент координатного базиса не может быть выражен в виде линейной комбинации оставшихся элементов базиса.

В задачах теории сигналов число базисных векторов, как правило, неограни­ченно велико. Такие линейные пространства называют бесконечномерными. Естест­венно, что теория этих пространств не может быть вложена в формальную схему линейной алгебры, где число базисных векторов всегда конечно.

Пример 4. Линейное пространство образовано сигналами, которые описываются многочленами неограниченно высокого порядка:

(такие функции называются аналитическими). Координатным базисом в этом пространстве служит система одночленов
{e₁=1; e₂=t; e₃=t²; ...}.

Нормированное линейное пространство. Энергия сигнала. Для того чтобы продолжить и углубить геометрическую трактовку теории сигналов, необходимо ввести новое понятие, которое по своему смыслу соответствует длине вектора. Это позволит не только придать точный смысл высказыванию типа "первый сигнал больше второго", но и указать, на сколько он больше.

Длину вектора в математике называют его нормой. Линейное пространство сигналов L называют нормированным, если каждому вектору s(t) L однозначно сопоставлено число s - норма этого вектора, причем выполняются следующие аксиомы нормированного пространства:

1. Норма неотрицательна, т.е. s0. Норма s= 0 тогда и только тогда, если s=0.

2. Для любого числа  справедливо равенство

s=s.

1. Если s(t) и p(t) - два вектора из L, то
   выполняется неравенство треугольника:

s+p  s+p.

Данная аксиоматика в равной степени относится как к аналоговым, так и к дискретным сигналам.

Можно предложить разные способы введения нормы сигналов. В радиотехнике чаще
всего полагают, что вещественные аналоговые сигналы имеют норму

(2.8)

(из двух возможных значений корня выбирается положительное). Для комплексных сигналов норма

где * - символ комплексного сопря­жения.

Квадрат нормы называется энергией сигнала:

(2.9)

Именно такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением 1 Ом, если на его зажимах существует напряжение s(t).

Если сигнал дискретен, то операция интегрирования должна быть заменена суммированием по всем отсчетам сигнала.

Определять норму сигнала с помощью
формулы Error: Reference source not found целесообразно по следующим причинам:

• В радиотехнике о величине сигнала часто судят, исходя из суммарного энергетического эффекта, например, коли­чес­т­ва теплоты, выделяемой в резисторе.

• Энергетическая норма оказывается "нечувствительной" к изменениям формы сигнала, может быть, и значительным, но происходящим на коротких отрезках времени.

Линейное нормированное пространство с конечной величиной нормы вида Error: Reference source not found носит название пространства функций с интегрируемым квадратом и кратко обозначается L₂.

Метрическое пространство. Теперь необходимо ввести еще одно фундаментальное понятие, которое обобщало бы наше обычное представление о расстоянии между точками в пространстве.

Говорят, что линейное пространство L становится метрическим пространством, если каждой паре элементов u,v  L сопоставлено неотрицательное число (u,v), называемое метрикой, или расстоянием между этими элементами. Метрика, независимо от способа ее определения, должна подчиняться аксиомам метрического пространства:

1. (u,v)=(v,u) (рефлексивность метрики).

2. (u,u)=0 для любых uL.

3. Каков бы ни был элемент wL, всегда

(u,v) (u,w)+ (w,v).

Обычно метрику определяют как норму
разности двух сигналов:

(u,v) = u-v.

Норму, в свою очередь, можно понимать как расстояние между выбранным элементом
пространства и нулевым элементом:

u = (u,).

Зная метрику, можно судить о том, насколько хорошо один из сигналов аппроксимирует другой.

Пример 5. Сигнал u(t) представляет собой отрезок синусоиды, обращающийся в нуль на концах отрезка [0,T]. Высота импульса U известна. Выбрать амплитуду A прямоугольного импульса v(t) той же длительности так, чтобы расстояние между этими двумя сигналами было минимальным.

Сигнал u(t) представляется формулой:

u(t)=U sin(t/T), 0  t  T.

Квадрат расстояния между сигналами:

Проведя интегрирование, имеем

²(u,v) = U²T/2 - 4AUT/ + A²T

Исследуя это выражение на экстремум,
убеждаемся, что минимум расстояния будет достигнут, если A = 2U/  0.637U. При этом

²_min(u,v) = U²T(1/2-4²)  0.095U²T,

_min(u,v)  0.308UT.

То, что в точке экстремума действительно достигается минимум, вытекает из положительности второй производной исследуемой функции.

Заметим, что энергия синусоидального импульса:

а его норма u 0.707UT.

Итак, при выбранной метрике минимально достижимое расстояние между рас­сма­три­ваемыми сигналами составляет 44% от нормы синусоидального импульса.

1.11.Теория ортогональных сигналов

Введя во множестве сигналов структуру линейного пространства, определив норму и метрику, мы, тем не менее, лишены возможности вычислить такую характеристику, как угол между двумя векторами. Это удается сделать, сформулировав важнейшее понятие скалярного произведения элементов линейного пространства.

Скалярное произведение сигналов. Напомним, что если в обычном трехмерном пространстве известны два вектора А и B, то квадрат модуля их суммы

, (2.10)

где - скалярное произведение этих векторов, зависящее от угла  между ними.

Действуя по аналогии, вычислим энергию суммы двух сигналов u и v:

(2.11)

В отличие от самих сигналов их энергии неаддитивны - энергия суммарного сигнала содержит в себе так называемую взаимную энергию:

Сравнивая между собой формулы Error: Reference source not found и Error: Reference source not found, определим скалярное произ­ведение
вещественных сигналов u и v:

(2.12)

а также косинус угла между ними:

. (2.13)

Скалярное произведение обладает свойствами:

1. (u, u)  0; (2.14)

2. (u, v) = (v, u);

3. (u, v) = (u, v), где  - вещественное число;

4. (u+v, w) = (u,w) + (v, w).

Линейное пространство с таким скалярным произведением, полное в том смысле, что оно содержит в себе все предельные точки любых сходящихся последовательностей векторов из этого пространства, называется вещественным гильбертовым пространством H.

Давид Гильберт (1862-1943) - известный немецкий математик.

Справедливо фундаментальное неравенство Коши-Буняковского

. (2.15)

Если сигналы принимают комплексные значения, то можно определить комплексное гильбертово пространство, введя в нем скалярное произведение по формуле:

, (2.16)

такое, что

Характеристики

Список файлов лекций