Оппенгейм - Применение цифровой обработки сигналов (1044221), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Рис 412 Изображе ие раз ером 512Х512 Отсчетов .Каженнос ап„ратнои функцией в виде гауссовской кривой и шумом; отношение сигнал'шум равно 33 дБ. Влиянию помех и сингулярностей менее подвержен дрмтгой метод восстановления изображений — винеровская фильтрация. Как следует из названия, такая фильтрация о~скована на теории оптимальных оценок, предложенной Норбертом Винером.
При проектировании фильтра ставится задача найти такую линейнук~ оценку /(/ /~) =-~(а(/ /)1 (где Š— линейный оператор), что имеет минимальную величину. Структура устройства для получения оценок была найдена многими иссле|дователями. Применительно к обработке изображений первым в явном виде это сделал Хелстром [411,разработавший пространственный и частотный ва-- 236 Глава 4 Цифровая обработка изображений 237 Рис. 4.13.
а — изображение (рис. 4ла), восстановленное обратной фильтрацией; б — то гкс для случая, когда отношение сигнал/шум равно 23 дБ, рианты т стройства. При цифровой обработке изображений использ~ ется вариант с обработкой в частотной области. Цифровая фильтрация изображений выполняется фильтром с пепедаточной Н*1'и, о) (4.45) Н,(и, о)= Ф„(и, о) ~ Н(и, о) Р+ Фт(и, о) И Р(и, о) =Н (и, о) 6(и, с), (4,46) причем звездочка означает ко~мплексное сопряжение, а Ф, и Ф~— энергетические спектры шума и сигнала соответственно. Как и прн обратной фильтрации, обработка производится на основе двумерных БПФ и обратное преобразование от (4.46) дает испра~вленное изображение. Анализируя соотношение (4.45), можно заметить следующие свойства винеровского фильтра: 1.
Если шум очень мал или отсутствует, так что Ф вЂ” — эО, то виееровский фильтр переходит .в обратный. Таки~м образом, в пространственно-частотных областях с малым уровнем шума (как правило, это области низких пространственных частот) характеристики винеровского и обратного фильтров совпадают. 2. Если мощность сигнала становится малой, так что Ф~ — - О, то коэфф~и~циент передач~и винеровского фильтра стремится к нулю. Этикам решаются проблемы, связанные с сингулярностью аппаратной ~функции и с особенностями .плохо обусловленных систем уравнений при отсутствии си~нгулярности.
На р~ис. 4.14,а и 4.14, б пр|иведены результаты восстановления изображения, полученные с помощью ви~неровского фильтра при 239 Цифровая обработка изображений Глава 4 238 таких же условиях, как на рис. 4.13,а и б. Снимки рис. 4.14,а и ремис. 4.13, а похожи, что указывает на эквивалентность винеровского и обратного фильтров при малом уровне шума.
Однако по качеству рис. 4.14, б на~много превосходит рис. 4.13, б; это свидетельствует о том, что винеро~вский фильтр лучше подавляет шумы в областях с малым сигналом. Полосы на краях рис. 4.13 и 4.14 вызваны краевыми эффектам~и свертки, рассмотренными ра~нее, и заворотами, с~вязанными с ап|паратной функцией обратного фильтра. Внимательное сравнение рис. 4.13, б и 4.14, б создает впечатление, что винеро~вский фильтр восстанавливает изображения с меньшим уров~нем шума, чем метод об~ратной фильтрациями, но, возможно, ~при этом несколько ухудшается резкость и теряются мелкие детали. Все это можно объяснить двумя причинами: 1) .критерий минимума средней квадратической ошибки является слишком строгим и его можно ослабить; Рис. 4.14. е — изображение (рис.
4.12), восстановленное с помощью винеровского фильтра;  — то же для случая, когда отношение сигнал/шум равно 23 дБ, 2) нелинейные и адаптивные свойства человеческого зрения могут «не согласовываться» с критерием минимальной средней квадратической ошибки. В разд. 4.3.3 будет рассмотрен другой способ построения восстанавливающего фильтра, в котором предъявляются меньшие требования к априорной информации, чем при винеровской фильтрации. 4А.З. Повышение резкости изображения «вспепую» и методом уравнивания энергетических спектров Кэннон [42~ предложил метод, позволяющий восстанавливать изображения лучше, чем с помо~щью винеровского или обратного фильтров; это так называемый метод уравнивания энергетнче- Цифровая обработка изображений т дава 4 240 241 1/ (4.49) Ф,(и, о) ) Н(и, о) ~э+ Фу(и, о) Н „(и, ь) = 1Е (и, г) [ = а из соотношения 16 — 359 ских спектров или метод гомоморфной фильтрации.
(Сначала такой фильтр был спроектирован Коулом [21] на основе теории гомоморфных ~систем, а затем Кэннон на~шел эквивалентную форму, пользуясь методо~м уравни|вания энергетических спектров, который 44 будет описан ниже.) Передаточная функция фильтра определяется из простого уело~сия, го~раздо более ~слабопо, чем критерий минимума средней квадратической ошибки в винеровском фильтре.
При проектировании фильтра отыскивается такая линейная оценка ~ (х, у) = 1.[д (х, у)[, (где Š— линейный оператор), чтобы энергетический спектр оценки равнялся энергетическому спектру исходного изображения. Таким образом, условие имеет вид Фу(и, о) = Ф (и, о), (4.47) По~сколыку д(х, у) определяется ~из соотношений (4.37) или (4.38), то энергетический спектр оценки 1 развея Фу(и, Ь)= [Е. (И, С) [2 [[Н(и, О) [2Ф (и, О)+ г1>, (И, и)[.
(4.48) Его можно приравнять к правой части соотношения (4.47) и в явной форме найти [ 1. (и, о) [ — мо~дуль пространственно-частотной характер~истики линейного фильтра, уравнивающего энергетические спектры (уэс). В результате характеристика фильтра будет иметь вид ' г (и ~) Нуэс (и~ ~) ~ (и> ~) (4.50) определяются значения спектра восстановленного изображения.
Для получения самого изображен~ия эти значения нужно подвергнуть обратному преобразованию. Как и прежде, вычисления следует производить с применен~ие~м БПФ. Фильтр с уравниванием энергетических спектров обладает следующим~и свойствами: 1. Г1ри малых шумах, когда Ф,— -О, характеристика фильтра сводится к модулю характеристики обратного фильтра. 2. При малых сигналах, когда Ф~ — -эО, коэффициент передачи фильтра уменьшается до нуля. 3. В промежутке между эти~ми эк(стремальными условиями коэффициент передачи фильтра больше, чем Н,, но меньше, чем Н;. Это обусловлено отсутствием множителя Н* в числителе выражения для Н„, а также свойствами операции извлечения квадратного корня.
Можно показать, что характер~и~стика фильтра с уравниванием энергетических спектров равна среднему гео~метриче- ск мУ от хаРактеРистик винеровского и обратного фильтров [21]. Поскольку коэффициент передачи фильтра с уравниван|ием эн р~гетических спектров больше, чем у винеровскопо фильтра, но ие приводит к увеличению шумов, как в обратном фильтре, то восстановленное изображен~ие содержит большее число мелких деталей, связанных с высокочастотными составляющими, которые вин~ровский ~фильвр обычно подавляет.
При этом уровень шума увел)ичивается, но человек обычно согласен мириться с увеличением шума, если получает дополнительную полезную информацию о мелкой структуре изображен~ия. На рис. 4.15, а и б показаны изображения, испра~вленные фильтровом с уравниванием энергетических спектров при условиях, соответствующих рис. 4.13, а л б.
Снимки на рис. 4.13,а, 4.14, а и 4.15, а похожи; это указывает на то, что при слабых шумах этот фильтр имеет те же свойства, что и обратный. Результат восста- Рис. 4.15. а — иэоора>кение (рис. 4.12), восстановленное методом уравнивания энергетических оиектров, Глава 4 242 16* Рис. 4.15.
б — то же для случая, когда отношение сигнал/шум равно 23 дВ. новлен1ия изображения при сильном шуме представлен на рис. 4.15, б. Сравнение его с ремис. 4.13, б, рис. 4.14, б и с исходньгм изображением на рис. 4.12,а показывает преимущество данного метода повышения резкости изображений.
Соотношение (4.49) задает только модуль передаточной функции, но можно построить фильтры, ~в которых задается также Определенная фазовая характеристика. Для многих видов и~скажений (на~пример, для расфокусиро~вки ил~и смазывания изображений прои движении) фазовая характеристика имеет значения О или +л. Фильтр, описываемый соотношением (4.49), можно донол нить устройством, вносящим необх~оди1мый сдвиг фазы; в результате получается восстанавливающий фильтр, корректирующий в изображении как амплитуд~ные, так и фазовые искажения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
